1.6 行列式按行(列)展開

1、 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .即即 . . TDD 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .推論推論 如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素完全相如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素完全相同，則此行列式為零同，則此行列式為零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk推論推論2 2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零此行列式為零若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之若行列式的某一列（

2、行）的元素都是兩數(shù)之和和, ,則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和. .把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列數(shù)然后加到另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變變 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余余子式子式，nijaij1 nija 1ijijijMA ，叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如4443424134333231242322211413

3、1211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M .ijM記作記作,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA 注注 行列式的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)行列式的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式代數(shù)余子式. .即即 ijijDa A 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式與它的代數(shù)余子式ijaija的乘積，的乘積，ijAn

4、i一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除證證 當(dāng)當(dāng) 位于首位時(shí)位于首位時(shí), ,即即ija21222121100nnnnnaaaaaaaD 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 從而從而.1111AaD 命題得證命題得證1111100jnnnjnnijaaaaDaaa 得得 11,11,1,1001iiiijjinnnjnnaaaDaaaa 把把 的第的第 行依次與第行依次與第 行，第行，第 行，行，第第1 1行對(duì)調(diào)行對(duì)調(diào)Di1i 2i 下證一般情形下證一般情形, , 此時(shí)此時(shí)得得 111,1,11,10011ijijiijjinnj

5、n jnnaaaDaaaa 把把 的第的第 列依次與第列依次與第 列，第列，第 列，列，第第1 1列對(duì)調(diào)列對(duì)調(diào)Dj1j 2j 1,1,11,1001ijijiijjinnjn jnnaaaaaaa 1111100jnnnjnnijaaaaDaaa 中的余子式中的余子式.ijM1,1,11,100ijijinnjn jnnijaaaaaaa 注意到：注意到：元素元素 在行列式在行列式ija中的余子式仍然是中的余子式仍然是 在行列式在行列式ija 1,1,11,1001ijijijinnjnijjnnaaaaDaaa .1ijijjiMa 于是有于是有1,1,11,100ijijinnjn jnn

6、ijaaaaaaa ,ijijMa 故故.ijijDa A 即即所以命題得證所以命題得證 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122jjjjnjnjDa Aa Aa A 1,2,jn 利用行列式的性質(zhì)四利用行列式的性質(zhì)四-拆分原理有拆分原理有nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaa

7、a211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 命題得證命題得證把行列式把行列式 按第按第 行展開有行展開有det()ijDa j證證j第第行行i第第 行行11111111niinjjjnjnjjnnnnaaaaDa Aa Aaaaa把行列式中的把行列式中的 換成換成 可得可得jka(1, )ikakn

8、1122ijijinjna Aa Aa A1iinaa相同相同,ifij ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 命題得證命題得證 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中例例1 1計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：化零，展開化零，展開. .01042102123202013 3014( 1)3 212021D 1 214( 1)2 321 ( 6) ( 7)42 解解例例2 23040222207005322

9、第四行各元素余子式之和為第四行各元素余子式之和為分析分析41424344MMMM以以 表示表示 中元素中元素 的余子式，則有的余子式，則有ijaijMD3040222207001111 41424344AAAA 3407 222111 34014 111002 342811 28 28 例例3 31221100001000000.0001nnnxxxDxaaaaax 1( 1)nna 21( 1)nna 32( 1)nna 1( 1)()n nxa 21121nnnnnaaxaxa xx nExp rD1( 1)n 2( 1)nx 32( 1)nx 1nx 例例4 4計(jì)算范德蒙德計(jì)算范德蒙德(

10、Vander monde)(Vander monde)行列式行列式122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx 將前一行乘以將前一行乘以 加到后一行上加到后一行上1x 解解（從后往前）（從后往前）2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 1()ixx 按第一列展開，并把每一列的共因子按第一列展開，并把每一列的共因子

11、提出，有提出，有232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx n n- -1 1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式2131411()()()()nxxxxxxxx324222()()()nnxxxxxxD 21314111()()()()nnnDxxxxxxxx D 4333()()nnxxxxD 2131411()()()()nxxxxxxxx32422()()()nxxxxxx433()()nxxxx2131411()()()()nxxxxxxxx32422()()()nxxxxxx1()nnxx ).(1jjinixx 222111222.333nnn

12、nDnnn 解解21212111111222!.13331nnnnDnnnn 每一行提取各行的公因子每一行提取各行的公因子，于是得到，于是得到例例5 5計(jì)算計(jì)算 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n n階范德蒙行列式，由范階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知德蒙行列式知1!()n ijnij nD !(21)(31)(41)(1)nn(32)(42)(2)n(1)nn!(1)!(2)!2!1!.n nn(43)(3)n (11),kn位于這些行和列交叉處的位于這些行和列交叉處的 個(gè)元素，按照原來的順序個(gè)元素，按照原來的順序2k行標(biāo)、列標(biāo)行標(biāo)、列標(biāo). .在在 階行列式中階行列式中, ,任意取定

13、任意取定 行行( (列列) )nk構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè) 階行列式階行列式 ，稱為，稱為 的一個(gè)的一個(gè) 階子式階子式. .MkDk劃去這劃去這 行行 列，余下的元素按照原來的順序列，余下的元素按照原來的順序kk構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè) 階行列式，稱為階行列式，稱為 的的余子式余子式. .在其前面在其前面nk M1212( 1)kkiiijjj ，稱為，稱為 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式. .M冠以符號(hào)冠以符號(hào)1212,kki iijjj分別為分別為 階子式在階子式在 中的中的其中其中Dkn行列式共有行列式共有 個(gè)個(gè) 階子式階子式. . 2knCk例例6 6 求行列式求行列式2354023021230110D 2

14、4 ,Exp r rD解解2 4 2 3( 1) ( 1)( 1)( 2) 2 (11),kn在在 階行列式中階行列式中, , 取定取定 行行( (列列) )nk式的乘積之和等于行列式式的乘積之和等于行列式 . .由這由這 行行( (列列) )組成的所有組成的所有 階子式與它們的代數(shù)階子式與它們的代數(shù)余子余子kkD1122ttDM AM AM A即即24232311例例7 7 求行列式求行列式2nabababDcdcdcd abcdnabcd ()nadbc每次按第一、最后一行展開每次按第一、最后一行展開解解abcd abcdD 4231kkkk例例8 8 求行列式求行列kDkk 132434( 2)k 每次按中間兩行展開每次按中間兩行展開解解5768213kkkk D 4231kkkkija記作記作 . .劃去后，留下來的劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列nij1n ijaijM 1ijij