(完整word版)數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、文德教育數(shù)列的應(yīng)用分期付款 i其他知識(shí)框架f數(shù)列的分類(lèi)數(shù)列 的概念!數(shù)列的通項(xiàng)公式函數(shù)角度理解數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義 an an=d(n之2) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an =a1 + (n -1)d等差數(shù)列等差數(shù)列的求和公式Sn =n(a1 +an)=na1 +嗎jl)d等差數(shù)列的性質(zhì) an+am = ap + aq (m + n = p+q)兩個(gè)基 本數(shù)列4等比數(shù)列的定義工=q(n之2)an _1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an =a1qn等比數(shù)列Ja1 - anq _ a1 (1 1q )1等比數(shù)列的求和公式Sn =41 q 1 -q (q k )1lna(q =1)，等比數(shù)列的性質(zhì) anam =

2、apaq (m +n = p +q)公式法分組求和數(shù)列J 求和錯(cuò)位相減求和 裂項(xiàng)求和 倒序相加求和數(shù)列累加累積、歸納猜想證明 求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可 能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。(1)遞推式為an+i=a+d及an+i=qan (d, q為常數(shù))例1、 已知an滿(mǎn)足an+i=an+2,而且ai=1。求an。例1、解.an+1-an=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列1. an=1+2

3、 (n-1 ) 即 an=2n-11一例2、已知an滿(mǎn)足an書(shū)=an ,而a1 = 2 ,求an = ?2解二弧一；是常數(shù)12，1%是以2為首項(xiàng)，公比為1的等比數(shù)列-(2)遞推式為 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a1 =，an+ = an +2，求 an. 12 n 1 n 4n2-1一 ，一一1111斛： 由已知可知 an十- an=()(2n 1)(2n -1)2 2n-1 2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )個(gè)等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a2)+掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、+ ( an-a n-

4、1 )ii文德教育1*1 、4n-3an =ai -(1-;);-;2 2n -1 4n -2 說(shuō)明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)是可求的，就可以由 an+1=an+f (n)以n=1, 2,，(n-1)代入，可得 n-1個(gè)等式累加而求 an。 (3)遞推式為an+1=pa+q (p, q為常數(shù))例 4、an中，a1 =1,對(duì)于 n>1 (nCN)有an=3an+2 ,求 an .解法一：由已知遞推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。兩式相減：an+1-a n=3 (an-an-1)因此數(shù)列an+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a 1=

5、(3X 1+2) -1=4an+1-an=4 " 3an+1=3an+23an+2-a n=4 , 3 即 a n=2 , 3 -1解法二：上法得a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a產(chǎn)4, a3-a 2=4 3 a4-a3=4 - 3 ,，an-a n-1=4 - 3 -,把 n-1 個(gè)% 者=4 (冉3 + 3叫+冽。=彳?an=2 - 3n-1-11 - 3(4)遞推式為an+1=p an+q n (p, q為常數(shù))【例5】已知a用藥二，%產(chǎn)1+(；)叫求知。略解 在小血的兩邊乘以2呻導(dǎo)2n+L * an+1 = -(2%) +1,令勾=2%二一一二 2nbn

6、+22(4 -切口)由上題的解法，得：4=3 - 2(2)n ，33an ¥=3g)n.20n*說(shuō)明對(duì)于遞推式可兩邊除以產(chǎn)1，得黑二 q2 + L弓|輔助數(shù)列g(shù), (bM),得履切=+ 1后用 q q qQnq q(5) 遞推式為 2門(mén)卡=pan+qan思路：設(shè) an42 = pan 書(shū)+ qan,可以變形為：an 也一C(an41 = P (an書(shū)a an),Q + B - p就是y=Cq + 8)則可從L 二P解得q,兄Q p =-qi于是an+1- “ an是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類(lèi)型。211例6已知數(shù)列&中,為=1,%=2, ant2=-an+1+-an,

7、 55 求an °21a + p =p u + 3 =5分析n.R'=1a.qj2"餐解 在Ma =5+鏟門(mén)兩邊減去% ，得文德教育15* * d+i-%是公比為首項(xiàng)為為=1的等比數(shù)列。產(chǎn)（一«；）”,+ （,4 = 1+孤-（-；）（6）遞推式為S與an的關(guān)聚式數(shù)列求和的常用方法:1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù) 列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果an等差，bn等比，那么anbn此類(lèi)型可利用4Cn = l)【例7】設(shè)%）前n項(xiàng)的和5.=4-卬-。求a應(yīng)與y的關(guān)系;（2）試用n表示an。°叫做差比數(shù)列）

8、即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次解（1）由乂=4-泣=4 -cc / / 1Sn 1 - Sn - (a n - an 1 ) ( 2 n 2n 一擊得_ 1H+1 nft-1)2n 4)項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾 項(xiàng)，可求和。1，適用于數(shù)列1和個(gè)an an .1)(其中an等差).an . . an .1可裂項(xiàng)為：an 1 =an -an 1 .黃an an-i(，d an,), an ,1_1. _1an1 - 2 an 2n上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2則2 nan是公差為2的

9、等差數(shù)列。2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai >0 ,公差d <0 ,則前n項(xiàng)和&有最大值。an _0(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最大U nan 1 o 0(ii)若已知Sn = pn2+qn,則當(dāng)n取最靠近q-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最 2p大；2、若等差數(shù)列4 的首項(xiàng)ai <0 ,公差d A0 ,則前n項(xiàng)和Sn有最小值4 、an -0(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最小U n nani -02q(ii)右已知 Sn = pn +qn ,則當(dāng)n取最靠近的非零自然數(shù)時(shí) Sn最 2p??；數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)

10、列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn (即ai+&+|lt+an = f(n)求an ,用作差法=&，(n=1)nSn -Snu,(n 之2)f (1),(n =1)已知 a1 La2an =f (n)求 an ,用作商法：an =« f(n)f(n-1),( - )已知條件中既有 &還有小，有時(shí)先求Sn,再求?。挥袝r(shí)也可直接求20。 若an由一 an = f(n) 求an用 累 加 法an = (an - an)(an- an/) IH (a2-a1)+a (n >2) o已知亙'=f (n)求an ,用累乘法：an = -a工，亙川 三 (

11、n之2)。ananan_2a1已知遞推關(guān)系求 an ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如an =kan+ b、an = kan+ bn (k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an ；形如an = kan+ kn的遞推數(shù)列都可以除以 kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an °a(2)形如an = an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kanbk(3)形如an由 = an的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到an書(shū)an_, = d或亙土 = q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可 an 1能是分段形式。數(shù)列求和的常用

12、方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前 n和公式的推導(dǎo)方 法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

13、“111n 之 2時(shí)，一a1+Fa2 + an=2n 1+5222 一一/- r 1<1><2> 得:支 an=2.anW1 =1 n(n 1) n n 1n(n k)4(n-八11111-2 :二-=()k2k2 -12 k -1 k 11111111一=< 2 < = 一；k k 1 (k 1)k k2 (k -1)k k -1 k1n(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)n(n 1)!11;n! (n 1)! 2d、.n)2一.2.n 、n 1、n . n n -1=2( . n ：/n T)14 (n = 1)一 an =n書(shū)2 (n_2)練習(xí)1數(shù)

14、列an>滿(mǎn)足 Sn+Sn+="5an由，a1 = 4,求 an3S(注意到an+=Sn+ - Sn代入得： ' =4Sn、解題方法:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an又S1 =4, . Sn是等比數(shù)列，Sn=4n n*2時(shí)，an =Sn Sn=3 4n4、疊乘法例如：數(shù)列匕/中，a1=3,包出=,求anan n 1(n =1時(shí)，a1 S1 , n 之 2時(shí)，an =Sn Sn)3、求差(商)法如： Qn 滿(mǎn)足 1al+a2 + +an =2n +5<1 >2222n1斛：n = 1時(shí)，a1 = 2 1 . 5, a1 = 142解：也.曳a

15、 =.2止J包a1 a2an 2 3 na1n又a=3, 3=一n5、等差型遞推公式由an -an=f(n), a1 =ao,求an,用迭加法.ann 之2時(shí)，a2 -a1 =f(2)a3 - a2/f(3)兩邊相加,得:.anc -1c-1n1, can -an J,二f(n)an -凡=f(2) f(3)f(n)練習(xí)1-an =a。 f(2) f(3)f(n)練習(xí)1數(shù)列an, a1 =1, an = 3n' +an2 2 ),求 anSn =2一16、等比型遞推公式an=can+d(c、d為常數(shù),c#0, c#1, d#0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) an X = c and X=an

16、= can 4 c-1 X令(c - 1)x = d, xan ）是首項(xiàng)為a1十-1c為公比的等比數(shù)列ra1c -1n-1dc - 一c-1數(shù)列an滿(mǎn)足a1 = 9,求an(an4=8 -7、倒數(shù)法例如：a1由已知得:3,1,an 1 an 1)an -1an 12anan 22an求an1 A,I2為等差數(shù)列, an1,公差為an11=1 +(n -1) 一 = (n + 1)22n項(xiàng)和公式求和，另外記住以an2.數(shù)列求和問(wèn)題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前 下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。,、,口 8+1)1 + 2 + 3+n=多221 + 3 + 5+ +

17、(2n-1)=n2 . 2 . 2 . 2n(n+l)(2n +1)la+22 + 33 + +na =-913+23+?+/=旦磬匕【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 項(xiàng)的和。. 一 ，,1 ,解本題頭際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的刖n項(xiàng)中，共有1+2+-+n=-n(n+1)2個(gè)奇數(shù),(2)、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例 9】求和 S=1(n2-1) + 2 (n2-2 2) +3 - (n2-3 2) + +n(n2-n2) 解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=n2

18、,n (n +1) -工口。(n + 1)工 24=(口+ 1) (n - 1)=，(口=1)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫(xiě)與倒 著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn = 3C：+6C：+III 十 3nCnn例 10、解 Sn =0-cO+3Cn+6C2+| 十 3nCn又一 =3n. + 3 & -1) C丁】+ +0C： 相加，且運(yùn)用Ct = C：k可得2sti = 3n © +C： + +C：) = 3n * 2n，最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1 x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和

19、為1 r 、1 + (n3 +n -1)Sn=-n (n + 1) - J二 (r? (n + 1) 2CSn=3n - 2n-1(4)、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例 11、 求數(shù)列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 項(xiàng)的和.解 設(shè) $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .當(dāng)xl時(shí)，s宜J"： D * 口二(2)x=0 時(shí)，Sn=1.J 當(dāng)xw0且xwl時(shí)，在式兩邊同乘以 x得xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,-，得(1-x)S n=1

20、+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n.由公式知S. =q- 1 + 1 - 1)切1翼If1 + x - (2n 4 1)五推 + (2n - l)xn+l= '(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：11 ri 1 1n(n + k) k n n + k11I1L'n(n + l)(n + 2)2 n n + 1 n+2而dk 9g叫一 一 1111例 12、求和+| 1 *5 3 *7 5 *9(2n -1)(2n 3)M田加 1111例3 求不口+ " +1，5 3 , 7 5 9(2n-l)(2

21、n+3)I 1 1 1II (2n-1)(2 口+ 3) 4、2口-1 2口+ Y"III 1+ , , +a 4l 5 3 7 5 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3111 r-r i +4l 3 2n + l 2n+ 3 n(4n+5)- 3(2n +1)(2口+ 3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與 負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題 時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決?！纠?3】等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai>0,前n項(xiàng)的和為 氫 若S=8 (l wk)問(wèn)n為何值時(shí)Sn最大？解依題意,設(shè)f (口)= =口軟1 + fl" d此函數(shù)以n為自變量的二次