階電路和二階電路的時(shí)域分析

1、階電路和二階電路的時(shí)域分析第七章第七章 一階電路和二階電路的一階電路和二階電路的時(shí)域分析時(shí)域分析概要：主要講解在概要：主要講解在暫態(tài)過(guò)程暫態(tài)過(guò)程中用中用微分微分方程方程描述電路。描述電路。階電路和二階電路的時(shí)域分析7-1 7-1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、一階電路一、一階電路 當(dāng)線性時(shí)不變電路含當(dāng)線性時(shí)不變電路含一個(gè)電容一個(gè)電容或或一個(gè)電感一個(gè)電感時(shí)，電路方程是一階線性時(shí)，電路方程是一階線性微分微分方程，對(duì)應(yīng)方程，對(duì)應(yīng)的電路稱為的電路稱為一階電阻電容電路一階電阻電容電路（RC電路電路）或或一階電阻電感電路一階電阻電感電路（RL電路電路）。）。 這種電路是這種電路是

2、一階動(dòng)態(tài)電路一階動(dòng)態(tài)電路。階電路和二階電路的時(shí)域分析二、換路定律二、換路定律過(guò)渡過(guò)程：電路由一個(gè)工作狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檫^(guò)渡過(guò)程：電路由一個(gè)工作狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)工作狀態(tài)，其間所經(jīng)過(guò)的過(guò)程稱另一個(gè)工作狀態(tài)，其間所經(jīng)過(guò)的過(guò)程稱為為過(guò)渡過(guò)程過(guò)渡過(guò)程。 暫態(tài)暫態(tài)過(guò)渡過(guò)程過(guò)渡過(guò)程穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)上述電路上述電路結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)或或參數(shù)參數(shù)變化引起的電路變化稱為變化引起的電路變化稱為換路換路。通常把通常把換路前最終時(shí)刻換路前最終時(shí)刻記為記為t =0-，換路后的最初換路后的最初時(shí)刻時(shí)刻記為記為t =0+，換路經(jīng)歷的時(shí)間為，換路經(jīng)歷的時(shí)間為0-到到0+。階電路和二階電路的時(shí)域分析1、過(guò)渡過(guò)程過(guò)渡過(guò)程：從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種

3、 穩(wěn)定狀態(tài)的中間過(guò)程。補(bǔ)充：過(guò)渡過(guò)程補(bǔ)充：過(guò)渡過(guò)程SUsCLRL1L2L3過(guò)渡過(guò)程演示電路圖 2 2、現(xiàn)象：合上、現(xiàn)象：合上S S L1立即發(fā)亮 亮度不變 L2由暗亮 最后定 L3由亮暗 直到熄滅 外因 :電路狀態(tài)的改變 內(nèi)因: 有儲(chǔ)能元件階電路和二階電路的時(shí)域分析2.換路定律定義換路定律定義 換路前后換路前后電容電流和電感電壓電容電流和電感電壓為為有限值有限值時(shí)，換路前后時(shí)，換路前后電容電壓和電感電流電容電壓和電感電流不能不能躍變躍變。即：即：uc(0+)=uc(0-)iL(0+)=iL(0-)能量不能躍變能量不能躍變電路中其它量換路前后電路中其它量換路前后皆可躍變皆可躍變。階電路和二階電路

4、的時(shí)域分析三、初始值計(jì)算：三、初始值計(jì)算：求解初始條件求解初始條件初始值初始值：響應(yīng)在：響應(yīng)在換路后換路后最初瞬間最初瞬間（即（即0+）的值。的值。獨(dú)立獨(dú)立初始值：初始值：uc(0+)、iL(0+)。相關(guān)相關(guān)初始值：其它電量初始值：其它電量由獨(dú)立初始值由獨(dú)立初始值求出。求出。求解過(guò)程：求解過(guò)程：由已知求得由已知求得uc(0+)、iL(0+)換路定律換路定律；畫(huà)出畫(huà)出t =0+時(shí)的時(shí)的等效電路等效電路： uc(0+)電壓電壓源替代源替代； iL(0+)電流源替代電流源替代； 求出其它電量的初始值。求出其它電量的初始值。階電路和二階電路的時(shí)域分析SUsCuCiCR1i1R2i2(a)UsCuC (

5、0)iC (0)R1i1 (0)R2i2 (0)(b) 圖（圖（a）所示電路中）所示電路中, 已知已知Us=12V, R1=4k, R2=8k, C=1F, 開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)S原來(lái)處于斷開(kāi)狀態(tài)原來(lái)處于斷開(kāi)狀態(tài), 電容上電壓電容上電壓uC(0-)=0。求開(kāi)。求開(kāi)關(guān)關(guān)S閉合后閉合后, t=0+時(shí)時(shí), 各電流及電容電壓的數(shù)值。各電流及電容電壓的數(shù)值。 例例: :解解: :選定有關(guān)參考方向如圖所示。 (1) 由已知條件可知: uC(0-)=0。 (2) 由換路定則可知: uC(0+)=uC(0-)=0。階電路和二階電路的時(shí)域分析(3) 求其它各電流、電壓的初始值。畫(huà)出t=0+時(shí)刻的等效電路, 如圖（b）所示。

6、由于uC(0+)=0, 所以在等效電路中電容相當(dāng)于短路。故有mARUiRRuisC310412)0(, 00)0()0(311222由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。 SUsCuCiCR1i1R2i2(a)UsCuC (0)iC (0)R1i1 (0)R2i2 (0)(b)階電路和二階電路的時(shí)域分析解：解： R1 Us + uL i R2 R3 C L iC + uC Us + uC(0) R1 R2 R3 iL(0) i2(0) t=0：123(0 )4()/SLUiARRR212(0 )4CSRuUVRRiLt=0階電路和二階電路的時(shí)域分析uC (0+)=

7、uC(0)=4ViL(0+)=iL(0)=4A uC(0+) iC(0+) Us + uL(0+) R1 R3 iL(0+) i(0+) 圖(c) 1(0 )(0 )2SCCUuiARi(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6AuL (0+)=US R3iL(0+)= 6Vt =0+：階電路和二階電路的時(shí)域分析解：解： Us + uV V K iV R L iL (0 )200SLUiAR(0 )(0 )200LLiiA6(0 )(0 )200 510VV VuR ikV 階電路和二階電路的時(shí)域分析7-2 7-2 一階電路的一階電路的零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng)一、零輸入響應(yīng)一、零輸入響應(yīng) 當(dāng)當(dāng)u

8、C(0+)、iL(0+)不為零不為零且電路中且電路中無(wú)獨(dú)立源外施激勵(lì)無(wú)獨(dú)立源外施激勵(lì)時(shí)，電路中的響時(shí)，電路中的響應(yīng)稱為應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)。階電路和二階電路的時(shí)域分析二、二、RC電路電路的零輸入響應(yīng)的零輸入響應(yīng) 充好電充好電的電容向電阻放電：的電容向電阻放電：R0U0uCCRS(t=0)uRt0iCRuRuCi階電路和二階電路的時(shí)域分析1.求解求解t 0+時(shí)的電路時(shí)的電路 當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)時(shí) uC(0+)=U0 由由KVL得得 uCuR=0 又又 uR=Ri dtduCiCCRuRuCi)0(0tdtduRCuCC解微分方程可得解微分方程可得RCtCeUu0(t 0+)階電路和二階電路的時(shí)域

9、分析 一階微分方程求解補(bǔ)充：一階微分方程求解補(bǔ)充：RCtptCptptptptCCAeAeuRCpRCpAeRCpAeRCpAeAeuucdtduRC1010) 1(00由換路定則知：由換路定則知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即即將將A=U0代入，代入， 得得RCtCeUu0階電路和二階電路的時(shí)域分析RCtRCeRURudtduCi0電流電流(t0+)2.uC、uR、i的時(shí)間曲線的時(shí)間曲線tuC02U00.368U00.135U0uR、i階電路和二階電路的時(shí)域分析3.時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) 定義定義: =RCtCeUu0 僅取決于僅取決于電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)，單位，

10、單位“秒秒s”。對(duì)響應(yīng)的影響：對(duì)響應(yīng)的影響： 越大，放電過(guò)程越長(zhǎng)越大，放電過(guò)程越長(zhǎng)。通常認(rèn)為經(jīng)過(guò)。通常認(rèn)為經(jīng)過(guò)35后過(guò)后過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。渡過(guò)程結(jié)束。的圖解的圖解 t uC 0 C B U0 uc(t0) A 0000001)(tanttttCCeUeUdtdutuABBCt=時(shí)，時(shí)，uC=0.368U0(次切距法次切距法)任一點(diǎn)切線任一點(diǎn)切線（其中（其中R為為等效電阻等效電阻）階電路和二階電路的時(shí)域分析ti0e0=1 2 3 4 5 00te368. 01e135. 02e050. 03e018. 04e007. 05eeCu0U0368. 0U0135. 0U0050. 0U0018. 0U0

11、007. 0URU0RU0368. 0RU0135. 0RU0050. 0RU0018. 0RU0007. 0電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律階電路和二階電路的時(shí)域分析4.能量轉(zhuǎn)換能量轉(zhuǎn)換電容的電能電容的電能2021CUWC電阻的熱能電阻的熱能200221CURdtiWR階電路和二階電路的時(shí)域分析例： 電源開(kāi)關(guān)S原在位置1，且電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)由1合向2，求t0時(shí)電流i（t）。解：VuuVuccc4)0()0(4444210)0(換路后電路如右圖：)0(4)0(4)0(212221215 . 05 . 0tAeucitVeeucucScRRRRRRttt歐階

12、電路和二階電路的時(shí)域分析三三、RL電路電路的零輸入響應(yīng)的零輸入響應(yīng)R0U0uLLRS(t=0)uRt 0iLRuRuLi階電路和二階電路的時(shí)域分析1.求解求解t 0+時(shí)的電路時(shí)的電路 當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)時(shí) i(0+)=I0=U0/R 由由KVL得得 uL+ +uR=0 又又 uR=Ri dtdiLuLLRuRuLi)0(0tdtdiLRi解微分方程可得解微分方程可得tLReIi0(t 0+)階電路和二階電路的時(shí)域分析2.2.時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)GLRL即即:tLtRteRIueRIueIi000單位單位”秒秒S”S”O(jiān)RIOi uR RIOIOtuL3.3.參數(shù)曲線參數(shù)曲線4. 能量轉(zhuǎn)換：能量轉(zhuǎn)換：L磁

13、場(chǎng)能磁場(chǎng)能RR熱能熱能階電路和二階電路的時(shí)域分析 零輸入響應(yīng)是初始值的零輸入響應(yīng)是初始值的線性線性函數(shù)，函數(shù)，滿足：滿足：U0：00tCuU etKU0 ：U01+U02：00tCCuKuKU et 01020102()tttCuUUeU eU e 注：注：齊次性：齊次性：可加性：可加性：階電路和二階電路的時(shí)域分析uC =R1i1+R2i2 ，i2=i1+ i1=2i1 uC = R1i1+2R2i1 i2 i1 C + uC R1 R2 i1 R 解：解：12125CuRRRi =RC=5s5(0 )0ttCCuueeVt51105tCuieAtR5212205tiieAt求等效電阻求等效電

14、阻R階電路和二階電路的時(shí)域分析7-3 7-3 一階電路的一階電路的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)一、零狀態(tài)響應(yīng)一、零狀態(tài)響應(yīng) 當(dāng)當(dāng)uC(0+)、iL(0+)為為零零，電路中由，電路中由獨(dú)立源獨(dú)立源外施激勵(lì)外施激勵(lì)引起的響應(yīng)稱為引起的響應(yīng)稱為零零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng)。階電路和二階電路的時(shí)域分析二、二、RC電路電路在在直流激勵(lì)直流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)下的零狀態(tài)響應(yīng)求解求解 t0 時(shí)的電路時(shí)的電路(充電充電)0( tUdtduRCuSCCUSuCRS(t=0)uRCKVL： uC+uR=USi又又RiuRdtduCiC)1 (tStSSCeUeUUutSCeRUdtduCi可解得可解得（t0）（t0）其中其中=RC

15、階電路和二階電路的時(shí)域分析)1 (tStSSCeUeUUuSCUu對(duì)對(duì)的說(shuō)明的說(shuō)明tSCeUu 特解特解稱為稱為穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量或或強(qiáng)制分量強(qiáng)制分量； 通解通解稱為稱為瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量或或自由分量自由分量。2.參數(shù)曲線參數(shù)曲線OUSuC USUStuCuCiR3.能量轉(zhuǎn)換能量轉(zhuǎn)換WR=WC=CUS2充電效率充電效率50%階電路和二階電路的時(shí)域分析三、三、RL電路電路在在直流激勵(lì)直流激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)下的零狀態(tài)響應(yīng)ISS(t=0)LRuLiLiR求解求解 t0 時(shí)的電路時(shí)的電路KCL: IS=IR+IL)0( tIdtdiRLiSLL可解得可解得)0)(1 (teIeIIitStSSL其中其中R

16、L階電路和二階電路的時(shí)域分析2.參數(shù)曲線參數(shù)曲線OISi L IStiLiL3.能量轉(zhuǎn)換能量轉(zhuǎn)換WL=WR=LIS2零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)的線性函數(shù)線性函數(shù)：可加性：可加性：f1(t)y(1)，f2(t)y(2)，則則 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2)齊次性：齊次性：kf1(t)y(3)=ky(1)注：注：階電路和二階電路的時(shí)域分析四、正弦電源激勵(lì)四、正弦電源激勵(lì)下的下的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（以（以RL電路為例）電路為例） iL(0-)=0iK(t=0)L+uLRuS+-)sin(umstUu i (0-)=0 utuS求：求：i (t) 接入相位角接入相位角階電路和二

17、階電路的時(shí)域分析)sin(umtUdtdiLRi iii 強(qiáng)制分量強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量)自由分量自由分量(暫態(tài)分量暫態(tài)分量) tei A RSUj L+-I22)( LRUImm RL arctg )sin( umtIi)sin(umstUu iL(0-)=0iK(t=0)L+uLRuS+-用相量法計(jì)算穩(wěn)態(tài)解用相量法計(jì)算穩(wěn)態(tài)解i 階電路和二階電路的時(shí)域分析 tumAetIiii )sin()sin( umIA tumumeItIi )sin()sin( 解答為解答為討論幾種情況：討論幾種情況：1）合閘合閘 時(shí)時(shí)u = ，電路直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，不產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程。電路直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，不產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程。

18、2） u = /2 即即 u - = /2tIim sinmIA tmeIi 定積分常數(shù)定積分常數(shù)AAIium )sin(0)0( 由則則 A = 0, 無(wú)暫態(tài)分量無(wú)暫態(tài)分量0 i階電路和二階電路的時(shí)域分析 tmumeItIi )sin( u = - /2時(shí)波形為時(shí)波形為mIi2max 最大電流出現(xiàn)在最大電流出現(xiàn)在 t = T/2時(shí)刻。時(shí)刻。iImi tmmeItIi )2/sin( -Imi T/2ti0可見(jiàn)，可見(jiàn)，RL串聯(lián)電路串聯(lián)電路與正弦電壓接通后，與正弦電壓接通后，在初始值一定得條在初始值一定得條件下，電路的件下，電路的過(guò)渡過(guò)渡過(guò)程過(guò)程與與開(kāi)關(guān)動(dòng)作的開(kāi)關(guān)動(dòng)作的時(shí)刻時(shí)刻有關(guān)。有關(guān)。階電路

19、和二階電路的時(shí)域分析解：解： 0t6s （圖（圖c）：）： 2=RC=2sR1R2C+uC(2)R圖(c)122/3RRR零零狀狀態(tài)態(tài)零零輸輸入入6(1)16(6 ) 2(1)2(1) 1.26tCtueeV(2)(1)(6 )(6 ) 1.26CCuuV6622(2)(2)(6 )1.266ttCCuueeVtt(s)uC(V)61.26uC(2)uC(1)uC(t)的曲線的曲線階電路和二階電路的時(shí)域分析7-4 7-4 一階電路的一階電路的全全響應(yīng)響應(yīng)一、一、全響應(yīng)全響應(yīng)定義定義 一個(gè)一個(gè)非零初始狀態(tài)非零初始狀態(tài)的一階電路受到的一階電路受到激勵(lì)激勵(lì)時(shí)，電路的響應(yīng)稱為時(shí)，電路的響應(yīng)稱為全響應(yīng)全

20、響應(yīng)。即：即： uC(0+)、iL(0+)不不為為零零，且電路中，且電路中有有獨(dú)立源外施激勵(lì)獨(dú)立源外施激勵(lì)所引起的響應(yīng)。所引起的響應(yīng)。階電路和二階電路的時(shí)域分析二、全響應(yīng)電路求解二、全響應(yīng)電路求解USuCRS(t=0)uRCi以以RC電路電路為例：為例：uC(0-)=U0 求解求解 t0 時(shí)的電路時(shí)的電路(充電后的充電后的電容接入直流電源電容接入直流電源)0( tUdtduRCuSCCKVL： uC+uR=UStSSCeUUUu)(0可解得可解得（t0）階電路和二階電路的時(shí)域分析二、全響應(yīng)電路二、全響應(yīng)電路分解分解tSSCCCeUUUuuu )(01.（t 0）SCUu tSCeUUu )(0

21、其中其中:穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài) (強(qiáng)制強(qiáng)制)分量分量瞬態(tài)瞬態(tài) (自由自由)分量分量全響應(yīng)全響應(yīng)=(穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量)+(瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量)OU U0 0UUS SuC UStuCuCUO2.)1 (021tStCCCeUeUuuu（t 0）全響應(yīng)全響應(yīng)= 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)+tUSuCUOuC1 uC2O階電路和二階電路的時(shí)域分析有三種情況：有三種情況： (a) U0Us 一階電路的全響應(yīng)及其分解一階電路的全響應(yīng)及其分解: :(a) U0Us 階電路和二階電路的時(shí)域分析全響應(yīng)是由全響應(yīng)是由初始值初始值、特解特解和和時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)三個(gè)要素三個(gè)要素決定的。決定的。1、直流電源激勵(lì)、直流

22、電源激勵(lì)時(shí)間常數(shù)起始值穩(wěn)態(tài)解三要素 )0( )(ff三、三要素法解一階電路三、三要素法解一階電路一階電路響應(yīng)一階電路響應(yīng)通式通式f (t)=f ()+ f (0+)f () （t 0）te階電路和二階電路的時(shí)域分析2、正弦電源正弦電源激勵(lì)激勵(lì)ttefftfefftftf)0()0()()0()0()()(式中式中 是特解，是特解，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；)0()0(ff是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的初始值初始值；與)0( f的含義與前述相同。的含義與前述相同。注：在分析一階電路時(shí)，可把儲(chǔ)能元件以外部分，應(yīng)用戴注：在分析一階電路時(shí)，可把儲(chǔ)能元件以外部分，應(yīng)用戴維寧定理或諾頓定理進(jìn)行維寧定理或諾頓定理進(jìn)行等效

23、變換等效變換，然后求解儲(chǔ)能元件上，然后求解儲(chǔ)能元件上的電壓和電流。其它之路電壓和電流，則可按照變換前的的電壓和電流。其它之路電壓和電流，則可按照變換前的原電路進(jìn)行。原電路進(jìn)行。)()(tftf階電路和二階電路的時(shí)域分析名 稱微分方程之解三要素表示法RC電路的零輸入響應(yīng) 直流激勵(lì)下RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)teRUiRCeUutC00)(teRUieUustsC)1 (teftf)0()(tteftfeftf)0()()1)()(表表 92 經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表（一）經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表（一）階電路和二階電路的時(shí)域分析名 稱微分方程之解三要素表示法直流激勵(lì)下RL電路的零狀態(tài)

24、響應(yīng) RL電路的零輸入響應(yīng)一階RC電路的全響應(yīng) tsLteUuRLeIi)(1 (tLteRIueIi00tstssCeRUUieUUUu00)(teftfeftft)0()()1)()(teftf)0()(tteftfeffftf)0 () ()()0 ()() (表表 92 經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表（二）經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表（二）階電路和二階電路的時(shí)域分析 (1) 畫(huà)出換路前（畫(huà)出換路前（t=0-）的等效電路。求出電容電壓）的等效電路。求出電容電壓uC（0-）或電感電流或電感電流iL(0-)。 (2) 根據(jù)換路定則根據(jù)換路定則uC(0+)=uC(0-), iL(0+

25、)=iL(0-), 畫(huà)出換路瞬間畫(huà)出換路瞬間（t=0+）時(shí)的等效電路）時(shí)的等效電路, 求出響應(yīng)電流或電壓的初始值求出響應(yīng)電流或電壓的初始值i(0+)或或u(0+), 即即f (0+)。 (3) 畫(huà)出畫(huà)出t =時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路（時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路（穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開(kāi)路穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開(kāi)路, 電感相當(dāng)于短路電感相當(dāng)于短路）, 求出穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值求出穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值 i()或或u(), 即即f()。 (4) 求出電路的時(shí)間常數(shù)求出電路的時(shí)間常數(shù)。=RC或或GL, 其中其中R值是換路后值是換路后斷開(kāi)儲(chǔ)能元件斷開(kāi)儲(chǔ)能元件C或或L, 由由儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去的等效內(nèi)

26、阻。的等效內(nèi)阻。 (5) 根據(jù)所求得的三要素根據(jù)所求得的三要素, 即可得響應(yīng)電流或電壓的動(dòng)態(tài)過(guò)程即可得響應(yīng)電流或電壓的動(dòng)態(tài)過(guò)程表達(dá)式。表達(dá)式。 歸納出用三要素法解題的一般步驟歸納出用三要素法解題的一般步驟階電路和二階電路的時(shí)域分析UL+-S(t=0)sRiISLiabUL+-ocRLiab(a)(b)例：（a）圖所示電路中Us10V，Is=2A，R=2，L=4H。試求S閉合后電路中的電流iL和i。解：戴維寧等效電路如b圖，sRLAAiiAiiRRVVRIUUeqLLLLeqssoc2326226)2210()()0()0(VeeeiIiAeAeitttLsttL)1 (555532)53()3

27、2(35 . 05 . 05 . 05 . 021階電路和二階電路的時(shí)域分析解：解： Us + uC R1 C R2 Is S 112(0 )611SSCUIRuVRR彌爾曼彌爾曼定理定理uC ()=US+R1IS=9V，=R1C=3suC (0+)=uC (0-)=6VVeeeuuuutttCCCC3339)96(9)()0()(t 0)階電路和二階電路的時(shí)域分析7-5 7-5 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)一、二階電路一、二階電路 用用二階微分方程二階微分方程描述的動(dòng)態(tài)電路為描述的動(dòng)態(tài)電路為二階電路二階電路。 二階電路有二階電路有兩個(gè)初始條件兩個(gè)初始條件。 如如RLC串聯(lián)電路串聯(lián)

28、電路和和GLC并聯(lián)電路并聯(lián)電路。階電路和二階電路的時(shí)域分析二、二、RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路1.求解電路求解電路KVL:uR+uL-uC=0又又dtduCiCLRuRuLiuCS(t=0)C已知已知 uC(0-)=U0(電容已充電電容已充電)。dtduRCRiuCR22dtudLCdtdiLuCL022CCCudtduRCdtudLC特征方程特征方程：LCp2+RCp+1=0特征根：特征根：LCLRLRp1)2(222,1僅與電路僅與電路結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)和和參數(shù)參數(shù)有關(guān)！有關(guān)！階電路和二階電路的時(shí)域分析LCLRLRp1)2(222,1tptpCeAeAu21210)0 ()0 (UuuCC又又00tCdt

29、du可得：可得：12021ppUpA12012ppUpA由于由于R、L、C參數(shù)不同，特征根可能為參數(shù)不同，特征根可能為兩個(gè)不兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根等的負(fù)實(shí)根一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根一對(duì)相一對(duì)相等的負(fù)實(shí)數(shù)等的負(fù)實(shí)數(shù)求出求出uC！階電路和二階電路的時(shí)域分析2.分析電路分析電路CLR2稱為稱為過(guò)阻尼過(guò)阻尼電路電路, uC向向R、L非震蕩非震蕩放電。放電。特征根為特征根為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根；CLR2稱為稱為欠阻尼欠阻尼電路電路, uC向向R、L震蕩震蕩放電。放電。特征根為特征根為一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根；CLR2稱為稱為臨界情況臨界情況, uC向向R、L非震蕩非震蕩放電；放

30、電；特征根為特征根為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)數(shù)一對(duì)相等的負(fù)實(shí)數(shù)(重根重根)；此時(shí)的電阻此時(shí)的電阻R稱為稱為臨界電阻臨界電阻。uL iL t U0 uC U0 t uC iL uL U0 、補(bǔ)充：補(bǔ)充：R=0，uC等幅振蕩等幅振蕩。階電路和二階電路的時(shí)域分析求所示電路中電流求所示電路中電流 i (t)的零狀態(tài)響應(yīng)。的零狀態(tài)響應(yīng)。 i1= i - 0.5 u1=i - 0.5 2 (2 - i) = 2i - 2由由KVLidtdidtiii262)2(211 整理得：整理得：1212dd8dd22 ititi二階非齊次常微分方程二階非齊次常微分方程解：第一步列寫(xiě)微分方程解：第一步列寫(xiě)微分方程2-ii1+

31、+u1 1- - 0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 222A i7.6 7.6 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)一一. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)iii 解答形式為：解答形式為：階電路和二階電路的時(shí)域分析第二步求通解第二步求通解i P1= -2 ，P2 = -6穩(wěn)態(tài)模型穩(wěn)態(tài)模型tteAeAi6221 P2+8P+12=0+ +u1 1- -0.5u1 12222i2A第三步求特解第三步求特解 i”i = 0.5 u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi( )=1AtteAeAi62211 得零狀態(tài)響應(yīng)得零狀態(tài)響應(yīng)階電路和二階電路的時(shí)域分析第四步求初值第四步求初值 )

32、0(1dd0)0()0(0LuLtiiiVuuuL825 . 0)0(11 0+電路模型：電路模型：0.5 u+ +u1 1- -1 12 2 2A+ +uL L- -V4221 utteAeAi62211 8)0(1)0(dd0)0()0(LuLtiii階電路和二階電路的時(shí)域分析第五步定常數(shù)第五步定常數(shù) 212162810AAAA 5 . 15 . 021AA0 A5 . 15 . 01)(62 teetitt階電路和二階電路的時(shí)域分析二二. 全響應(yīng)全響應(yīng)已知：已知： iL(0)=2A uC(0)=0R=50 , L=0.5H , C=100 F求：求：iL(t) , iR (t) 。解解

33、(1) 列微分方程列微分方程50dddd22 LLLRitiLtiRLCtuCiRtiLLLdddd-50 C RLCiRiLiC50 Vt=0+- -uL+- -uCtiLuuLLCdd 階電路和二階電路的時(shí)域分析(2)求通解求通解(自由分量）自由分量）0200002002 PP特特征征方方程程特征根特征根 P= -100 j100)100sin(1)(100 tKetitL全解全解(3)求特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)解）求特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)解）AiL1 4422102102dd200dd LLLititi)100sin()(100 tKetitL通通解解(4)求全解求全解階電路和二階電路的時(shí)域分

34、析(4)由由初值初值定積分常數(shù)定積分常數(shù) 0cos100sin1000 2sin12)0(0 KKdtdiKiLLo452 K得得0)45100sin(21)(100 tAtetitLiL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）（已知）0)0(1)0(1dd0 CLLuLuLti)100cos(100)100sin(100dd100100 tKetKetittL階電路和二階電路的時(shí)域分析(5) 求求 iR(t)100sin(1)(100 tKetitR解答形式為：解答形式為：由初始值定積分常數(shù)由初始值定積分常數(shù)150)0(50)0( CRuiRuicR 50)0(1 CiRCRtutiC

35、R 00dddd0+電路電路RiR50 V2AiC200101005016 AiC1)0( 階電路和二階電路的時(shí)域分析1)0( Ri200dd0 tiR 200sin100cos100 1sin1 KKK 20K 0100sin21)(100 tAtetitR)100sin(1100 tKeitR階電路和二階電路的時(shí)域分析1. 一階電路是單調(diào)的響應(yīng)，可用時(shí)間常數(shù)一階電路是單調(diào)的響應(yīng)，可用時(shí)間常數(shù) 表示過(guò)渡過(guò)程表示過(guò)渡過(guò)程 的時(shí)間。的時(shí)間。小結(jié)小結(jié) )(過(guò)阻尼過(guò)阻尼非振蕩放電非振蕩放電tptpeAeA2121 共共軛軛虛虛根根 0 R)cossin)sin( tBtAetKett （或或 )(臨

36、界阻尼非振蕩放電)(21 tAAet 2. 二階電路用三個(gè)參數(shù)二階電路用三個(gè)參數(shù) ， 和和 0來(lái)表示動(dòng)態(tài)來(lái)表示動(dòng)態(tài)響應(yīng)。響應(yīng)。2202 jP特征根特征根 響應(yīng)性質(zhì)響應(yīng)性質(zhì) 自由分量形式自由分量形式不等的實(shí)根不等的實(shí)根 2 CLR 2 共共軛軛復(fù)復(fù)根根CLR ) (阻尼阻尼無(wú)無(wú)等幅振蕩等幅振蕩)sin(0 tK相相等等的的實(shí)實(shí)根根 2 CLR )(欠阻尼欠阻尼衰減振蕩衰減振蕩階電路和二階電路的時(shí)域分析5.線性電路古典法解二階過(guò)渡過(guò)程包括以下幾步：線性電路古典法解二階過(guò)渡過(guò)程包括以下幾步：(1)換路后換路后(0+)電路列寫(xiě)微分方程；電路列寫(xiě)微分方程；(2)求特征根，由根的性質(zhì)寫(xiě)出自由分量（積分常數(shù)

37、待定）；求特征根，由根的性質(zhì)寫(xiě)出自由分量（積分常數(shù)待定）；(3)求強(qiáng)制分量（穩(wěn)態(tài)分量）；求強(qiáng)制分量（穩(wěn)態(tài)分量）；(4)全解全解=自由分量自由分量+強(qiáng)制分量；強(qiáng)制分量；(5)將初值將初值f(0+)和和f （0+)代入全解，定積分常數(shù)求響應(yīng)；代入全解，定積分常數(shù)求響應(yīng)；(6)討論物理過(guò)程，畫(huà)出波形。討論物理過(guò)程，畫(huà)出波形。3. 電路是否振蕩取決于特征根，特征根僅僅取決于電路的結(jié)電路是否振蕩取決于特征根，特征根僅僅取決于電路的結(jié) 構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和激勵(lì)的大小沒(méi)有關(guān)系。構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和激勵(lì)的大小沒(méi)有關(guān)系。4. 特征方程次數(shù)的確定：等于換路后的電路經(jīng)過(guò)盡可能簡(jiǎn)化而特征方程次數(shù)的確定：等于換

38、路后的電路經(jīng)過(guò)盡可能簡(jiǎn)化而 具有的獨(dú)立初始值的數(shù)目。具有的獨(dú)立初始值的數(shù)目。階電路和二階電路的時(shí)域分析7-7 7-7 一階電路和二階電路的一階電路和二階電路的階躍階躍響應(yīng)響應(yīng)一、階躍函數(shù)一、階躍函數(shù) 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)：(奇異函數(shù)奇異函數(shù)) t=0 t 0-1 t 0+ 0 t 1 t也稱為也稱為開(kāi)關(guān)函數(shù)開(kāi)關(guān)函數(shù)。階電路和二階電路的時(shí)域分析 一般一般階躍函數(shù)階躍函數(shù)： f (t) =K (t)f (t) =0 t 0-K t 0+f (t) =0 t t0-K t t0+ K 0 t f (t) 延遲延遲階躍函數(shù)階躍函數(shù)： f (t) =K (tt t0 0)0f (t)t0Kt 單位階

39、躍函數(shù)單位階躍函數(shù)定義定義波形起始波形起始：若若f (t)波形從波形從t0時(shí)刻起始時(shí)刻起始0f (t)t0f (t)f (t) =f (t) (t- -t0 0)=0 t t0-f (t) t t0+表示函數(shù)定義域表示函數(shù)定義域!t階電路和二階電路的時(shí)域分析 5.波形波形分解分解 f (t) =K (t)- -K (t- -t0)0f (t)t0t0f1 (t)t0tKK+0f 2(t)t0-Kt0f (t)t1tKt20f1 (t)t1tK+0f 2(t)t2-Kt f (t) =K (t-t1)- )- K (t- -t2 2) )階電路和二階電路的時(shí)域分析二、一階電路的階躍響應(yīng)二、一階電

40、路的階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：電路在：電路在單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)(t) 作用下的作用下的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng), ,用用s(t)表示。表示。階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)：uSuCRCi若若us=US (t )，則，則)()1 (teUutSC(t)限定了限定了定義域定義域。0uc (t)tUS 階電路和二階電路的時(shí)域分析若若us=US (t-t0)，即在，即在t = t0時(shí)施加激勵(lì)時(shí)施加激勵(lì)uSuCRC)()1 (00tteUuttSC則則i0uc (t)tUS t0顯然此時(shí)顯然此時(shí)(t-t0) 的作用與上面所講的的作用與上面所講的起始起始波形不同波形不同。階電路和二階電路的時(shí)域分析例： 圖示

41、電路，開(kāi)關(guān)位置1時(shí)電路已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。T=0時(shí)開(kāi)關(guān)合向2，在在t= 時(shí)又由2合到1，求t0時(shí)的電容電壓uc(t)。解:(1)將電路的工作過(guò)程分段求解在0t 區(qū)間為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。tsststsccceUtuUeUuRCtRCeutuuu632. 0)(632. 0)1 ()()1 ()(0)0()0(電路的零輸入響應(yīng)；區(qū)間為在，階電路和二階電路的時(shí)域分析（2）用階躍函數(shù)表激勵(lì)，求階躍響應(yīng)激勵(lì)us(t)可用a圖矩形脈沖表示，us(t)us0t波形如圖所示。故單位階躍響應(yīng)為)()()1 ()()1 ()()()1 ()()()()(tuteUteUtutetstututuctststsss-

42、USus(t)ust 0-US(t- )(a)(b)(c)tuc(t)us0.632us0階電路和二階電路的時(shí)域分析例例1 )5 . 0(10)(10S ttu 求階躍響應(yīng)求階躍響應(yīng)iC . 10k 10k uS+iC100 F 0.510t (s)uS (V)0解解: 10k 10k 10 (t)+100 F Ci10k 10k 10 (t t0)+100 F Ci階電路和二階電路的時(shí)域分析等效等效s 5 . 01051010036 RC A)5 . 0()5 . 0(2 teitC A)(2teitC 10k 10k 10 (t)V+100 F Ci5k 5 (t) V+100 F Ci1

43、0k 10k 10 (t-t0)V+100 F Ci A)5 . 0()()5 . 0(22 teteiiittCCC 階電路和二階電路的時(shí)域分析 A)5 . 0()()5 . 0(22 teteiiittCCC 分段表示為：分段表示為： 0.5)( A0.632e-0.5)(0 Ae0.5)-2(t-2ttitC階電路和二階電路的時(shí)域分析分段表示為分段表示為 s)0.5( mA 0.632s)5 . 0(0 mA )(0.5)-2(2tetetittCt(s)iC(mA)01 0.6320.5波形波形0.368)5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5 . 0(2222 tetete

44、teittttC )5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5 . 0(2)5 . 0(212 teteettettt )5 . 0(632. 0)5 . 0()()5 . 0(22 tettett 另解：另解：階電路和二階電路的時(shí)域分析例例2.已知已知: u(t)如圖示如圖示 , iL(0)= 0 。求。求: iL(t) , 并并畫(huà)波形畫(huà)波形。解解0 t 1 iL(0+)=0 t 0 iL(t)=0 iL( )=1AiL(t) = 1 e t / 6 A =5/ (1/5)=6 su(t)12120t (s)(V)+u(t)1 5 5HiL方法一：用分段函數(shù)表示方法一：用分段函數(shù)表示+

45、1V1 5 5HiL階電路和二階電路的時(shí)域分析1 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A iL( )=2A iL(t) = 0.437 e ( t 2 )/ 6 A =6 s =6 s+2V1 5 5HiL1 5 5HiL tttttitttL2 Ae437. 021 Ae846. 1210 Ae10 0)(6/ )2(6/ )1(6/00.1540.43712t (s)iL(t) (A)階電路和二階電路的時(shí)域分析 u(t)= (t)+ (t 1) 2 (t 2) (t)(1 e t / 6) (t) (t 1)(1 e (

46、t 1) / 6 ) (t 1) 2 (t 2) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2)iL(t) = (1 e t / 6) (t)+ (1 e ( t 1) / 6 ) (t 1) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2) A解法二：用全時(shí)間域函數(shù)表示解法二：用全時(shí)間域函數(shù)表示(疊加疊加)u(t)12120t (s)(V)階電路和二階電路的時(shí)域分析一、沖激函數(shù)一、沖激函數(shù)1. 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) )0,( 0)(0 1)( ttttf)()(1)( tttf)()(lim0ttf 1 0 1/ tf(t)06-6 6-6 一階電路和二階電路的沖激響應(yīng)一階電路和二階電

47、路的沖激響應(yīng)階電路和二階電路的時(shí)域分析2. 定義定義 0)( 00)( 0)(ttt 1d)(tt 001d)(tt k (t) kttkd)( t (t)O例例.)( 0( )0( 0S tU ttUtuSuuC tuCiCCdd +CuCiCuS + tUuS0階電路和二階電路的時(shí)域分析tuCiCCdd )( )( ttCUiC CUqtiC d 0uc U (t)iC CU (t)UCCUCquC tUuS0 tiC(t)OCU (t)SuuC uCtUO CU/ tiC0 階電路和二階電路的時(shí)域分析iC = CUS (t)t = t0時(shí)合時(shí)合S t = 0時(shí)合時(shí)合S延遲單位沖激函數(shù)延遲

48、單位沖激函數(shù) (t-t0): 1d)( )( 0)( 000tttttttS+uCUSCitiC(t)OCUS (t-t0)tO (t-t0)t0階電路和二階電路的時(shí)域分析3. 3. 函數(shù)的篩分性質(zhì)函數(shù)的篩分性質(zhì) tttfd)()( )(d)()( ftttf 同理有同理有. d)6()(sin tttt 求求)0(d)()0(fttf 例例.解解:.62166sind)6()(sin tttt f(t)在在t=0時(shí)連續(xù)時(shí)連續(xù)4. (t) 和和 (t)的關(guān)系的關(guān)系 0)( 10)( 0d)(ttttt = (t)(d)(dttt ttttd)(d)()(1lim0 零狀態(tài)零狀態(tài)h(t)(t 零狀態(tài)零狀態(tài)s(t)(t 證明：證明：階電路和二階電路的時(shí)域分析)(1)(1)(tttf )(1ts)(1ts )(dd)()(1lim)(0tsttststh (1) s(t)定義在定義在( ， )整個(gè)時(shí)間軸。整個(gè)時(shí)間軸。1f(t)to注意：注意：(2) 階躍