初中幾何輔助線大全-最全.

1、三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1 ：已知 ACBD， AD AC于 A ， BC BD于 B，求證： AD BC分析：欲證AD BC ，先證分別含有AD ， BC 的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD ，AOD 與BOC ，ABD 與BAC ，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA， CB，它們的延長(zhǎng)交于E 點(diǎn)， AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90° （垂直的定義）在 DBE與 CAE中E E(公共角 ) DBE CAE(已證 ) BD AC(已

2、知 ) DBE CAE（ AAS） ED EC EB EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ED EA EC EB即： AD BC。EABODC圖71（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）二 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。三、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖 9-1 ：在 Rt ABC中， AB AC， BAC 90°， 1 2， CE BD的延長(zhǎng)于 E 。求證： BD 2CE分析：要證 BD 2CE ，想到要構(gòu)造線段2CE ，同時(shí)FCE 與ABC 的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。EA證明：分別延長(zhǎng)BA， CE交于

3、點(diǎn) F。D BE CF （已知）12C BEF BEC 90° （垂直的定義）B在 BEF與 BEC中，圖911已知)2(BEBE(公共邊 )BEF已證BEC()1 BEF BEC（ ASA） CE=FE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2 BAC=90° BE CF （已知） BAC CAF90° 1 BDA 90° 1 BFC 90° BDA BFC在 ABD與 ACF中BACCAF (已證 )BDABFC (已證 )ABAC (已知 ) ABD ACF （ AAS） BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD 2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形

4、。例如：如圖11-1 ： AB DC， A D 求證： ABC DCB。分析：由 AB DC ，AD ，想到如取AD 的中點(diǎn) N，連接 NB ， NC ，再由 SAS 公理有ABN DCN ，故 BN CN ，ABN DCN 。下面只需證 NBC NCB ，再取BC 的中點(diǎn)M，連接 MN ，則由 SSS 公理有NBM NCM ，所以NBC NCB 。問(wèn)題得證。證明：取 AD， BC的中點(diǎn) N、 M，連接 NB， NM， NC。則 AN=DN， BM=CM，在 ABN和 DCNANDBMC圖111ANDN (輔助線的作法 )中AD(已知)ABDC (已知 ) ABN DCN （ SAS） ABN

5、 DCNNB NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在 NBM與 NCM中NB已證)NC ( BMCM (輔助線的作法 )NM公共邊)NM ( NMB NCM ， (SSS) NBC NCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBC ABN NCB DCN即ABC DCB 。巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在 ABC中， BD： DC 1： 3， AE： ED 2：3，求 AF： FC。解：過(guò)點(diǎn) D 作 DG/AC，交 BF于點(diǎn) G所以 DG：FCBD：BC因?yàn)?BD：DC1：3所以BD：BC1：4即 DG： FC1：4，F(xiàn)C 4DG因?yàn)?DG：AFDE：AE又因?yàn)?AE： ED2：3所以 DG：

6、AF3：2即所以 AF： FC：4DG1：6例 2. 如圖 2，BC CD， AF FC，求 EF： FD解：過(guò)點(diǎn) C 作 CG/DE交 AB于點(diǎn) G，則有 EF： GCAF：AC因?yàn)?AFFC所以 AF：AC 1： 2即 EF： GC1：2，因?yàn)?CG：DEBC：BD所以 BC：BD1：2CG又因?yàn)?BCCD：DE1：2即 DE2GC因?yàn)?FDEDEF所以 EF： FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處， 且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。 請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！例 3. 如圖 3，BD： DC 1： 3，AE： EB 2： 3，求 AF

7、： FD。解：過(guò)點(diǎn) B 作 BG/AD，交 CE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G。所以 DF：BGCD：CB因?yàn)?BD：DC1：3所以 CD：CB 3： 4即 DF： BG3：4，因?yàn)?AF：BGAE：EB又因?yàn)?AE：EB2：3所以 AF：BG2：3即所以 AF：DF例 4. 如圖 4，BD： DC 1： 3，AF FD，求 EF： FC。解：過(guò)點(diǎn) D 作 DG/CE，交 AB于點(diǎn) G所以 EF：DGAF：AD因?yàn)?AFFD所以 AF：AD1：2圖 4即 EF： DG1：2因?yàn)?DG：CEBD：BC，又因?yàn)?BD： CD1：3，所以 BD： BC1：4即 DG： CE1：4，CE 4DG因?yàn)?FCCEEF所以

8、 EF：FC1：7練習(xí)：1. 如圖 5， BDDC， AE： ED 1： 5，求 AF：FB。2. 如圖 6， AD：DB 1： 3， AE： EC 3： 1，求 BF： FC。答案： 1、1：10；2. 9：1二 由角平分線想到的輔助線圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對(duì)稱(chēng)性； b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)了直角

9、或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等例 1 如圖 1-2 ，AB/CD，BE平分BCD， CE平分 BCD，點(diǎn) E 在 AD上，求證： BC=AB+CD。AEDBFC圖1-2分析：此題中就涉及到角平分線， 可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形， 即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形， 同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題， 在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明， 延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。 但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段

10、與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例2 已知：如圖 1-3 ，AB=2AC， BAD=CAD，DA=DB，求證 DCAC 分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明。AC例3 已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2B,ADE平分 BAC，求證： AB-AC=CDDB分析：此題的條件中還有角的平分線， 在證明圖 1-3A中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。 用到的是截取法來(lái)證明的， 在長(zhǎng)的E線段上截取短的線段， 來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？CBD圖 1-4（二）

11、、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。A例1 如圖 2-1 ，已知 AB>AD, BAC= FAC,CD=BC。求證： ADC+B=180D分析：可由 C 向 BAD的兩邊作垂線。近而證ADCEF與 B 之和為平角。BC圖 2-1例2 如圖 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD= CBD。求證： BC=AB+ADA分析：過(guò) D 作 DEBC于 E，則 AD=DE=CE，則構(gòu)造出D全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。BCE圖2-2例3 已知如圖 2-3

12、 ， ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn) P。求證： BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn) P。A分析：連接 AP，證 AP平分 BAC即可，也就是證 P 到 AB、AC的距離相等。NMDFBPC（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形圖 2-3從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖 3-1 ， BAD=DAC，AB>AC,CDAD于 D，H 是求證： DH=1 （AB-AC）2分

13、析：延長(zhǎng) CD交 AB于點(diǎn) E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。BBC中點(diǎn)。ADCEH圖示 3-1F例2 已知：如圖 3-2 ， AB=AC， BAC=90 ，AD為 A BC的平分線， CEBE.求證： BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的B垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。AD圖3-2EC例 3已知：如圖過(guò)頂點(diǎn) B 作 BFAD，交交 AE于 M。3-3 在 ABC中， AD、AE分別 BAC的內(nèi)、外角平分線，AD的延長(zhǎng)線于 F，連結(jié) FC并延長(zhǎng)AM求證： AM=ME。BDCE分析：由 AD、AE 是 BAC內(nèi)外角平分線，可得EAFN圖3-3 A

14、F，從而有 BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4 ，在 ABC中， AD 平分 BAC， AD=AB，CM AD 交 AD1延長(zhǎng)線于 M。求證： AM= （AB+AC）2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以 AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作 AB1D 關(guān)于 AD的對(duì)稱(chēng) AED，然后只需證DM= EC，另外 2由求證的結(jié)果AM=1 （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2嘗試作 ACM關(guān)于 CM的對(duì)稱(chēng) FCM，然后只需證 DF=CF 即可。AEFBDnCM圖 3-4三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線

15、段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式， 通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。例 1如圖， AC平分 BAD，CEAB，且 B+D=180°，求證： AE=AD+BE。AD例 3 已知：如圖，等腰三角形ABC中，

16、AB=AC，A=108°， BD平分 ABC。求證： BC=AB+DC。ADBC例 4 如圖，已知 RtABC中， ACB=90°， AD是 CAB的平分線， DMAB1A于 M，且 AM=MB。求證： CD=2 DB。MCDB1如圖， ABCD，AE、 DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+CD。DCEAB2. 如圖， ABC中， BAC=90°， AB=AC，AE 是過(guò) A 的一條直線，且 B，C在 AE的異側(cè)，BD AE于 D，CEAE于 E。求證： BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線

17、等中線。（一）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 ABCD中，AB=CD，E、F 分別是 BC、AD的中點(diǎn)， BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線 G、 H。求證： BGE= CHE。證明：連結(jié) BD，并取 BD的中點(diǎn)為 M，連結(jié) ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD， MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB， MFE=BGE，AB=CD， ME=MF， MEF=MFE，從而 BGE=CHE。（二）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例 3圖 4，已知 ABC中，AB=5，AC=3，連 BC上的中線 AD=2，求 BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD，則 AE=

18、2AD=2×2=4。在 ACD和 EBD中， AD=ED， ADC=EDB， CD=BD， ACDEBD， AC=BE，從而 BE=AC=3。22222在ABE中，因 AE+BE=4 +3 =25=AB，故 E=90°，BD=，故 BC=2BD=2。例 4如圖 5，已知 ABC中， AD是 BAC的平分線， AD又是 BC邊上的中線。求證： ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng) AD到 E，使 DE=AD。仿例 3 可證：BEDCAD，故 EB=AC， E=2，又 1=2， 1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC是等腰三角形。（三）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖

19、6，已知梯形 ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證： AC=BD。證明：取 AB的中點(diǎn) E，連結(jié) DE、CE，則 DE、CE分別為 RtABD，RtABC斜邊 AB上的中線，故 DE=CE= AB，因此 CDE= DCE。AB/DC， CDE= 1， DCE= 2， 1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE， 1= 2， AE=BE， ADEBCE， AD=BC，從而梯形 ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如圖 7， ABC是等腰直角三角形， BAC=90°， BD平分 ABC交 AC 于點(diǎn) D，CE垂直于 B

20、D，交 BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證： BD=2CE。證明：延長(zhǎng) BA，CE交于點(diǎn) F，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90°， BEFBEC， EF=EC，從而 CF=2CE。又 1+F=3+F=90°，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF= 90°， ABDACF， BD=CF， BD=2CE。注：此例中 BE是等腰BCF的底邊 CF的中線。（五）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段 ，再將端點(diǎn)連結(jié)， 便可得到全等三角形。1如圖， AB=CD

21、，E 為 BC的中點(diǎn)， BAC=BCA，求證： AD=2AE。ABECD3如圖， AB=AC，AD=AE，M為 BE中點(diǎn)， BAC=DAE=90°。求證： AM DC。ABMCEDDDD5已知：如圖 AD為 ABC的中線， AE=EF，求證： BF=ACAEFBDC五 全等三角形輔助線（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中， AB=5，AC=3，則中線 AD的取值范圍是 _.ABDC2：如圖， ABC中， E、F 分別在 AB、AC上， DEDF，D 是中點(diǎn)，試比較BE+CF與 EF的大小 .AEFBDC3：如圖， ABC中， BD=DC=AC，E 是

22、 DC的中點(diǎn)，求證： AD平分 BAE.ABDEC中考應(yīng)用例題：以 ABC 的兩邊 AB、AC為腰分別向外作等腰 RtABD 和等腰 RtACE ，BADCAE 90 ,， 、DE的位連接DE MN分別是 BC DE的中點(diǎn)探究： AM與置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)ABC 為直角三角形時(shí)， AM與 DE的位置關(guān)系是，線段 AM與 DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖中的等腰 RtABD 繞點(diǎn) A 沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0< <90) 后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1. 如圖，ABC 中， AB=2AC， AD平分 BAC ，且 AD=BD，求證：

23、 CDACACBD2：如圖， ACBD，EA,EB分別平分 CAB,DBA，CD過(guò)點(diǎn) E，求證 ;AB AC+ADBDEBC3：如圖，已知在ABC 內(nèi)，0400，P，Q 分別在 BC，CABAC 60， CBAC ，ABC 的角平分線。求證： BQ+AA上，并且 AP，BQ分別是Q=AB+BPBQP4：如圖，在四邊形 ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分ABC ，求證：AC1800ACDBC5（三）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中， B=60°， ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn) O，求證： OE=ODAEO2：（06 鄭州市中考題）如圖， ABC中，A BCDD

24、平分 BAC， DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）說(shuō)明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的長(zhǎng) .AEGBCFD3. 如圖， OP是 MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以 OP所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在 ABC中， ACB是直角， B=60°，AD、CE分別是 BAC、 BCA的平分線， AD、CE相交于點(diǎn) F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出 FE 與 FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1) 中的其它條件不變，B請(qǐng)問(wèn)，你在 (1

25、) 中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。MBEEFDFDOPACC圖NA圖圖(第 23題圖)（四）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中， E 為 BC上的一點(diǎn)， F 為 CD上的一點(diǎn)，BE+DFAD=EF，求 EAF的度數(shù) .FBEC2：D 為等腰 Rt ABC 斜邊 AB的中點(diǎn)，DM DN,DM,DN分別交 BC,CA于點(diǎn) E,F。（1）當(dāng)MDN 繞點(diǎn) D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF。B（2）若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。AEMCAFN3. 如圖，ABC 是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC1200 ，以 D 為頂點(diǎn)做一個(gè) 600 角，使其兩邊分別

26、交AB 于點(diǎn) M，交 AC于點(diǎn) N，連接 MN，則AMN 的周長(zhǎng)為；AMNBCD4已知四邊形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ， ABC 120 ， MBN 60 ， MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD， DC （或它們的延長(zhǎng)線）于 E，F(xiàn) 當(dāng) MBN繞B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AECF 時(shí)（如圖 ），易證 AE CF EF 1當(dāng) MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AECF 時(shí)，在圖 2和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE， CF ， EF 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明AAABEMBE MBCDCDFCDFFNNNE

27、（圖 1）（圖 2）（圖 3）M5. 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB為一邊作正方形ABCD,使 P、D 兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè) .(1) 如圖 , 當(dāng) APB=45°時(shí) , 求 AB及 PD的長(zhǎng) ;(2) 當(dāng) APB變化 , 且其它條件不變時(shí) , 求 PD的最大值 , 及相應(yīng) APB的大小 .6. 在等邊 ABC 的兩邊 AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N，D 為 ABC 外一點(diǎn)，且 MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：當(dāng) M、N 分別在直線 AB、AC上移動(dòng)時(shí)， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN 的周長(zhǎng) Q與等邊 ABC 的周長(zhǎng) L 的關(guān)系

28、圖1圖2圖3（I ）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M、N 邊 AB、AC上，且 DM=DN時(shí)， BM、NC、 MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q；L（ II ）如圖 2，點(diǎn) M、N 邊 AB、 AC上，且當(dāng) DM DN時(shí)，猜想（ I ）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（ III ） 如圖 3，當(dāng) M、 N分別在邊 AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN=x ，則 Q=（用 x 、 L 表示）梯形中的輔助線1、平移一腰：例 1.如圖所示，在直角梯形ABCD中， A 90°， ABDC，AD15，AB16，BC 17. 求 CD的長(zhǎng) .DC解：過(guò)點(diǎn) D作 DE BC交 AB于點(diǎn) E.又 ABCD，所

29、以四邊形BCDE是平行四邊形 .所以 DEBC17， CDBE.ABDC在 Rt DAE中，由勾股定理，得222222AEDEAD，即 AE1715 64.所以 AE8.所以 BEABAE 1688.ABE即 CD8.例 2 如圖，梯形 ABCD的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn) B 作 BM/AD交 CD于點(diǎn) M，在 BCM中， BM=AD=4，CM=CD DM=CDAB=83=5，所以 BC的取值范圍是：54<BC<54，即 1<BC<9。2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC， B C=90&#

30、176;， AD=1，BC=3，E、F分別是 AD、BC的中點(diǎn)，連接 EF，求 EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn) E 分別作 AB、CD的平行線，交 BC于點(diǎn) G、 H，可得EGH EHG= B C=90°則 EGH是直角三角形因?yàn)?E、F 分別是 AD、 BC的中點(diǎn)，容易證得F 是 GH的中點(diǎn)所以 EF1 GH1 (BCBGCH )221 (BCAEDE )1BC(AE DE )221 (BCAD )1 (31)1223、平移對(duì)角線：例 4、已知：梯形 ABCD中， AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 AB CD的面積解：如圖，作 DE AC，交 BC的延長(zhǎng)線于 E點(diǎn)AD

31、BC四邊形 ACED是平行四邊形ADBE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在 DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BHCE BDE=90°BD ED12作 DHBC于 H，則 DH5BE512S梯形 ABCD(AD BC) DH5226例 5 如圖，在等腰梯形 ABCD中， AD/BC，AD=3，BC=7，BD=5 2 ，求證： A CBD。解：過(guò)點(diǎn) C作 BD的平行線交 AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，易得四邊形 BCED是平行四邊形，則 DE=BC，CE=BD=5 2 ，所以 AE=ADDE=ADBC=37=10。52，在等腰梯形 ABCD中， AC=BD=所以在 A

32、CE中， AC 2CE 2(5 2)2(5 2)2100 AE 2，從而 ACCE，于是 AC BD。例 6 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD的面積。解：過(guò)點(diǎn) D作 DE/AC，交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，則四邊形 ACED是平行四邊形，即 SABDSACDSDCE。所以S梯形 ABCDSDBE由勾股定理得EHDE 2DH 2AC 2DH21521229 （ cm）BHBD 2DH 220212216（cm）S DBE1BE DH1(916) 12 150( cm2 )所以22，即梯形 ABCD的面積是2150cm。（二

33、）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCD中， AD/BC， B=50°， C=80°， AD=2， BC=5，求 CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng) BA、CD交于點(diǎn) E。在 BCE中， B=50°， C=80°。所以 E=50°，從而 BC=EC=5同理可得 AD=ED=2所以 CD=ECED=52=3例 8.如圖所示，四邊形ABCD中， AD不平行于 BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形 ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.DC解：四邊形 ABCD是等腰梯形 .證明：延長(zhǎng) AD、BC相交于點(diǎn) E，如圖所示 .ABAC

34、BD， ADBC， ABBA， DAB CBA. DAB CBA.EAEB.又 ADBC， DE CE， EDC ECD.而 E EAB EBA E EDC ECD180°，EDCAB EDC EAB， DCAB.又 AD不平行于 BC，四邊形 ABCD是等腰梯形 .（三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6，在直角梯形 ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BE CD于點(diǎn) E，求證： AD=DE。解：連結(jié) BD，由 AD/BC，得 ADB=DBE；由 BC=CD，得 DBC= BDC。所以 ADB=BDE。又 BAD= DEB=90°，

35、BD=BD，所以 RtBAD RtBED，得 AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例 10 如圖，在直角梯形 ABCD中， AB/DC， ABC=90°， AB=2DC，對(duì)角線 A CBD，垂足為 F，過(guò)點(diǎn) F 作 EF/AB，交 AD于點(diǎn) E，求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。證：過(guò)點(diǎn) D作 DG AB于點(diǎn) G，則易知四邊形 DGBC是矩形，所以 DC=BG。因?yàn)?AB=2DC，所以 AG=GB。從而 DA=DB，于是 DAB=DBA。又 EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABCD中， AD/BC， AB=CD， ABC=60

36、6;， AD=3cm，BC=5cm，求： (1) 腰 AB的長(zhǎng)； (2) 梯形 ABCD的面積解：作 AEBC于 E，DF BC于 F，又 ADBC，四邊形 AEFD是矩形，EF=AD=3cmAB=DCBEFC1 (BC EF ) 1cm2在 RtABE中， B=60°， BE=1cmAB=2BE=2cm， AE3BE3cmS梯形 ABCD( AD BC)AE4 3cm 22（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例 13 如圖，在梯形 ABCD中， AB/DC，O是 BC的中點(diǎn)， AOD=90°，求證：ABCD=AD。ADBEFC證：取 AD的中點(diǎn) E，連接

37、 OE，則易知 OE是梯形 ABCD的中位線，從而 OE=1 2（ ABCD）在 AOD中， AOD=90°， AE=DE所以 OE1 AD2由、得 ABCD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例 14 如圖，在梯形ABCD中， AD/BC， E、F 分別是 BD、AC的中點(diǎn)，求證：1（ 1） EF/AD；（ 2） EF(BCAD ) 。證：連接 DF，并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn) G，易證 AFD CFG則 AD=CG，DF=GF由于 DE=BE，所以 EF是 BDG的中位線從而 EF/BG，且 EF1 BG2因?yàn)?/p>

38、 AD/BG， BG BCCG BC AD所以 EF/AD，EF1 (BC AD )23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。0例 15、在梯形 ABCD中， ADBC， BAD=90，E 是 DC上的中點(diǎn)，連接AE和 BE，求 AEB=2 CBE。解：分別延長(zhǎng) AE與 BC ，并交于 F 點(diǎn)0 BAD=90且 ADBC00 FBA=180 BAD=90又 ADBC DAE= F( 兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等 )AED=FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E 點(diǎn)是 CD的中點(diǎn)） ADE FCE （ AAS） AE=FE0在 ABF中 FBA=90且 AE=FE BE=

39、FE （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在 FEB中 EBF= FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE例 16、已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC，ABBC，E 是 CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段 AE和 BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解： AE=BE，理由如下：延長(zhǎng) AE，與 BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn) FDE=CE， AED=CEF，DAE=FADEBCF ADE FCEAE=EFABBC， BE=AE例 17、已知：梯形 ABCD中， AD/BC，E 為 DC中點(diǎn)， EF AB于 F 點(diǎn)， AB=3c m，EF=5cm，求梯形 ABCD的面積解：如圖，過(guò) E 點(diǎn)作 MN AB，分別交 AD的延長(zhǎng)線于 M點(diǎn)，交 BC于 N 點(diǎn)DE=EC，ADBC DEM CNE四邊形 ABNM是平行四邊形EFAB，2S 梯形 ABCD=S ABNM=AB× EF=15cm【模擬試題】（答題時(shí)間： 40 分鐘）2. 如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中，ADB C， B 60°， AD2，BC8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22ADMFEBNCADBC*8.如圖所示，梯形ABCD中，AD BC，（1）若 E 是 AB的中點(diǎn)，且 ADBC