數(shù)學模型方法概述

1、數(shù)學模型方法概述函數(shù)關系可以說是一種變量相依的數(shù)學模型.數(shù)學模型方法是處理科學理論問題的一種經(jīng)典方法,也是處理各類實際問題的一般方法.掌握數(shù)學模型方法是非常必要的.在此,對數(shù)學模型方法作一簡述.數(shù)學模型方法(Mathematical Modeling,稱為MM方法.它是針對所考察的問題構造出相應的數(shù)學模型,通過對數(shù)學模型的研究,使問題得以解決的一種數(shù)學方法.1.1 數(shù)學模型的含義數(shù)學模型是針對現(xiàn)實世界的某一種特定對象,為了一個特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,作出必要的簡化和假設,運用適當?shù)臄?shù)學工具,采用形式化語言,概括或近似地表述出來的一種數(shù)學結構.它或者能解釋特定對象的現(xiàn)實性態(tài),或者能預測對象

2、的未來狀態(tài),或者能提供處理對象的最優(yōu)化決策或控制.數(shù)學模型既源于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實,不是實際原型,而是一種模擬,在數(shù)值上可以作為公式應用,可以推廣到與原物相近的一類問題,可以作為某事物的數(shù)學語言,可譯成算法語言,編寫程序進入計算機.1.2 數(shù)學模型的建立過程建立一個實際的數(shù)學模型,需要一定的洞察力和想象力,篩選、拋棄次要因素,突出主要因素,作出適當?shù)某橄蠛秃喕?全過程一般分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段,并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型,再從數(shù)學模型到現(xiàn)實對象的循環(huán).可用流程圖表示如下: 表述根據(jù)建立數(shù)學模型的目的和掌握的信息,將實際問題翻譯成數(shù)學問題,用數(shù)學語言確切地表述出來.這是一個

3、關鍵過程,需要對實際問題進行分析,甚至要做調(diào)查研究,查找資料,對問題進行簡化、假設、數(shù)學抽象,運用有關的數(shù)學概念、數(shù)學符號和數(shù)學表達式去表現(xiàn)客觀對象及其關系.如果現(xiàn)有的數(shù)學工具不夠用時,可根據(jù)實際情況,大膽創(chuàng)造新的數(shù)學概念和方法去表現(xiàn)模型.求解選擇適當?shù)姆椒?球的數(shù)學模型的解答.解釋數(shù)學解答翻譯回現(xiàn)實對象,給實際問題的解答.驗證檢驗解答的正確性.例如,哥尼斯堡有一條普雷格爾河,這條河有兩個支流,在城中心匯合成大河,河上 所示.18世紀哥尼斯堡居民,很多人總想一次不重復地走過這七座橋,有七座橋,如圖112再回到出發(fā)點.可是試來試去總是辦不到,于是有人寫信給當時著名的數(shù)學家歐拉(Euler,170

4、7-1783.歐拉于1736年建立了一個數(shù)學模型解決了這個問題.他把A,B,C,D 這四塊陸地抽象為數(shù)學中的點,把七座橋抽象為七條線,如圖113-所示. 人們步行七橋問題,就相當于圖一筆畫問題,即能否將圖所示的圖形不重復地一筆畫出來,這樣抽象并不改變問題的實質(zhì).哥尼斯堡七橋問題是一個具體的實際問題,屬于數(shù)學模型的現(xiàn)實原型.經(jīng)過理想化抽象所得到的如圖示的一筆畫問題便是七橋問題的數(shù)學模型.在一筆畫的模型里,只保留了橋與地點的連接方式,而其他一切屬性則全部拋棄了.所以從總體上來說,數(shù)學模型只是近似地表現(xiàn)了現(xiàn)實原型中的某些屬性,而就所要解決的實際問題而言,它更深刻、更準確、更全面地反映了現(xiàn)實,也正由此

5、,對一筆畫問題經(jīng)過一定的分析和邏輯推理,得到此問題無解的結論之后,可以返回到七橋問題,得出七橋問題的解答,不重復走過七座橋回到出發(fā)點是不可能的.從廣義上講,一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種方程式、各種函數(shù)關系,以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)等等都可以叫做數(shù)學模型.從狹義上講,只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系的結構,才叫做數(shù)學模型.在現(xiàn)代應用數(shù)學中,數(shù)學模型都作狹義解釋,而建立數(shù)學模型的目的,主要是為了解決具體的數(shù)學問題.1.3函數(shù)模型的建立研究數(shù)學模型,建立數(shù)學模型,進而借鑒數(shù)學模型,對提高解決實際問題的能力,以及提高素養(yǎng)都是十分必要的.建立數(shù)學模型的步驟可分為:(1分析問題中哪些是變量,哪些是常量,分別用字母表示;(2根據(jù)所給條件,運用數(shù)學、物理或其他知識,確定等量關系;(3具體寫出解析式,并指明定義域.例1 重力為P 物體置于地平面上,設有一與水平方向成角的拉力F ,使物體由靜止開始移動,求物體開始移動時拉力F 與角之間的函數(shù)模型(如圖114-示. 圖112解由物理知識知,當水平拉力與摩擦力平衡時,物體開始移動,而摩擦力是與正壓力sin P F -成