第四講------三角形中輔助線的常見的添加方法

1、v1.0可編輯可修改第四講 常用的輔助線的方法知識點(diǎn)一：三角形問題添加輔助線方法1）、方法1:三角形中線 中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。2）、方法2:含有平分線 構(gòu)造全等三角形。常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用 全等三角形的知識解決問題。3）、方法3:證明兩線段相等，可通過構(gòu)成全等三角形；利用關(guān)于平分線段的一些定理；轉(zhuǎn)化到同一三角形中，證明角相等；4）、方法4:證明一條線段與另一條線段之和等于第三條線段 常采用截長法或補(bǔ)短法。截長法是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部

2、分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。三角形中作輔助線的常用方法舉例一 .倍長中線1:已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF= 2AD、截長補(bǔ)短法作輔助線 在ABC, AD平分 / BAC / AC氏 2/B,求證：AB=IAAC+ CD1 2三、延長已知邊構(gòu)造三角形:求證：AD= BC例如：如圖7-1 :已知AC= BR ADLAC于A , BC±BD于B,E練習(xí)如圖，在梯形 ABCm，AD/BC, /B=50° , / C=80° , AD=2BC=5求CD的長。12四、連接四邊形的

3、對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 : AB/ CD AD/ BC求證：AB=CD練習(xí)題已知：如圖所示，在梯形ABCD, AD/ BQ AX BE, DF= CF求證：EF/ BQ EF= - (AN BQ.2五、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 11-1: AB= DC /A= /D 求證：/ AB諼 / DCB由角平分線想到的輔助線一般方法可向兩邊作垂線；也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)；角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、;b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)

4、造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。注：通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1圖示，/AOC=BOC如取OE=OF并連接DE DF,則有OE' OFD 從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖 1-2 , AB/CD, BE平分 / BCD CE平分 / BCD 點(diǎn) E在 AD上，求證：BC=AB+GD圖2-1（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等1、如圖 2-1 ,已知 AB>AD, ZBAC= FAC,CD=BC求證：/ADC+B=

5、180（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形已知：如圖 3-1, / BADW DAC AB>AC,CDAD于 D, H是 BC中點(diǎn)。1求證：DH=2 (AB-AQ（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示圖4-2三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的

6、一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等 于長線段。3、對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊。四由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1, AD 是 AABC 的中線，則 Sa a

7、bd=Sa ace=，Sa ABC （因?yàn)?AABg AACD 等 底同高的）。例1.如圖2, A ABC中,AD是中線，延長 AD至I E,使DE=AD DF是ADCE勺中線。已知A ABC的面積為2,求：A CDF0勺面積（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線 例2.如圖3,在四邊形ABCLfr, AB=CD E F分別是BG AD的中點(diǎn)，BA CD的延長線分別交EF的延長線 G H。求證：/ BGEW CHE（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知A ABC中，AB=5 AC=3連BC上的中線AD=Z求BC的長。例4.如圖5,已知 AABC中，AD是/BAC的平分線，AD又是BC邊上

8、的中線。求證：A ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì) 例 5.如圖 6,已知梯形 ABCLfr, AB/DC, AC1BG AD±BR 求證：AC=BD證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE CE則DECE分另J為RtAABD£RtAABCM邊AB上的中線，故DE=CE=AB,因止匕/ CDEWDCE v AB/DC,(五)、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線(六)中線延長全等三角形輔助線找全等三角形的方法：(1)可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；(3

9、)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是 全等變換中的“對折”.遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線， 利用的思維模式 是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定 理.過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補(bǔ)短法，具