大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量的不確定度和數(shù)據(jù)處理

1、測(cè)量的不確定度和數(shù)據(jù)處理測(cè)量不確定度采用不確定度的必然性國(guó)際計(jì)量局等七個(gè)國(guó)際組織于1993 年指定了具有國(guó)際指導(dǎo)性的“測(cè)量不確定度表示指南ISO 1993 （E）” （以下簡(jiǎn)稱指南 ） 。幾年來(lái)國(guó)際與國(guó)內(nèi)的科技文獻(xiàn)開始采用不確定度概念，我國(guó)各個(gè)高校也不斷開展這方面的討論， 改革教學(xué)內(nèi)容與方法， 以求與國(guó)際接軌。 雖然一些學(xué)者對(duì)指南的有些內(nèi)容持批評(píng)態(tài)度注 1 ，但總的趨勢(shì)是在貫徹指南的同時(shí)，不斷改善它。測(cè)量不確定度定義為測(cè)量結(jié)果帶有的一個(gè)參數(shù)， 用以表征合理賦予被測(cè)量量的分散性， 它是被測(cè)量客觀值在某一量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定。 不確定度理論將不確定度按照測(cè)量數(shù)據(jù)的性質(zhì)分類：符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，稱為 A

2、 類不確定度，而不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的統(tǒng)稱為 B 類不確定度。測(cè)量不確定度的理論保留系統(tǒng)誤差的概念， 也不排除誤差的概念。 這里的誤差指測(cè)量值與平均值之差或測(cè)量 值與標(biāo)準(zhǔn)值（用更高級(jí)的儀器的測(cè)量值）的偏差。測(cè)量不確定度的 B 類分量?jī)x器的最大允差A(yù)儀測(cè)量中凡是不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱為B類不確定度，記為 AB。它包含了由測(cè)量者估算產(chǎn)生的部分 A估和儀器精度有限所產(chǎn)生的最大允差A(yù)儀。A儀包含了儀器的系統(tǒng)誤差， 也包含了環(huán)境以及測(cè)量者自身可能出現(xiàn)的變化（具隨機(jī)性）對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。A儀可從儀器說(shuō)明書中得到， 它表征同一規(guī)格型號(hào)的合格產(chǎn)品， 在正常使用條件下， 一次測(cè)量可能產(chǎn)生的最大誤差。一般而言，A

3、儀為儀器最小刻度所對(duì)應(yīng)的物理量的數(shù)量級(jí)（但不同儀器差別很大，一些常用儀器的最大允差見第 26 頁(yè)） 。測(cè)量者的估算誤差A(yù)估測(cè)量者對(duì)被測(cè)物或?qū)x器示數(shù)判斷的不確定性會(huì)產(chǎn)生估算誤差A(yù)估。對(duì)于有刻度的儀器儀表，通常A估為最小刻度的十分之幾，小于A儀（因?yàn)樽畲笤什钜寻藴y(cè)量者正確使用儀器的估算誤差） 。比如，估讀螺旋測(cè)微器最小刻度的十分之一為 0.001 毫米，小于其最大允差0.004 毫米；估讀鋼板尺最小刻度的十分之一為0.1毫米，小于其最大允差0.15毫米。但有時(shí)A估會(huì)大于A儀。比如，用電子秒表測(cè)量幾分鐘的時(shí)間，測(cè)量者在計(jì)時(shí)判斷上會(huì)有0.1-0.2秒的誤差。而電子秒表的穩(wěn)定性為10-5秒/天，顯

4、然儀器的最大允差小得實(shí)在可以忽略。又如第 30屆國(guó)際物理奧林匹 克競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)題中要測(cè)量一個(gè)擺桿的質(zhì)心到一端的距離。將擺桿放到一個(gè)型物上并使之平衡，測(cè)量支撐點(diǎn)到擺一端的距離。由于型物棱寬為2mm ,擺桿在棱上移動(dòng)土 1mm均能保持平衡，使得一次測(cè)量的估算誤差應(yīng)為土 1mm ,大于鋼直尺的最大允差 A儀=0.15mm 。在拉伸法 測(cè)金屬絲楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，由于難以對(duì)準(zhǔn)金屬絲被軋頭夾住的位置，鋼絲長(zhǎng)度的估算誤差可達(dá)土（1-2） mm。在暗室中做幾何光學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行長(zhǎng)度測(cè)量時(shí)，長(zhǎng)度的估算誤差也可達(dá)士（1-2） mm 。如果A估和A儀是彼此無(wú)關(guān)的，B類不確定度A B為它們的合成：若A估和A儀中，某個(gè)量小于另一

5、量的三分之一， 平方后將小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則可以忽略不計(jì)。由于一般而言，A估比A儀小（正常使用下已包含其中），在以下的討論中僅以 A儀表示ABoB類分量的標(biāo)準(zhǔn)差多次用同一規(guī)格型號(hào)的不同儀器測(cè)量同一物理量，測(cè)量值可能不同。這些測(cè)量值與平均值之差也是按一定概率分布的。正態(tài)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最常用、最重要的分布。一般而言，在相同條件下大批生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)一般服從正態(tài)分布。如某個(gè)數(shù)量指標(biāo)X是很多隨機(jī)因素之和，而每種因素所起的作用均勻微小，則 X為服從隨機(jī)分布的變量。例如，工廠大量生產(chǎn)某一產(chǎn)品，當(dāng)設(shè)備、技術(shù)、原材料、工藝等可控制的生產(chǎn)條件都相對(duì)穩(wěn)定，不存在系統(tǒng)誤差的明顯因素，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)近似服

6、從正態(tài)分布。如果儀器的測(cè)量誤差在最大允差范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率都相等（如長(zhǎng)度塊規(guī)在一定溫度范圍內(nèi)由于熱脹冷縮導(dǎo)致的長(zhǎng)度值變化），就為均勻分布。界于兩種分布之間則可用三角分布來(lái)描述。一次測(cè)量值的B類標(biāo)準(zhǔn)差為其中C稱為置信系數(shù)。在最大允差范圍內(nèi)，對(duì)于正態(tài)分布，C=V9 =3;對(duì)于三角分布，C=，6,對(duì)于均勻分布，C=，3。第32頁(yè)給出幾種常用儀器的誤差分布以及C的取值，見下表注2:儀器名稱米尺游標(biāo)卡尺千分尺物理天平秒表誤差分布正態(tài)分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布C3V3333符合正態(tài)分布的測(cè)量列中某次測(cè)量值與平均值之差落在-b, b之間的概率為 68.3%,落在-2 d , 2b 之間為95.55%

7、,落在-3 b , 3(r之間的概率為 99.73% (見圖1),所以儀器的最大允差規(guī)定為A儀=3 b。不同的分布，在相同范圍內(nèi)的置信概率有所不同。不明確這一點(diǎn)，在合成不確定度的A類分量和B類分量時(shí)，就無(wú)法給出正確的置信概率和置信區(qū)間。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，先要做一些數(shù)學(xué)鋪墊。三種儀器誤差分布按照概率統(tǒng)計(jì)理論注3,若x是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x),則其數(shù)學(xué)期望值為-XEX=xf(x)dx-X)其方差為D(X) = Ex - E(x)f = x-E(x) f(x)dx標(biāo)準(zhǔn)差為b(x):向石對(duì)于等精度測(cè)量，隨機(jī)量 X1，X2，Xn，其數(shù)學(xué)期望值（即平均值）為E(X)" 二

8、63; xjn方差為標(biāo)準(zhǔn)差為b（x）二匹方設(shè)隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布（見圖2）,即f(x) = 1 /(b-a) x e a,bf(x) = 0其他其平均值為E(X)其方差為D(X) =b + a“一亍f(x)dx =(b - a)2其標(biāo)準(zhǔn)差為特例：當(dāng)a = -儀,b = A儀時(shí)，b(X)= 4儀/，3 =0.577A儀。也即如果儀器誤差符合均勻分布，其一次測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值之差落在-b , b內(nèi)的概率為57.7%,低于正態(tài)分布相應(yīng)的68.3%;而落在-，3*，3 b內(nèi)的概率就已經(jīng)達(dá)到 100%,與正態(tài)分布有很大不同（比較圖1和圖2）。設(shè)隨機(jī)變量X在-A儀，歡上的分布為三角分布（見圖3）0

9、r 0/ < 一或 x > A/(/)= (A + a;) / A2- A < .x < 0、(A-a：)/A2 0 < a: < A由其對(duì)稱性易得測(cè)量列的平均值為E(X) = 0方差為8D(X)= x2f(x)dx = -一8標(biāo)準(zhǔn)差o(X); Jq(X) = A儀/遙=0.408儀X落在-b, b之間的概率P( b ),如圖3中陰影的面積，P( b) =0.758;而P (2b)=0.966。三種分布的標(biāo)準(zhǔn)差以及各置信區(qū)間相應(yīng)的概率如下表：分布標(biāo)準(zhǔn)差(TP (b)P (2b)P (3b)正態(tài)分布A/30.6830.9550.997三角分布A / V 60.

10、7580.9661均勻分布 730.57711因此，不能籠統(tǒng)地說(shuō)測(cè)量誤差落在標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為68.3%,落在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95.5%o在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，要注意區(qū)分不同的分布。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和展伸不確定度將A類和B類標(biāo)準(zhǔn)差合成得到置信概率P=0.68的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：U =P =0.68若考慮到測(cè)量次數(shù)，還應(yīng)t因子修正。將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以一個(gè)與一定置信概率相聯(lián)系 的包含因子(或稱覆蓋因子)K ,得到增大置信概率的不確定度叫做展伸不確定度(或擴(kuò)展不確定度)。通常取置信概率為 0.95, K=2o對(duì)正態(tài)分布，k0.95=1.96K=2。這時(shí)的展伸不確定度 為U 695 =+

11、(40.9546 /。)考慮到通常測(cè)量 6次左右，查閱 t因子表，t0.95=2.57, t2/6 = 1,C=3, K = k0.95=1.96,(K/C) =0.5。所以，置信概率P=0.95的展伸不確定度的便于操作的公式為4 95 Jb +S5A 晨用均勻分布或三角分布得到的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度與服從正態(tài)分布的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)計(jì)算合成不確定度時(shí)，要用到卷積運(yùn)算，其結(jié)果和b與A儀之比有關(guān)，可參閱文獻(xiàn)4。注意到不確定度的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義和在上述操作中的近似，在實(shí)際工作中，常常忽略不同分布的差別（有時(shí)也不知道是什么分布），而把A儀當(dāng)成均勻分布，取置信因子C=，3。這樣得到一種較為保守的公式95 = J

12、b 十 :小其置信概率應(yīng)記為P>0.95o實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理幾種常用方法列表法、作圖法、逐差法和回歸法。誤差桿的概念和應(yīng)用在研究?jī)蓚€(gè)物理量之間的關(guān)系時(shí)，常用到作圖法。在作圖法中，一對(duì)測(cè)量值確定一個(gè)點(diǎn)，叫做“數(shù)據(jù)點(diǎn)”（教材第一冊(cè)43頁(yè)）。如果在作圖時(shí)用線段標(biāo)示出測(cè)量值的不確定度土A儀，則將會(huì)更全面地反映出實(shí)驗(yàn)的精度。線段的長(zhǎng)度為2 A儀，這種小線段稱為誤差桿?？紤]到通常選比較容易測(cè)量的物理量作為自變量，常用橫坐標(biāo)表示之，且其A儀較小，所以在作圖中往往只需沿縱坐標(biāo)方向畫出誤差桿。如果絕大多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)可以擬合成一條直線（或曲線），只有一個(gè)點(diǎn)偏離 甚遠(yuǎn)，就要考慮這一對(duì)測(cè)量值的可靠性了。嚴(yán)格地講，應(yīng)該重新

13、測(cè)量。但有時(shí)無(wú)法或沒(méi)必要重做實(shí)驗(yàn)，可不可以舍棄這個(gè)點(diǎn)呢？ 一般來(lái)說(shuō)，在有限范圍內(nèi)，兩個(gè)物理量之間的關(guān)系多為連續(xù)的；3 (T反映其關(guān)系的曲線不大可能有大的突然起伏。我們可以參照測(cè)量不確定度理論中剔除壞值的原則來(lái)處理。如果該點(diǎn)到按其他點(diǎn)擬合的曲線的距離大于1.5倍誤差桿的長(zhǎng)度，就可以舍棄該點(diǎn)。不畫出誤差桿就難以判斷。要注意，曲線擬合是對(duì)多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義下的操作，若一共只有3、4個(gè)點(diǎn)，就不能草率地舍棄任何一個(gè)點(diǎn)了。還要注意，各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差桿長(zhǎng)度不一定相等。或者，對(duì)數(shù)據(jù)做某種處理（如取對(duì)數(shù)）后，再進(jìn)行作圖，誤差桿的長(zhǎng)度也會(huì)變化。譬如，某1.0級(jí)的電壓表的量程為 100伏，對(duì)于測(cè)量值為20.0伏

14、、30.0伏、40.0伏和50.0伏，它們的最大允差均為土 1.0伏。若縱坐標(biāo)為電壓，則誤差桿 的長(zhǎng)度都是2X0.1伏；而若以電壓值的對(duì)數(shù)為縱坐標(biāo)，則誤差桿的長(zhǎng)度為2X A V/V=0.2/V ,電壓值不同，誤差桿長(zhǎng)度就不同。作圖法和回歸法的比較作圖法的最大優(yōu)點(diǎn)是直觀。在諸多數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合中，如果發(fā)現(xiàn)有一個(gè)點(diǎn)明顯偏離所擬合的曲 線，就需要在這個(gè)點(diǎn)所處物理?xiàng)l件附近，再進(jìn)行仔細(xì)的實(shí)驗(yàn)，查明是否是實(shí)驗(yàn)誤差，還是有新的 現(xiàn)象或規(guī)律。但作圖法需較長(zhǎng)時(shí)間， 曲線擬合過(guò)程中會(huì)引入誤差；求解實(shí)驗(yàn)方程參數(shù)及其不確定度比較麻煩。用回歸法只需按動(dòng)計(jì)算器的幾個(gè)鍵，就可以確定實(shí)驗(yàn)方程的參數(shù)及其不確定度。但如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤

15、，或所擬合的方程形式不合適， 則相關(guān)系數(shù)小，必須重新檢查數(shù)據(jù)或方程形式， 由于不直觀，一時(shí)難以斷定問(wèn)題之所在。若數(shù)據(jù)點(diǎn)可以擬合為一條直線，線性方程的一般形式為數(shù)據(jù)為Xi和Yi,每次測(cè)量的最大允差為 A Xi和AYi, i = 1,2,合直線的斜率 m的相對(duì)不確定度為*式中(Ay)2 = -z(ax)2 (Ar)2 =n v 7 、分別為相應(yīng)測(cè)量值最大允差的平方平均值。截距的不確定度為b = A"J(X+X：)/2*概率論給出回歸法線性擬合的斜率的標(biāo)準(zhǔn)差為(s y ( 工二-L-1 /(-2)I加/1廣)式中n為X （或Y）的測(cè)量數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，r為相關(guān)系數(shù)。截距的標(biāo)準(zhǔn)差為如果兩組物理量之間的關(guān)系確實(shí)為線性，按*和*式由各個(gè)測(cè)量值最大允差計(jì)算得到的m和Ab 一般大于由回歸法計(jì)算得到的結(jié)果。前者只考慮每次測(cè)量值的儀器最大允差，而不考慮各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于所擬合的直線的偏離情況（線性擬合的程度由眼睛直觀判斷）。而回歸法則相反，不考慮每次測(cè)量值的儀器最大允差，只考慮各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于所擬合的線性關(guān)系的偏離情況。線性擬合程度的“好壞”由相關(guān)系數(shù)給出。如果測(cè)量值中有一個(gè)“壞值”，由于作圖法能直觀察覺，方便作出相應(yīng)處理（剔除壞值或重做實(shí)驗(yàn)改正錯(cuò)誤）。而回歸法則是根據(jù)所有數(shù)據(jù)計(jì)算，一個(gè)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)也可能使相關(guān)系數(shù)嚴(yán)重減小。這時(shí)難以判斷是整體線性不好，還是個(gè)別數(shù)據(jù)出了差錯(cuò)。兩全的辦法是先畫出圖