配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

1、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保保持幾何形狀不變持幾何形狀不變問(wèn)題問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; ix

2、ix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步驟拉格朗日配方法的步驟2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換則先作可逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的的項(xiàng)項(xiàng)配配方

3、方含含有有x1含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng) 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng) 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyy

4、yyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用變換矩陣為所用變換矩陣為 100210101100011011C.100111311 .02 C將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用將一個(gè)二

5、次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換正交變換法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，這取決于問(wèn)題的要求如果要求找出一個(gè)正交矩這取決于問(wèn)題的要求如果要求找出一個(gè)正交矩陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二班一步一步地求解，但計(jì)算量通常較大；如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而次型中變量個(gè)數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡(jiǎn)單需要注意的是，比較簡(jiǎn)單需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同數(shù)必定相同，項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩 .,323121321變變換換并并寫寫出出所所作作的的可可逆逆線線性性為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 故故令令方方項(xiàng)項(xiàng)由由于于所所給給二二次次型型不不含含平平, 解解 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322312yyyyf 有有 , ,332231