1直線與圓-拔高難度-講義

1、直線與圓知識(shí)講解一、兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式1 .兩點(diǎn)間距離公式： 已知 A(X,yi), Bd4),則 d(A,B)xf W yi )22 .中點(diǎn)公式：已知A(xi,x2), B(x2,y2),則中點(diǎn)坐標(biāo)為：x D2 , y yyi22二、傾角與斜率1 .直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角.我們規(guī)定，與 x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.2 .直線的斜率：k保x2)x2 xi直線斜率k越大，反映直線相對(duì)于 x軸傾斜程度越大；反之，直線的斜率k越小，反映直線相對(duì)于x軸傾斜程度越小.除去垂直于x軸的直線外，只要知道直線上兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)，有k X(

2、x x2)就x2 xi可以算出這條直線的斜率.方程y kx b的圖象是通過(guò)點(diǎn)(0, b)且斜率為k的直線.3.斜率與傾斜角的關(guān)系：當(dāng)k 0時(shí)，直線平行于x軸或與x軸重合.當(dāng)k 0時(shí)，直線的傾斜角為銳角；k值越大，直線的傾斜角也隨著增大.當(dāng)k 0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角；k值越大，直線的傾斜角也隨著增大.垂直于x軸的直線的傾斜角等于 90 .三、直線方程直線方程的幾種形式:1）點(diǎn)斜式方程：y V。 k（x Xo）x X1X2X2）斜截式方程：y kx b3）兩點(diǎn)式方程：V2 V1心x y4）截距式：-11 ;a b5)般式：Ax By C 。（ A、B不全為零）四、直線系方程定義:具有某一個(gè)共同性

3、質(zhì)的直線稱為直線系，它的方程稱為直線系方程。1 .平行直線系1）斜率為k。（常數(shù)）：y = k0x+ b（ b為參數(shù)）2）平行于已知直線 Axo+ Boy = 0 （ A。、B。是不全為零的常數(shù)）的直線系：Aox+ Boy+ C= 0 （C1。）2 .垂直直線系11）與斜率ko （k01 0）的直線垂直的直線系：-x+ b （b為參數(shù)）Ko2）垂直于已知直線 Aox+ B0y = 0 （ Ao、Bo是不全為零的常數(shù)）的直線系：B°x- Aoy+ = 0（為參數(shù)）3 .過(guò)已知點(diǎn)的直線系1）以斜率k作為參數(shù)的直線系：y-yo =k（x-x0）,直線過(guò)定點(diǎn)（x°,yo）； y=

4、kx+bo,直線過(guò)定點(diǎn)（o,bo）,其中過(guò)定點(diǎn)且平行于 y軸或與y軸重合的直線不在直線系內(nèi)。2）過(guò)兩條直線l1 ： Ax+ By+ C1 = 0 ? l2 . A2x+ B2y+C2= 0的交點(diǎn)的直線系：Ax+ B1y+ G+ （A2X+ B2y+ C2）= 0 （為參數(shù)），其中直線l2不在直線內(nèi)。五、圓方程1 .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1）以點(diǎn)C（a,b）為圓心，r為半徑的圓的方程：（x a）2 （y b）2 r22）圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2 y2 r22 .圓的一般方程：x22在圓內(nèi)，則（ a） （y。 b） r ,反之,也成立.2）利用幾何法來(lái)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)M到圓心O的距離大于圓的

5、半徑，則若點(diǎn)M在圓外，即OM| r 點(diǎn)M在圓外；當(dāng)點(diǎn) M到圓心O的距離小于圓的半徑，則若點(diǎn) M在 圓內(nèi)即OM| r 點(diǎn)M在圓內(nèi)；當(dāng)點(diǎn)M到圓心O的距離等于圓的半徑，則若點(diǎn)M在圓上， OM| r 點(diǎn)M在圓上.5.直線與圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系有三種： 相交、相切、相離判斷位置關(guān)系方法：1）代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，利用消元法消去一個(gè)元后，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程，求出其的值，然后比較判別式與0的大小關(guān)系，若 0,則直線與圓相離若 0,則直線與圓相切若 0,則直線與圓相交 2）幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系：d d r 相離. y2 Dx Ey F 0 ,

6、（ D2 E2 4F 0） 一、/注息：X2和y2項(xiàng)的系數(shù)相等且都不為零；沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).D E1表不以（，_）為圓心，_Jd2 E2 4F為半徑的圓. 2 221）當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，方程只有實(shí)根x , y E ,方程表示一個(gè)點(diǎn)（。，-）22222）當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根，因而它不表示任何圖形3 .圓心的三個(gè)重要的幾何性質(zhì)1）圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.2）圓心在一條弦的中垂線上.3）兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線.4 .判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x a）2 （y b）2 r2,圓心A（a,b）,半徑r ,若點(diǎn)M （% , y0）

7、在圓上，則 222222相交，d r 相切,（xga）（ycb） r ；右點(diǎn)M （%, y0）在圓外，則（%a）（y°b） r ；右點(diǎn) M （x°,y°）6 .計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)1)幾何方法：運(yùn)用弦心距、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計(jì)算.2)代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式|AB Ji kxA Xb| " k2)(XA Xb)2 4XaXb7 .圓與圓的位置關(guān)系的判定222_222設(shè) eCi：(xai) (ybi)ri(ri0), e C2 ：(xa?)(yb2)2(20),則有：C1C2Iri2e Ci 與eC2 外離.GC2Irir2e Ci

8、 與eC2 外切.i 2Ci C2 ri 2e Ci 與 e C2 相父.CiC2|I rir2 (ri eCi 與 eC2 內(nèi)切.GG|I ri司eCi 與eC2 內(nèi)含.二)經(jīng)典例題|r一.填空題(共2小題)1. (2013雙觀區(qū)校級(jí)三模)已知兩點(diǎn) M (0, - 6)和N (0, W),若直線上 存在點(diǎn)P,使|? |-|? |=2,則稱該直線為 和諧直線”.現(xiàn)給出下列直線： _ V2_，x=2;x-2y-3=0;y=2"x;2x+3y-1=0,其中為 和諧直線 的是 (請(qǐng)寫(xiě)出符合題意的所有編號(hào)).【解答】解：由題意可知點(diǎn)P必在雙曲線？- ?= 1, (y>0).聯(lián)立?2 ?

9、= 2，解得?=；v3，:直線x=2上存在點(diǎn)P(2, v2)滿足題意, 故直線x=2是 和諧直線”.聯(lián)立2?;。?？= * C，且 y>0,消去 x得至“2y2+12y+11=0,A=122-4X2X 11=56 ?- 2?2 3=0?+ ?= -6>0,但是11因此此方程的y無(wú)大于0的解，此直線上存不在點(diǎn)P?2 = -21滿足題意，故此直線不是和諧直線”.2?- ?2= 2后聯(lián)立交 ，消去y化為0=2, 此方程組無(wú)解，直線？?= £?比不?二寸？2存在點(diǎn)P滿足題意，故此直線不是 和諧直線_ 一、,972 - 92= 922-A聯(lián)立2? q? /_ c，解得?= 34，;

10、此直線上存在點(diǎn)P (-4, 3)滿足題 21+3?-1 = 0 3意，故此直線是和諧直線”.綜上可知：只有 正確.故答案為.2. (2012?工西模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，定義 d (P, Q) =|xi- x2|+| yi-y2|為兩點(diǎn)P (xi, yi), Q (x2, y2)之間的 折線距離”.則圓(x-4) 2+ (y-3) 2=4上一點(diǎn)與直線x+y=0上一點(diǎn)的 折線距離”的最小值是_7 - 2范【解答】解：設(shè)直線上的任意一點(diǎn) A,圓上任意一點(diǎn)C;過(guò)C, A分別作x、y軸的垂線交于點(diǎn)B.由題意可知：d=ABBC;v AB+BO AC,轉(zhuǎn)化為求AC的最小值.,|4+3|7v2AC的最小值

11、等于圓心到直線的距離減去半徑：即ACmin=-=UJ= 2k2- - 2;,_人 一 ，4 4-v2 7V27此時(shí)ABC三點(diǎn)圍成以AC為斜邊的等腰直角三角形，故 AB=BC=2- (-2) =2一V2 . (AB+BQ min=2AC=7- 2/.即d的最小值為：7 - 2v2.故答案為：7-2亞.解答題(共13小題)3. (2017秋？大武口區(qū)校級(jí)期末)如圖，在 4ABC中，BC邊上的高AM所在的直 線方程為x-2y+1=0,直線AB與直線AC垂直，直線BC與x軸相交于點(diǎn)P,若 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2).(I)求AC和BC所在直線的方程；(II)求4ABC的面積.【解答】解：(I)直線方程AM

12、: x-2y+1=0,令 y=0,求得 x=- 1, . . A ( T , 0); 2-0直線AB的斜率為kAB=1(1) =1,1直線AC的斜率為kAC= - =- 1, ?直線AC的方程為y=- (x+1),即x+y+1=0;又BC邊上的高所在的直線方程為x- 2y+1=0,直線BC的斜率為k=-2;直線 BC的方程為 y2= 2 (x-1),即 2x+y 4=0;(II)直線BC的方程為2x+y-4=0,令 y=0,解得 x=2,P (2, 0), .|AH=2 ( 1) =3;2?+ ? 4 = 0又。，/二/，解得 x=5, y=- 6,，C (5, -6); ? + ? + 1=

13、0.ABC的面積為11Sk abc=S abp+S>a acp=- X3X2-X3X6=12.224. (2017例北一模)已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A (2, 3), B (1, -2), C(-3, 4),求(1) BC邊上的中線AD所在的直線方程;(2) ABC的面積.【解答】解：(1)設(shè) D (x, y),貝Ux=1|-=1, y=2； =1,D ( 1, 1),而 A (2, 3),3-1 2 Kad=二一,2+1 3BC邊上的中線AD所在的直線方程為:y- 1=3 (x+1),即：2x- 3y+5=0;(2) |BC=，(-3 - 1)2+(4 +2)2=2v13,直線

14、BC的方程是:3x+2y+1=0,A到BC的距離d=|3 X 2+2 X 3+1 一 | =V1322+22. SABC=1| BC ?d=；X2v13x v13=13.5. (2016秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中)等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C和頂點(diǎn)B都在直線2x+y-6=0上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1, - 1),(1)求邊AC所在的直線方程及邊AC的長(zhǎng).(2)求B點(diǎn)的坐標(biāo)及邊AB所在的直線方程.【解答】解：(1)由條件知直線AC垂直于直線2x+y-6=0,設(shè)直線AC的方程為x 2y+c=0,把A (1, - 1)代入得c=-3,故直線AC的方程為x-2y-3=0,分)5因?yàn)锳C±BC,所以A

15、到直線BC的距離為AC- = v5,(5分)v5(2)由 AC=V5得至|J AB=40一(6分)設(shè) B (x, y),則(?- 1)2 + (?+ 1)2 = 10,(8 分)2?+ ? 6 = 0解得B (2, 2)或者B (4, - 2),(10分)所以直線AB的方程為3x- y- 4=0或x+3y+2=0一？分)6. (2018例南一模)已知點(diǎn)F1(-衣,0),圓F2：(x-v2)2+y2=16,點(diǎn) M 是圓上一動(dòng)點(diǎn)，MF1的垂直平分線與MF2交于點(diǎn)N.(1)求點(diǎn)N的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線E,過(guò)點(diǎn)P (0, 1)且斜率不為0的直線l與E交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為

16、B',證明直線AB'過(guò)定點(diǎn)，并求PAB面積的 最大值.【解答】解：(1)圓F2： (x-v2) 2+y2=16,圓心為(/, 0),半徑為4,由垂直平分線的性質(zhì)得：| NF1| 二| NM| , . | NF1|+| NF2| =| MN|+| NF2| =| MF2| =4,又 | F1F2I =22v2, 點(diǎn)N的軌跡是以F1, F2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4的橢圓，. 2a=4, 2c=2v2,即 a=2, c=v2,b2=a2- c2=4-2=2,、？吊？吊 點(diǎn)N的軌跡方程是？+?=1；(2)證明：設(shè)直線 AB: y=kx+1, (kw0),設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y

17、1），（x2, y2）,則B' （-x2, y2）,?1聯(lián)立直線AB與橢圓得為+2?+=4, 得(1+2k2) x2+4kx - 2=0,顯然=16k2+8 (1+4k2) >0,4?'x1+x2=1+2聲,?-?2kAB=,?+?-?2oo (x x1)，?1 + ? 2令x=0,彳3y=?+?殳？ ？（？吩1）+?2（?布1） 2?+?+?+1=2,.,直線 AB': y- y1=直線AB'過(guò)定點(diǎn)Q （0, 2）, . PAB的面積 S=| PQ|?| x +摩| =LJ=一 J < 不=一, 21 1+2?2 2|?|+ 2V2 2 '

18、|?|當(dāng)且僅當(dāng)k=±"2時(shí)，等號(hào)成立.2.PAB的面積的最大值是 二.27. （2018?肥城市模擬）已知點(diǎn) C為圓（x+1） 2+y2=8的圓心，P是圓上的動(dòng)點(diǎn),T TTT點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且有點(diǎn)A（1,0）和AP上的點(diǎn)M,滿足？?）, ？?？? ?（D當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷Q點(diǎn)的軌跡是什么？并求出其方程；（D若斜率為k的直線l與圓x2+y2=1相切，與（I）中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F, H,且30?4 （其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）求k的取值范圍. 45【解答】解：（I）由題意知MQ是線段AP的垂直平分線，所以 | CP =| QC+| QP| =| QC|+| QA

19、| =2/ > | CA| =2,所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C, A為焦點(diǎn)，焦距為2,長(zhǎng)軸為2比的橢圓，. a=v2, c=1, b=v?-?2=1,2吊.故點(diǎn)Q的軌跡方程是萬(wàn)+y2=1 ；(D 設(shè)直線 l： y=kx+b, F (xiy1), H (x2, y2),直線l與圓x2+y2=1相切,出 |?| 故而;"?+1? 聯(lián)立E=1,解得：b2=k2+1,?= ?故(1+2k2) x2+4kbx+2b2 2=0, =16k2b2-4 (1+2k2) (b2- 1)4?故 kw。，x1+x2=- 1+2?2,=8 (2k2-b2+1) =8k2>0,2?/-2x1x2=5 ,

20、1+2?2'?=x1x2+y1 y2= (1+k2)(1+?2)2?修 4?，(？修+1)xix2+kb(X1+X2) +b21+2?2 1+?2=1+2?21+2?2+k2+131+?2所以尸石?2 51 c 1-< k2<-2'.v3v2故了0| k| w2-,一ev2故所求氾圍為£v3 v3-TUTv2T8. (2018?蘭州模擬)已知圓 C: (x+1) 2+y2=8,過(guò)D (1, 0)且與圓C相切的動(dòng)圓圓心為P.(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)C的直線11交曲線E于Q, S兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線12交曲線E于R,T兩點(diǎn)，且11±12

21、,垂足為W （Q, R, S, T為不同的四個(gè)點(diǎn)）.？2 O設(shè) W （X0, yo）,證明：+ ?2<1;求四邊形QRST勺面積的最小值【解答】（1）解：設(shè)動(dòng)圓半徑為r,則 |?= 2五-? |?= ? |?+ |?= 2v2>|?= 2,由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡E是橢圓，?9其方程為萬(wàn)+ ?2= 1. （2分）（2）證明：由已知條件可知，垂足 W在以CD為直徑的圓周上,則有？?2 + ?2 = 1 ,又因Q, S, R, T為不同的四個(gè)點(diǎn)，?22+ ?< 1 . （4 分）2解：若11或12的斜率不存在，四邊形 QRST勺面積為2. （6分）若兩條直線的斜率存在，設(shè)11的

22、斜率為k1,貝U 1i的方程為y=k1 (x+1),?= ?(?+ 1)聯(lián)立? a ，?+ ?2 = 1得(2k2+1) x2+4k2x+2k2 2=0,一, ? r + 1-則 |?= 2v2?+, (8 分)2?夕+1?+1 同理得|?= 2M2號(hào), ?+2 ' ?=? |?!|? 4(?樂(lè))2(2?答1)(?2+2)>4 (?/2+1)2 , 16?492=9,和落1)當(dāng)且僅當(dāng)2k2+1=k2+1,即k=± 1時(shí)等號(hào)成立.（11分）綜上所述，當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形QRST勺面積取得最小值為16-. (12分)9. (20187®州二模)直線l過(guò)點(diǎn)

23、F (1, 0)與y軸交于點(diǎn)G,過(guò)G作FG的垂線 與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P滿足？?？2?(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)K(- 1, 0)的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為8一D, ?,求直線BD的方程. 9【解答】解：(1)設(shè)P (x, y),由點(diǎn)P滿足？?=2?點(diǎn)G為線段TP的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段TP的垂直平分線上，| TF| =| PF,|PF=v(?q 1)2+?2, . .T (1-，(?0 1)2 + ?, 0),又TP的中點(diǎn)在y軸上，故1 «? 1)2 + ?+x=0,化為：y2=4x, 點(diǎn)P的軌跡C的方程為：y2=4x.(2)設(shè) A (x，y1), B

24、 (x2, y2), D (x1，一 y1)，l 的方程為：x=my 1 (mw0).把x=my- 1 (mw0),代入拋物線方程 y2=4x,可彳3:y2 - 4my+4=0. y1+y2=4m, y1y2=4,x1+x2= (my1 - 1) + (my2- 1) =4m2- 2, x1x2= (my1 - 1) (my2 - 1) =1, .?(x11, y1), ? (x21, y2). ? (x1 1) (x21) +y1y2= - (x1+x2)+x1x2+1+4=8 4m2,84m2=解得 m=±4,可得 l 的方程為：3x+4y+3=0, 3x 4y+3=0. 93又

25、 | y1 y2| =，(?？ + ?)2- 4?=，16?7 - 4X4=437,?+?43kBD=±.?-?1 ?-?1.?+?14?.直線 BD的萬(wàn)程為：y=?-? (x-x2)+y2,y=?-?i (x-y) +y2,4?-?4(?-1)可得：y= ?-?：，即 y=?：U'令 y=0，解得 x4即直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0), 直線BD的方程為：3x+v7y- 3=0或3x - v7y - 3=0.10. (2018?成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A( - 1, 0), B (1,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+| MB|=4.記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為曲線 C,直線l

26、: y=kx+2與 曲線C相交于不同的兩點(diǎn)P, Q.(I)求曲線C的方程；(D若曲線C上存在點(diǎn)N,使得？?？? ?)求 人的取值范圍.【解答】解：(I) .點(diǎn) A (- 1, 0), B (1, 0),動(dòng)點(diǎn) M 滿足|MA|+| MB| =4. . .？用？吊動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為以A, B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：？2+?2=1 (a>b>0) .2a=4, c=1, a2=b2+c2,聯(lián)立解得 a=2, c=1, b2=3. .？用?曲線C的方程為：+ = 1 .?= ?+?2(D 設(shè) P (x1，y1), Q (x2, y2).聯(lián)立? ?,彳+3=1化為：(4k2+3) x2+

27、16kx+4=0, 二 (16k) 2- 16 (4k2+3) >0,解得 k2>4.16?4Xi +x2= x , x1x2= ,3+4?2，4?2+3 '16?212y1+y2=k(x1+x2)+4=-4?73+4=4?;r: ? ?= ?£?) 入W 0、方/X,-XN=-(X1+X2)=-16? , yN=1 (y1+y2)=12.?(4?+3)' ? ?(4?+3)又點(diǎn)N在橢圓C上，.X16 ? o+1 XJ=1'4 (4?2+3) 2? 3(4?2+3)2?'八， c 16c 1C化為：%=4?27?, "2>1

28、' '4k2+3>4-.0<充<4,解得-2V點(diǎn)2,且入w0.入的取值范圍是：(-2, 0) U (0, 2).11. (2017秋?醴陵市期末)已知圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)一2A, B,圓心坐標(biāo) C (t, -? (tCR, tw0)(1)求證：4AOB的面積為定值；(2)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M, N,若|OM|=|ON| ,求圓C的方程；(3)在(2)的條件下，設(shè)P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求| PB|+| PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答】(1)證明：由題設(shè)知，圓C的方程為(x-1) 2+ (y-

29、1?2=t2+?2化簡(jiǎn)得 x2 - 2tx+y2 - ?y=0,當(dāng) y=0 時(shí)，x=0或 2t,則 A (2t, 0);當(dāng) x=0時(shí)，y=0或?？則 B (0, ?,. &AOB=1| OA| ?| OB| =2| 2t| ?| ?=4為定值.解：(2) :| OM|二|ON| ,則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H,則CH!MN,H、O三點(diǎn)共線，2則直線OC的斜率k=5=2=1，? ?22 t=2 或 t= - 2.圓心為 C (2, 1)或 C (-2, - 1),圓 C的方程為(x 2) 2+ (y1) 2=5或(x+2) 2+ (y+1) 2=5,由于當(dāng)圓方程為(x+2)

30、 2+ (y+1) 2=5時(shí)，直線2x+y 4=0至ij圓心的距離d>r, 此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，圓 C 的方程為(x- 2) 2+ (y - 1) 2=5.(3)點(diǎn)B (0, 2)關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為B'(-4, -2),貝U|PB|+| PQ=| PB+| Pq 引 B' |Q,又B到圓上點(diǎn)Q的最短距離為| B，|C- "(-6) 2 + 32 - v5=3v5- v5=2v5.1故|PB|+| PQ的最小值為2V5,直線B'的方程為y=2x, 則直線B'右直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4, - I).3312.

31、 (2018春？姜堰區(qū)期中)已知圓 C: (x- 4)2+(y-1)2=4,直線 l:2mx- (3m+1) y+2=0(1)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值;(3)已知點(diǎn)M (4, 5),在直線MC上(C為圓心)，存在定點(diǎn)N (異于點(diǎn)M),滿足：對(duì)于圓C上任點(diǎn)P,都有|?|?常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù).【解答】解：(1)依題意得，m (2x 3y) + (2-y) =0,令 2x- 3y=0 且 2-y=0,彳# x=3, y=2;直線l過(guò)定點(diǎn)A (3, 2);(4分)(2)當(dāng)ACL時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知 C (4, 1), r=2;.2-

32、1/口 -1-1, , kAC=' -= 1 ,4寸 kl=TT-=1, 3-4?-12?一由=1 得 m= 1； (8 分)3： + 1(3)法一：由題知，直線MC的方程為x=4,假設(shè)存在定點(diǎn)N (4, t)滿足題意, |?|則設(shè) P (x, y), ?=A,彳#|PM|2=；2|PN|2( A>0),且(x-4) 2=4- (y-1) 2； |?|4 (y 1) 2+ (y5) 2=4 /-*(y 1) 2+4 (y- t) 2,整理得，(22t)猿+8y+ (3+t2) 22-28=0;(12 分)上式對(duì)任意y -1, 3恒成立，(2 2t) %+8=0 且(3+t2) 2

33、2-28=0,整理得t2- 7t+10=0,解得t=2或t=5(舍去，與M重合)，. %=4,解得人=2綜上可知，在直線MC上存在定點(diǎn)N(4, 2),使得也%常數(shù)2.(16分) |?|法二：設(shè)直線MC上的點(diǎn)N (4, t),取直線MC與圓C的交點(diǎn)Pi (4, 3),|?|2|?| |?-3| '1?<2?|6取直線MC與圓C的交點(diǎn)P2 (4, - 1),則L=,''|?| |?+1|'令看=念,解得t=2或t=5 (舍去，與M重合),此時(shí)鬻=2,|?-3| |?+1|?|若存在這樣的定點(diǎn)N滿足題意，則必為N (4, 2),(分)下證：點(diǎn)N (4, 2)滿足

34、題意,設(shè)圓上任意一點(diǎn) P (x, y),則(x-4) 2=3+2y- y2,|?_(?-4) 2+(?-5) 2_3+2?-?2+(?-5) 2:8?+28 _. . |?胃一(?-4) 2+(?-2) 2=3+2?-?2+(?-2) 2=-2?+7 =4,.1?=2 . |?!，綜上可知，在直線MC上存在定點(diǎn)N (4, 2),使得黑煞常數(shù)2.(16分) |?|13. (2017N山頭一模)已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓 M: (x+1) 2+y2=16,定點(diǎn)F (1, 0),點(diǎn)N是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，線段NF的垂直平分線交圓M的半徑MN于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q的軌跡為E.(1)求曲線E的方程;(2)已知點(diǎn)P是曲線E上

35、但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，曲線 E與y軸的交點(diǎn)分別為Bi、B2,直線BiP和枚P分別與x軸相交于C、D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積| OC ?| OD|是否為定值？如果是請(qǐng)求出定值，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1, 0),過(guò)點(diǎn)C的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，求4ABD面積的最大值.【解答】(1)解：連結(jié)FQ,則FQ=NQQ的軌跡為以點(diǎn)M、F為焦V MQ+FQ=MQ+QN=MN=4>ME,橢圓的定義即得點(diǎn)點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓.2a=4,即 a=2,又二.焦點(diǎn)為(1, 0),即 c=1,b2=a2 c2=4 1=3,-一 ?故點(diǎn)q的軌跡c的萬(wàn)桂為：7+7=1令 y=0,

36、得？?= 3+?焉，同理得？?=才,3-?03?3|OC?|OD|=I xc| ?| xd|=| 77tyl 3-?0?+3-y="?T?0 ”(2)證明：設(shè)P (xo, y。)，直線BiP的方程為:點(diǎn)P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),?2?2一十丁 1即 3x02=4 (3-y。2）,代入得| Oq?|OD| 為定值 4.（3）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,0）時(shí)，點(diǎn)D ( - 4,0),|CD =3,設(shè)直線l的方程為：x=my- 1, A(xi, yi), B(X2 ?= ? 1 0 、聯(lián)立(3?+4?= 12得(城y2- 6my- 9=0解得：？=3?-6 "?陰+13?2+4，?=3?+"?陰+13?2+4I yiy2| =12m？2 + 13?2+4' ABD 面1s= 一2x| y13 123催+1 18&