1.2chapter不定積分小結(jié)ppt課件

1、積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分主要內(nèi)容主要內(nèi)容一一. 基本概念與性質(zhì)基本概念與性質(zhì) 1. 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分 ,內(nèi)內(nèi)若若在在I,)()()()(dxxfxdFxfxF 或或.)()(內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在為為則則稱稱IxfxF函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上的原函數(shù)全體上的原函數(shù)全體, 稱為稱為f(x)在在I上的上的不定積分不定積分. 記為記為 dxxf)(CxFdxxfxfx

2、F )()(),()(則則若若2. 不定積分的基本性質(zhì)不定積分的基本性質(zhì) ),()( ) 1 (xfdxxfdxd ,)()( )2( CxFdxxF dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()( )3(2121二二. 基本積分公式基本積分公式 三三. 換元法與分部積分法換元法與分部積分法 1. 第一換元法第一換元法(湊微分法湊微分法) dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 常見的一些湊微分形式常見的一些湊微分形式:)()(1)(baxdbaxfadxbaxf nnnndxxfndxxxf )(1)(1)(ln)(l

3、n1)(lnxdxfdxxxf )(sin)(sincos)(sinxdxfdxxxf )(cos)(cossin)(cosxdxfdxxxf )(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf )(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf )(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf )(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf xxxxdeefdxeef )()(利用三角函數(shù)公式利用三角函數(shù)公式: 倍角公式與積化和差倍角公式與積化和差2. 第二換元法第二換元法 dtttfdxxftx )()()()( dttg

4、)(Ct )(. )()(Cxxt (1)一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)(xaa 可令可令;sintax 22)(xab 可令可令;tantax 22)(axc 可令可令.sectax .,22222222dxxaxaxaxxa 如如也也可可湊湊微微分分用用三三角角代代換換的的積積分分都都并并不不是是所所有有含含(2)當(dāng)分母的階較高時(shí)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換可采用倒代換.1tx (3)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)時(shí),可采用令可采用令 (其中其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)) lkxx,ntx

5、 n3. 分部積分法分部積分法 .)()(duvuvudvdxxgxf 選擇選擇u u的有效方法的有效方法:LIATE:LIATE選擇法選擇法L-對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；哪個(gè)在前哪個(gè)選作哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.注意注意: (1)分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分分部積分法用于求兩類不同函數(shù)乘積的積分.(2)用分部積分法計(jì)算的不定積分類型常見的有用分部積分法計(jì)算的不定積分類型常見的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk .sind

6、xbxex (3)分部積分法與換元法經(jīng)常穿插著使用分部積分法與換元法經(jīng)常穿插著使用.(4)分部積分法常用來推導(dǎo)遞推公式分部積分法常用來推導(dǎo)遞推公式.四四. 有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分 1. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 先把被積函數(shù)化為部分分式之和先把被積函數(shù)化為部分分式之和(利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法),然后積分然后積分.即將即將).,;,;0, 0()()(00110110為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn 化為已知的四種積分來作：化為已知的四種積分來作：.)(IV. ;III. ;

7、)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA 2. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分 dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx coscos 或或方法方法:用積化和差公式進(jìn)行恒等變形后用積化和差公式進(jìn)行恒等變形后,再湊微分再湊微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法方法: ;,1cossin,22再再湊湊微微分分變變形形后后用用為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxm.,再再湊湊微微分分用用倍倍角角公公式式降降冪冪后后為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)mxdxxdxxxRnmcos

8、sin)cos,(sin (3) 方法方法: ;,1cossin,22的積分的積分再湊微分化為有理函數(shù)再湊微分化為有理函數(shù)變形后變形后用用中有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)中有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxnm.,再再湊湊微微分分用用倍倍角角公公式式降降冪冪后后都都是是偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nmdxxxR )cos,(sin (4)方法方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu 3. 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分 通過運(yùn)用變量代換將根號(hào)去掉通過運(yùn)用變量代換將根號(hào)去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 taxtaxtaxtaxtaxtaxcs

9、c seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)為為令令nmptxtbaxpn dxcbxaxxdxcbxaxx22211)3(tx1 令令dxbaxxRn ),()4(tbaxn 令令dxdcxbaxxRn ),()5(tdcxbaxn 令令五五. 常見題型舉例常見題型舉例注意注意: 不是所有初等函數(shù)的不定積分或原函數(shù)不是所有初等函數(shù)的不定積分或原函數(shù)(即便存在即便存在)都都是初等函數(shù)是初等函數(shù). 例如例如 421 ,sin ,sin , ,ln2xdxdxxdxxxdxexdxx等都不能用初等函數(shù)表示等都不

10、能用初等函數(shù)表示, 或者習(xí)慣地說或者習(xí)慣地說“積不出來積不出來”.“積出來的只是很小的一部分積出來的只是很小的一部分, 而且形式變化多樣而且形式變化多樣, 有的技巧性也很強(qiáng)有的技巧性也很強(qiáng). 因此我們沒有必要做太繁或者難因此我們沒有必要做太繁或者難的計(jì)算不定積分的題目的計(jì)算不定積分的題目, 應(yīng)該掌握不定積分的基本計(jì)應(yīng)該掌握不定積分的基本計(jì)算法算法. .)35(. 131 dxxxex 計(jì)計(jì)算算Solution. dxxx31)35(3)35(51原原式式 )35()35(3)35(25131xdxx )35()35(253)35()35(2513134xdxxdx.)35(43253)35(7

11、32513437Cxx .11. 264 dxxxex 計(jì)計(jì)算算Solution. dxxx1)(1324原式原式 dxxxxxxx)1)(1()1(242224 dxxxdxx111622 32321)(13111dxxdxx.arctan31arctan3Cxx .11. 342 dxxxex計(jì)算計(jì)算Solution. dxxxx222111原式原式 )1(2)1(12xxdxx.21arctan21Cxx .1. 4243 dxeeeeexxxxx計(jì)計(jì)算算Solution. dxeeeexxxx221原式原式 xxxxeeeed221)( 1)()(2xxxxeeeed.)arctan(

12、Ceexx .)()()()()(. 532 dxxfxfxfxfxfex 計(jì)計(jì)算算Solution. dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22原式原式 dxxfxfxfxf)()()()( )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf .11. 642 dxxxxex 計(jì)算計(jì)算Solution. xdxxxx42211原原式式 24221121dxxxx dtttttx211212 dtttdtt2211211121 duuttutsin121)1ln(212tanCuutt cotcscln21)1ln(212. .tan. 74 xdxex 計(jì)算計(jì)算Sol

13、ution. dxxx)1(sectan22原原式式 xdxxdxx222tansectan dxxxxd)1(sectantan22.tantan313Cxxx .)1(. 828 xxdxex 計(jì)計(jì)算算Solution. dttttx 1281原原式式 dttttttttt11122244668 dttttt)111(2246Cttttt arctan315171357.1arctan1315171357Cxxxxx .sincos1. 92222 dxxbxaex 計(jì)計(jì)算算Solution. ,0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ba dxxb22sin1原原式式 xdxb22csc1.cot12Cxb

14、,0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ba dxxa22cos1原式原式 xdxa22sec1.tan12Cxa ,0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ba dxxbxa2222sincos1原式原式 dxxbax2222tansec xdxbatantan1222 )tan()tan(1122xbdxbab.tanarctan1Caxbab )( .ln.10為常數(shù)為常數(shù)計(jì)算計(jì)算 xdxxexSolution. ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) dxxxln原原式式 xxdlnln.)(ln212Cx ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xdxx ln 原原式式 )1(ln1 xxd xdxxxln1ln111 dxxxx1ln11 Cxxx 211)1(ln1 )0

15、, 0( .sincoscos.11 badxxbxaxIex計(jì)計(jì)算算Solution. dxxbxaxJsincossin記記 dxxbxaxbxabJaIsincossincos1Cx dxxbxaxaxbaJbIsincossincos2sincoslnCxbxa .sincosln122CxbxabaxbaI .)(,sin)(.12 dxxfxxxxfex求求的原函數(shù)為的原函數(shù)為設(shè)設(shè)Solution. ,)(sin的的原原函函數(shù)數(shù)是是xfxx,sincossin)(2xxxxxxxf ,sin)(1Cxxdxxf )()(xxdfdxxfx從從而而 dxxfxxf)()(.sinsincosCxxxxxx ).(,tansin)2(cos.1322xfxxxfex求求設(shè)設(shè) Solution. )2(cos)2(cos)2(cosxdxfxf )2(cos)tan(sin22xdxx xdxxxcos)coscos