專題05因式分解復(fù)習(xí)課(原卷版)

1、專題05經(jīng)典復(fù)習(xí)課根底版【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算；2. 掌握提公因式法和公式法直接運(yùn)用公式不超過兩次這兩種分解因式的根本方法3. 了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】提公因式袪因式分解A平方差公式公式法克仝平方公式十字相乘袪分組勿解法【要？點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式？因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆-因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算-要點(diǎn)二、提公因式法把多項(xiàng)式ma+ mb+ me分解成兩個(gè)因式

2、的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式加， 另一個(gè)因式是負(fù)+ D+c 即ma+P + mc = m- a +i+c，而dc + i+c正好是ma + mb + me除以加 所得的商， 提公因式法分解因式實(shí)際上是 逆用乘法分配律.要點(diǎn)三、公式法1. 平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：2 2a -b = d+b a_b2. 完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的 2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和差的平方.2 2 2Pp a + 2ab+b = a + b，er - lab+b = a-b.2 2 2 2形如a + 2ab + b , a -lab+b 的式子叫做完全平方

3、式-要點(diǎn)詮釋：1平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)整式的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)整式的和與這兩個(gè)數(shù)整式的差的積-2完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加或減這兩數(shù)之積的 邊是兩數(shù)的和或差的平方-(3) 套用公式時(shí)要注意字母 Q 和 b 的廣泛意茨， a、b 可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式-要點(diǎn)四、十字相柬法和分組分解法十字相柬法 利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法 -Da = c2對(duì)于二次三項(xiàng)式 x2 +bx+c , 假設(shè)存在(，那么兀 +bv+c = (x+p)(%+q)p + q = b分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，假設(shè)不能直接運(yùn)用

4、提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方 法，即把這 個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解分組分解法 .即先對(duì) 題目進(jìn)行分組，然后再 分解因式 .要點(diǎn)五、因式分解的一般步驟 因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項(xiàng)法等 - 因式分解步驟(1) 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；(2) 如果各項(xiàng)沒有公因式那就嘗試用公式法；(3) 如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解 .(4) 結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止 .【典型例題】 類型一、提公因式法分解因式 例 1 、先將代數(shù)式因式分解，再求值： 2x

5、(a-2)-y(2-a) t 其中 a = Q.5,x = 1.5,y = -2 .【思路點(diǎn)撥】 原式變形后，提取公因式化為積的形式，將字母的值代入計(jì)算即可 . 【答案與解析】解：原式 =2x(a-2 )+ y(d-2 )= (d-2)(2x+y),當(dāng) a = 0.5,x = 1.5,y = 2 時(shí)，原式 =(0.5 2)x(32)= 1.5.【總結(jié)升華】 此題主要考查了提取公因式法分解因式 .矣型二、公式法分解因式例2、 2X -3=0,求代數(shù)式 X(X2-X)+ X2(5-X)-9 的值.【思路 點(diǎn)撥】對(duì)所求的代數(shù)式先進(jìn)行整理，再利用整體代入法代入求解 .【答 案與解析】解：x(x2-x)

6、4-jc2(5-x)-9 ,= X3-X2 + 5X2-X3-9 ,= 4x2-9.當(dāng) 2X -3=0 時(shí)，原式 =4X2-9 =( 2X+3 )( 2X-3)=0.【總結(jié)升華】 本題考查了提公因式法分解因式，觀察題目，先進(jìn)行整理再利用整體代入法求解，不要盲目 數(shù)的值再利用代入法求解 .舉一反三：【變式】(3d y)(3d + y)是以下哪一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果()2 2 2 2 2 2 2A. 9fl 2 + y B. -9a + y C. 9a - yD. -9a - y【答案】 c ；例 3、在日常生活中，如取款、上網(wǎng)需要密碼，有一種因式分解法產(chǎn)生密碼，例如x4-y 4 = (x-y)

7、(x4-y)(x 2 + y2),當(dāng) x =9, y =9 時(shí)，x-y =o, x+y=i8, ； + y 2 =162,那么密碼32018162.對(duì)于多項(xiàng)式 4x3-xy 2 , 取 X =10, y =10,用上述方法產(chǎn)生密碼是什么？【思路點(diǎn)撥】首先將多項(xiàng)式4x3-xy2進(jìn)行因式分解，得到4x3-= x(2x+ y) (2x-y),然后把x =io,y =10代入，分別計(jì)算岀(2x+y)及(2x-y)的值，從而得岀密碼.【答案與解析】解：4x3 -xy 2 = x(4x2 - y2) = x(2x+ y)(2x- y),當(dāng) x =io, y =10 時(shí)，X =10, 2X + y=30,

8、2X -y =10,故密碼為 103010 或 101030 或 301010.【總結(jié)升華】 本題是中考中的新題型 . 考查了學(xué)生的閱讀能力及分析解決問題的能力，讀懂密碼產(chǎn)生的方 舉一反三：【變式】利用因式分解計(jì)算(1) 16少丄+15.1 丄(2) 6832 - 3 1 728 8【答案】解： (1) 166 丄+15.1 丄8 8= jx(16.9 + 15.1)= 1x32 = 4822(2) 6832-3172=(683 + 317)x(683 317)= 1000x366= 366000.例 4 、因式分解：的求岀求知法是關(guān)鍵 .(1) (o + b)-+6 (o + b) + 9

9、；(2) _2xy x y2 2 2 4(3) (x -2xyy +2y (x -2x)A) + y【思路點(diǎn)撥】 都是完全平方式，所以都可以運(yùn)用完全平方公式分解 . 完全平方公式法：22( ° 土 b) = a + 2ab+b .【答案與解析】解： (1) (d + b) + 6 (d + b) + 9 = (d + b+3 )2 2 2 2(2) -2xy-x -y =-A2xy+x + y ) = -(x+y)2 2 2 4(3) (x2 -+2y (x2 -+ y22= (x -2xy+/) =(x-y)【總結(jié)升華】 本題考查了完全平方公式法因式分解，(3)要兩次分解，注意要分

10、解完全舉一反三：【變式】分解因式：2 2 2 2(1) (a +b) - 4(rb2(2) (x2 - 2xyAy ') + ( - 2x+2y)+1.2 2 2【答案】解 : (1) (a2+b2) 2 - 4aV22=() (.a +b - 2ab)=(a+ 方)2 (a-方)2；22(2) (x - 2xyi-y ') + ( - 2x+2y)+1=(x-y) M ( x-y) +1=(x-y -1) 2.例 5、先閱讀，再分解因式：x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4-4x2 = (x 24-2) 2-(2x) = (x2-2x+2 )(x2 + 2x+2), 按

11、照這種方法把多項(xiàng)式x4 + 64分解因式 .【思 ?路點(diǎn)撥】 根據(jù)材料，找出規(guī)律，再解答 .【答 案與解析】解：x4 + 64 = x 4 +16x 2 + 64-1 6x? =(x 2 +8) -16x 2 = (x 2 + 8 + 4x)(x 2 + 8- 4x).的關(guān)鍵.【總結(jié)升華】 此題要綜合運(yùn)用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握公式并讀懂題目信息是解題 矣型三、十字相柬法或分組分解法分解因式積之間的關(guān)例6、將以下圖一個(gè)正方形和三個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，請(qǐng)觀察這四個(gè)圖形的面積與拼成的大長(zhǎng)方形的面根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：疋+ px+qx+ pq=丘+(p + q)x+ pq =

12、利用(1)的結(jié)論將下列多項(xiàng)式分解因式：x2 + 7x + 10 :/-7y + 12.【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)一個(gè)正方形和三個(gè)長(zhǎng)方形的面積和等于由它們拼成的這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積作答(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論直接作答.【答案與解析】解: (1) (x+p)x(x+A)(2)x2+7x+10 = (x+2 )(x+5) h_7y+12 = (y_3 )(y_4)【總站升華】此題實(shí)際上考查了利用十字相乘法分解因式.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù) a分解成 兩個(gè)因數(shù)勺，a2的積at?a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)q? c?的積q, C2,并使aLC2 + a 2q正好是一次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：在

13、運(yùn) 用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程.當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).舉一反三：2 2【變式】 A=a + 2, B=a-a + 5, C=a + 5a-l9 , 其中 a >2.(1) 求證：B A>0,并指岀A與B的大小關(guān)系；指岀A與C哪個(gè)大？說明理由.解：(1) B-A=(a- 1) +2>0,所以 B>A2 _(2) C A= a + 5a-19-a-2=亍 + 4a-21 = (a + 7)(a-3 ).因?yàn)閍 >2,所以a +7>0,從而當(dāng) 2<a <3 時(shí)，A&g

14、t;C ；當(dāng) a =3 時(shí)，A=C ；當(dāng) a >3 時(shí)，A<C.同步練習(xí)?選擇題1.以下各式從左到右的變化中屬于因式分解的是().C.加 2 3 加一 4 = /?(/?-3)4D.加，一 4 加一 5 =(加一 2)一922A. m -4n =(/?+2/?)(/n-2/?)2. 多 項(xiàng)式 A. 2x-5y B. x-3yB. (/w+l)(/n-l) = /w 2 -1C. x+3yD. x-5y3. 以下多項(xiàng)式能分解因式的是(4.2 2 2 2A. x + y B. -x 2 - y將加，(a 2) +加(2 a)A. ( Q_2)( F_W7 )分解因式，C. x + 2x

15、y y 正確的選項(xiàng)是(22D. x -xy+ y5.C. ;n(67-2)(/ n-l)以下四個(gè)選項(xiàng)中，哪一個(gè)為多項(xiàng)式B. (d-2)( 7D. 加(2-0) (加一 1 )8x2-lOx+2 的因式？6.A. 2x 2假設(shè)( x-3)(B. "+2X4-5 ) 是 x， + px+ qC. 4x+l的因式，那么 p 為(D. 4A+2A.-15C.89(a-b) +12(a -b ) + 4(677.B.-22+ b) 2 因式分解的結(jié)果是D.22A. (5a-b) B. (5a+ b)C. (3a - 2b)(3d + 2b)2D. (5a-2b) 2以下多項(xiàng)式中能用平方差公式分

16、解的有(22一 144 亍+121/? ； ?-Am + 2n .2 2 2 2 2 2?-a -b : 2x -4y : x-4y :(-w) '- (-/?) 2A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè) 二. 填空題9.分解因式：x2-4 (x-l) = 10.把 x2+3x+c 分解因式得：x, + 3x+c = (x+l)( x+2 )，那么 c 的值為2211. 假設(shè) x2-y2 = l,簡(jiǎn)(兀+)恥( /一刃'*12. 假設(shè) x2 + 3x-3 = 0 , 2x 3 + 6x2 -6x =32213-分解因式： a3 4a2b+4ab2 =214. 把多項(xiàng)式 ax2 -ax-2a 分解因式 A2215. 當(dāng)x = 10 , y = 9 時(shí)，代數(shù)式x - y 的值是 .2216. 把 x2-y 2-2y- 1 分解因式結(jié)果正確的選項(xiàng)是三. 解答題17- 分解因式：(1) 4x(x