高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)推理公式習(xí)題大全

1、公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）sin （kZ） cos（2k）cos （kZ） tan（2k）tan （kZ） cot（2k）cot （kZ） 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式

2、一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）sin cos（2）costan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cot cot（/2）tansin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cot cot（/2）tansin（3/2）cos cos（3/2）sintan（3/2）cot cot（3/2）tansin（3/2）cos cos（3/2）sintan（3/2）cot cot（3/2）tan （以上kZ） 規(guī)律總結(jié) 上面這些誘導(dǎo)公式可以

3、概括為：對(duì)于/2*k ±（kZ）的三角函數(shù)值， 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變； 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos；cossin；tancot，cottan. （奇變偶不變） 然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （符號(hào)看象限） 例如： sin（2）sin（4·/2），k4為偶數(shù)，所以取sin。 當(dāng)是銳角時(shí)，2（270°，360°），sin（2）0，符號(hào)為“”。 所以sin（2）sin 上述的記憶口訣是： 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k·360°+（kZ），-、180

4、°±，360°- 所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶 水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。 兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tan（）（tan+tan）（1-tantan） tan（）（tantan）（1tan·tan） 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式） sin22sincos cos2cos2（）sin2（）2cos2（）112sin2（） tan22tan/1tan2（） 半角公式 半角的正弦、余弦

5、和正切公式（降冪擴(kuò)角公式） sin2（/2）（1cos）2 cos2（/2）（1cos）2 tan2（/2）（1cos）（1cos） 另也有tan（/2）=（1cos）/sin=sin/（1+cos） 三角函數(shù)的和差化積公式 sinsin2sin（）/2·cos（）/2 sinsin2cos（）/2·sin（）/2 coscos2cos（）/2·cos（）/2 coscos2sin（）/2·sin（）/2 積化和差公式 三角函數(shù)的積化和差公式 sin·cos0.5sin（）sin（） cos·sin0.5sin（）sin（） cos&

6、#183;cos0.5cos（）cos（） sin·sin0.5cos（）cos（） 和差化積公式推導(dǎo) 附推導(dǎo)： 首先，我們知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb 所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b）/2 同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b）/2 同樣的，我們還知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb

7、+sina*sinb 所以，把兩式相加，我們就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb 所以我們就得到，cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b）/2 同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b）/2 這樣，我們就得到了積化和差的四個(gè)公式： sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b）/2 cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b）/2 cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b）/2 sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b）/2 有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們

8、只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的四個(gè)公式。 我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x，a-b設(shè)為y，那么a=（x+y）/2，b=（x-y）/2 把a(bǔ)，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式： sinx+siny=2sin（x+y）/2）*cos（x-y）/2） sinx-siny=2cos（x+y）/2）*sin（x-y）/2） cosx+cosy=2cos（x+y）/2）*cos（x-y）/2） cosx-cosy=-2sin（x+y）/2）*sin（x-y）/2）四【典例解析】題型1：象限角例1已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？解析：

9、（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：，則令 ，得 解得 從而或代回或（2）因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：。點(diǎn)評(píng)：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問(wèn)題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；（2）可對(duì)整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開(kāi)討論。例2若sincos0，則在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限 C第一、四象限 D第二、四象限解析：答案：B；sincos0，sin、cos同號(hào)。當(dāng)sin0，cos0時(shí)，在第一象限，當(dāng)sin0，cos0時(shí)，在第三象限，因此，選B。例3若A

10、、B是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，AB90°，B90°A，cosBsinA，sinBcosA，故選B。例4已知“是第三象限角，則是第幾象限角?解法一：因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，?dāng)k=3m（mZ）時(shí)，為第一象限角；當(dāng)k= 3m1（mZ）時(shí)，為第三象限角，當(dāng)k= 3m2（mZ）時(shí)，為第四象限角，故為第一、三、四象限角。解法二：把各象限均分3等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并依次循環(huán)一周，則原來(lái)是第象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即

11、為的終邊所在的區(qū)域。由圖可知，是第一、三、四象限角點(diǎn)評(píng)：已知角的范圍或所在的象限，求所在的象限是?？碱}之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并循環(huán)一周，則原來(lái)是第幾象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為 (nN*的終邊所在的區(qū)域。題型2：三角函數(shù)定義例5已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。解析：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，。當(dāng)；，。當(dāng)，；。例6已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。解析：由題設(shè)知，所以，得，從而，解得或。當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 。題型3：誘導(dǎo)公式例7（2009遼寧文，8）已知，則（ ） A. B. C. D.答案 D例

12、8化簡(jiǎn)：（1）；（2）。解析：（1）原式；（2）當(dāng)時(shí)，原式。當(dāng)時(shí)，原式。點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類(lèi)型，分別加以討論題型4：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例9已知，試確定使等式成立的角的集合。解析：，=。又， 即得或所以，角的集合為：或。例10（1）證明：；（2）求證：。解析：（1）分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運(yùn)用分析法，即要證，只要證A·D=B·C,從而將分式化為整式證法一：右邊=證法二：要證等式，即為只要證 2（）（）=即證：，即1=，顯然成立，故原式得證。點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角恒等式的證明

13、時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡(jiǎn)潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系（2）證法一：由題義知，所以。左邊=右邊。原式成立。證法二：由題義知，所以。又，。證法三：由題義知，所以。，。點(diǎn)評(píng)：證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，證明時(shí)常用的方法有：（1）從一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子（如例6）；（3）證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立（以下來(lái)自2009年各地高考試題）1.(2009海南寧夏理，5.有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)

14、的命題：xR, += : x、yR, sin(x-y=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosyx+y=其中假命題的是A， B.， C.， D.，答案 A2.（2009遼寧理，8）已知函數(shù)=Acos(的圖象如圖所示，則=（ ）A. B. C.- D. 答案 C3.（2009全國(guó)I文，1）°的值為A. B. C. D. 答案 A4.（2009全國(guó)I文，4）已知tan=4,cot=,則tan(a+= （ ）A. B. C. D. 答案 B5.（2009全國(guó)II文，4） 已知中， 則A. B. C. D. 解析：已知中，. 故選D.6.（2009全國(guó)II文，9）若將函數(shù)的

15、圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 答案 D7.（2009北京文）“”是“”的A 充分而不必要條件 B必要而不充分條件C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案 A解析 本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.當(dāng)時(shí)，反之，當(dāng)時(shí)，或，故應(yīng)選A. 8.（2009北京理）“”是“”的 （ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案 A解析 本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.當(dāng)時(shí)，反之，當(dāng)時(shí)，有，或，故應(yīng)

16、選A.9.（2009全國(guó)卷文）已知ABC中，則A. B. C. D. 答案：D解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由cotA=知A為鈍角，cosA<0排除A和B，再由選D10.（2009四川卷文）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是A. 函數(shù)的最小正周期為2 B. 函數(shù)在區(qū)間0，上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線0對(duì)稱 D. 函數(shù)是奇函數(shù)答案 D解析，A、B、C均正確，故錯(cuò)誤的是D【易錯(cuò)提醒】利用誘導(dǎo)公式時(shí)，出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤11.（2009全國(guó)卷理）已知中， 則（ ）A. B. C. D. 解析：已知中，. 故選D.答案 D12.（2009湖北卷文）“sin=”是“”的 （ ） A.充分而不必要條

17、件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A解析 由可得，故成立的充分不必要條件，故選A.13.（2009重慶卷文）下列關(guān)系式中正確的是（ ）A B C D答案 C解析 因?yàn)?，由于正弦函?shù)在區(qū)間上為遞增函數(shù)，因此，即二、填空題14.（2009北京文）若，則 .答案 解析 本題主要考查簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的運(yùn)算. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.由已知，在第三象限，應(yīng)填.15.(2009湖北卷理已知函數(shù)則的值為 .答案 1解析 因?yàn)樗怨省久}意圖】在課改區(qū)高考試題中，十分重視弘揚(yáng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).新課標(biāo)卷更注意數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力的考查，試題設(shè)計(jì)更加注意貼近生活實(shí)踐

18、.16. 函數(shù)，給出下列4個(gè)命題：在區(qū)間上是減函數(shù)； 直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸；函數(shù)f（x）的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到；M若 ，則 f （ x ）的值域是 其中正確命題序號(hào)是 。17. 已知邊長(zhǎng)為4的正三角形的中心為，一個(gè)半徑為8，中心角為的扇形的頂點(diǎn)與重合，當(dāng)扇形繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明：與扇形的重疊部分的面積變化特征： 。 18. 銳角中，且，則的最大值為 19. 設(shè)則的值等于_ .20. 在ABC中，BC=1，當(dāng)ABC的面積等于時(shí)，_ .21. 若的三個(gè)內(nèi)角的正弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的余弦值，則的三個(gè)內(nèi)角從大到小依次可以為 （寫(xiě)出滿足題設(shè)的一組解），另兩角不惟一，但其和為22. 在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，給出下列結(jié)論：若ABC，則；若；必存在A、B、C，使成立；若，則ABC必有兩解.其中，真命題的編號(hào)為 .（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）23. 若函數(shù)對(duì)任意的存在常數(shù),使得恒成立,則的最小正值是: 五【思維總結(jié)】1幾種終邊在