第三章 導(dǎo)數(shù)和微分ppt課件

1、1第三章第三章2第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的背景一、導(dǎo)數(shù)的背景-兩個(gè)引例兩個(gè)引例1 1、切線問(wèn)題、切線問(wèn)題 割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放3 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的的斜斜率率為為切切線線MT tank00)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxfxfxx 4求拋物線求拋物線2xy 在在1 x處的切線方程處的切線方程. . 22221)1(xxxy , xxy 2, , 切切線線斜斜

2、率率為為 2lim0 xykx, 因因此此切切線線方方程程為為 xy1解解, )1(21 xy.012 yx即即例例1 152 2、直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題、直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題0tt ,)(0時(shí)時(shí)刻刻的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度求求函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的路路程程ttst,0tt 的的時(shí)時(shí)刻刻取取一一鄰鄰近近于于,0ttt 運(yùn)動(dòng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間ts v平均速度平均速度00)()(tttsts ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得00)()(lim0tttststt 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度00)()(lim0tttststt v6自自由由落落體體221)(gtts , ,求求速速度度函函數(shù)數(shù)

3、)(tv. . 2221)(21gtttgs 221tgtgt , tggtts 21， 解解所以所以tstvt 0lim)( tggtt21lim0.gt 例例2 27二、導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)函數(shù)二、導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)函數(shù),)()(00內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xUxxfy 定義定義如如果果對(duì)對(duì)于于自自變變量量 x在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的增增量量x )(00 xUxx 和和相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值的的增增量量)()(00 xfxxfy ,比比值值 xy 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)有有極極限限，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可導(dǎo)導(dǎo)，并并稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x

4、處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)(微微商商)， 記記作作)(0 xf ， 即即 xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(000008000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000導(dǎo)數(shù)定義形式一導(dǎo)數(shù)定義形式一導(dǎo)數(shù)定義形式二導(dǎo)數(shù)定義形式二記記xxx 0, ,則則0 x等等價(jià)價(jià)于于0 xx , , 得到導(dǎo)數(shù)定義的第二種形式：得到導(dǎo)數(shù)定義的第二種形式： )(0 xf ，0ddxxxy 也可記為也可記為，0 xxy 等等。0d)(dxxxxf 9在實(shí)際應(yīng)用中，常把導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，常把導(dǎo)數(shù)0ddxxxy 稱為變量稱為變量 y對(duì)變量對(duì)變量x 在在0

5、 x點(diǎn)的點(diǎn)的變化率變化率, 的變化的快慢的變化的快慢. .它表示函數(shù)值的變化相對(duì)于自變量它表示函數(shù)值的變化相對(duì)于自變量 變化率有廣泛的實(shí)際意義，例如，加速度就是速度變化率有廣泛的實(shí)際意義，例如，加速度就是速度對(duì)于時(shí)間的變化率，角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對(duì)于時(shí)間的對(duì)于時(shí)間的變化率，角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對(duì)于時(shí)間的變化率，線密度就是物質(zhì)線段的質(zhì)量對(duì)線段長(zhǎng)度的變化變化率，線密度就是物質(zhì)線段的質(zhì)量對(duì)線段長(zhǎng)度的變化率，功率就是所作的功對(duì)于時(shí)間的變化率，等等率，功率就是所作的功對(duì)于時(shí)間的變化率，等等. . 這樣這樣, ,曲線的切線的斜率可以說(shuō)成是曲曲線的切線的斜率可以說(shuō)成是曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化率，

6、線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化率， 速度可以說(shuō)速度可以說(shuō)成是行走的路程對(duì)于時(shí)間的變化率成是行走的路程對(duì)于時(shí)間的變化率. .10如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 I中的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，中的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I上可導(dǎo)上可導(dǎo). 這時(shí)這時(shí), 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)Ix , xxfxxfxfx )()(lim)(0)( )(Ixxf 可以看成是定義在可以看成是定義在 I上的一個(gè)新的函數(shù)，上的一個(gè)新的函數(shù)， 稱稱它它為為原原來(lái)來(lái)的的函函數(shù)數(shù))(xf的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)(或或簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)), 也也可可以以說(shuō)說(shuō)成成 y 對(duì)對(duì) x的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，并并記記作作y 或或 xy

7、dd. 11用定義求導(dǎo)數(shù)舉例用定義求導(dǎo)數(shù)舉例步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例3 3.)()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即12例例4 4.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx更一般地更一般地)0()(1 xx)( x例如例如,12121 x.21x

8、 )1( x11)1( x.12x 即即xx21)( 21)1(xx 13例例5 5.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx .e)e (xx 即即特別地特別地,) 0(ln1 xaxax14例例6 6.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 hhxhh)2cos(2sin2lim0 .cos x .cos)(sinxx 44cos)(sin xxxx.22 即即15導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(x

9、fy T0 xM)( ,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即線的斜率線的斜率處的切處的切在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為. )(000 xxxfyy 16例例7 7解解，xy2 32 xxk,6 所求切線方程為所求切線方程為, )3(69 xy.096 yx即即求求拋拋物物線線2xy 在在點(diǎn)點(diǎn))9 , 3(0P處處的的切切線線方方程程. . 17求求雙雙曲曲線線xy1 的的平平行行于于直直線線L：054 yx的的切切線線的的方方程程. 例例8 8解解201xk ,41 所求切線方程為所求切線方程為)2(4121 xy044 yx即即設(shè)設(shè)切切點(diǎn)

10、點(diǎn)為為)1,(00 xx， ,2 0 x所所求求切切點(diǎn)點(diǎn)為為)21, 2(和和)21, 2( ， 或或)2(4121 xy或或.044 yx18三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)2 2、右導(dǎo)數(shù)：、右導(dǎo)數(shù)：1 1、左導(dǎo)數(shù)：、左導(dǎo)數(shù)：;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo) 左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等. 19例例9 9.0)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解x

11、y xyo,)0()0( hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxy20設(shè)設(shè) 0 , 0 , 00 , )(32xxxxxxf, 求求)(xf . 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,xxf2)( ； )0(f 需需單單獨(dú)獨(dú)求求: : 所所以以 0)0( f, , 所以所以 0 , 30 , 00 , 2)(2xxxxxxf . . 例例1010解解當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,23)(xxf . . 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx20lim ,0 0)0()(

12、lim)0(0 xfxffxxxx30lim ,0 21四、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系四、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)處必連續(xù)函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)處必連續(xù). .證證.)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以函函數(shù)數(shù)xxf)()(00 xfxxfy , 由由于于)(xfy 在在0 xx 處處可可導(dǎo)導(dǎo), , 所所以以 yx 0lim xyx 0lim 存存在在且且為為)(0 xf , , xxyx 0lim xxyxx 00limlim 0)(0 xf,0 22.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf 例如例

13、如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點(diǎn)點(diǎn)為為處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在xfxx 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立. .xy xyoxxf )(xy2xy xy O23但但連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(. 20 xxf例如例如,.0處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 x(或稱導(dǎo)數(shù)無(wú)窮大或稱導(dǎo)數(shù)無(wú)窮大)注意注意: : 此時(shí)存在鉛直切線。此時(shí)存在鉛直切線。3xy 在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,但但 xxxfxfxx300lim0)0()(lim, ,)()(limlim0000 xxfxxfxyxx)( .)(0不不可可導(dǎo)導(dǎo)有有無(wú)無(wú)窮窮導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱函函數(shù)數(shù)xxf24.,

14、 )()(. 30點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則指指擺擺動(dòng)動(dòng)不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都函函數(shù)數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0)(處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxf011/1/xyxfxfx) 0()(lim0 xxxx1sinlim0 xx1sinlim0 )0(01sinlim)(lim00fxxxfxx , 所所以以)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù). . 不存在，不存在，但但25設(shè)設(shè) 1 , 1 , )(23xbaxxxxf, , 求求適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡腶, ,b, ,使使)(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo). . 1lim)(lim311 xxfxx,

15、因因?yàn)闉?(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，從從而而連連續(xù)續(xù), ,所所以以 因因?yàn)闉?(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,所所以以a23 ， 21,23 ba. . babaxxfxx )(lim)(lim211, 例例1111解解，3)1(lim21 xxx11lim)1(31 xxfx11lim)1(21 xbaxfx1lim21 xaaxx，a2 ba 1,1 ab 26小結(jié)小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定

16、連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù): 一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù):直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.27練習(xí)：練習(xí)：P105 習(xí)題三習(xí)題三28END292.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置302.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置312.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置322.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置332.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置

17、割線的極限位置切線位置切線位置342.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置352.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置362.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置372.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置382.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置39第二節(jié)第二節(jié) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xxuxxux )()(lim0 xxvxxvx )()(lim0 )()(xvxu . 設(shè)設(shè))(xuu , ,)(xvv 可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則vu , ,uv, ,vu )0( v均均可可導(dǎo)導(dǎo),

18、,且且有有 )( vuxxvxuxxvxxux )()()()(lim0 證證.)()1(vuvu 注注: : 可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的和與差?？赏茝V到有限多個(gè)函數(shù)的和與差。 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則40因因?yàn)闉?(xv可可導(dǎo)導(dǎo), ,必必連連續(xù)續(xù), , xvxuxxvxuxyxxxx 0000lim)()(limlimlim )()()()(xvxuxvxu . 故故)()(lim0 xvxxvx , ,于于是是 )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xxvxuxxvxxu )()()()(xvxuxxvxu vxuxxvu )()(, 證證.)()2(vu

19、vuuv 41證略證略. .特別特別,.)()3(2vvuvuvu .)1(2vvv 1 1. . uCCu )(； 2 2. .可可推推廣廣到到有有限限多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的乘乘積積，如如 推論推論wuvwvuvwuuvw )(.)()2(vuvuuv 證證wuvwuvuvw )()()(wuvwvuvu )(.wuvwvuvwu 42求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)： 例例1 1xxxxysin4523 . 123 ;cos45492xxxy xxy3 . 22 ;3ln3322xxxxy xxyxcose . 32 xxyxcose2 4 4. . )50()2)(1()( xxxxf,

20、, 求求)2(f . . 2)50()4)(3)(1()2( xxxxxf! 48 xxxcose2 ;sine2xxx 43例例2 2.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)(tan xyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 xx2sec)(tan xx2csc)(cot 類似可得類似可得即即)cossin( xx，x2sec 44例例3 3.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin xxxcotcsc)(csc 類似可得類似可得即即xxxtansec)(sec )c

21、os1( x45例例4 4.cos1sin5的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解例例5 5.sectan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxxy 解解2)cos1(sinsin5)cos1(cos5xxxxxy 2)cos1()1(cos5xx .cos15x .tansecsectan212xxxxxxy 46二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù)且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函

22、數(shù)數(shù)47例例6 6.log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xya 解解,log xya 設(shè)設(shè)axxaln1)(log ,yax 即即所以所以yxxydd1dd aayln1 .ln1ax 特別，特別，xx1)(ln 48例例7 7.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x ；211)(arccosxx 類似可得類似可得211)(arctanxx 211)cotarc(xx 211)(arcsinxx 49且其

23、導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)()(,)(0000 xxfyxuufyxxu 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理問(wèn)問(wèn)題題：xy2sin , , 是是否否有有xx2cos)2(sin ？ xxycossin2 , , )sin(cos222xxy 顯顯然然 xx2cos)2(sin . 解解 x2cos2 , . )()(dd000 xufxyxx 證略證略50推廣推廣),(),(),(xhvvguufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xhgfy 例例8 8.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函

24、數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd xucos1 xxsincos xcot . )()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy 51例例9 9.)1(102的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解解)1()1(10dd292 xxxyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1010解解求求函函數(shù)數(shù)21xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 xxy21212 .12xx 52例例1111解解例例1212解解求求函函數(shù)數(shù))1ln(2xxy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 211x . 211xxy ）（211xx 2221)1(1xxxxx .e1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy )1

25、(sine1sin xyx)1(1cose1sin xxx.1cose11sin2xxx 53例例1313求求函函數(shù)數(shù)nxxyncossin 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . )sin(sincoscossin1nxxnnxxxnynn sinsincoscossin1nxxnxxxnn xnxxnn)1cos(sin1 . 解解54例例1414求求冪冪函函數(shù)數(shù) xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 解解)( x)e (ln x xx )e (lnxx .1 x1)( xx55訓(xùn)練：求導(dǎo)數(shù)訓(xùn)練：求導(dǎo)數(shù),)sin23( )1(5xy )cos2()sin23(54xxy .)sin23(cos104xx ,1arctan )

26、2(xy )1(11122xxy .112x .cotarc1arctanxx 實(shí)際上，實(shí)際上， ,)13csc( )3(3 xy33)13cot()13csc( xxy.)13cot()13csc()13(9332 xxx,2 )4(lnxxy xxyln2 2ln .ln1ln2xx 2)13(3 x3 56例例1515設(shè)設(shè) f 可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22)(sinxxfy 1.)(exfy )1(xfy 2.3.解解1.22)(sin2 xxfy .)(sin)(sin)(sincos22xxfxxfxfx )1()1( xxfy)(e)(xfyxf 2.3.

27、)1(12xfx .e)()(xfxf )(sin2xf)(sin xf xcos x2 抽象函數(shù)求導(dǎo)抽象函數(shù)求導(dǎo): :57隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法問(wèn)題問(wèn)題: 隱函數(shù)能否不經(jīng)顯化而直接求導(dǎo)隱函數(shù)能否不經(jīng)顯化而直接求導(dǎo) ?例例如如, , 隱隱函函數(shù)數(shù): :133 yx, , 顯化顯化: :331xy . . 如如果果二二元元方方程程0),( yxF確確定定了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù))(xyy , ,稱稱之之為為隱隱函函數(shù)數(shù). . 當(dāng)當(dāng)然然, ,)(xy一一經(jīng)經(jīng)解解出出, ,則則稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù). . 方方程程222ayx 可可以以確確定定函函數(shù)數(shù)22xay 與與22xay , ,有有兩兩個(gè)個(gè). .

28、 但但有有時(shí)時(shí)不不易易或或不不能能顯顯化化, ,如如Kepler方方程程： 0sin yxy )10( . . 58求求由由方方程程222ayx 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . 方方程程兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于 x求求導(dǎo)導(dǎo)( (將將 y視視為為 x的的函函數(shù)數(shù)) ), ,得得 解解得得 yxy . . 顯顯化化后后, ,22xay , , 另另一一分分支支: : 22xay , ,22xaxy yx . . 例例1616解解，022 yyx比較：比較：22xaxy ；yx 59求由方程求由方程ee xyy所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù))(xyy 在在 0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).

29、 . 例例1717解解方方程程兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于x求求導(dǎo)導(dǎo), ,得得 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,1 y, , ，0e yxyyy，xyyy e.e1 0 xy60訓(xùn)練：訓(xùn)練：. )sin( )1(xyy 求求由由下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xydd. . .lnarctan )2(22yxxy 解解 (1) (1) 方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x x求導(dǎo)求導(dǎo), ,)()cos(yxyxyy .)cos(1)cos(xyxxyy (2) 先變形為先變形為,)ln(21arctan22yxxy ,2221)/(112222yxyyxxyyxxy ,yyxyyx . yx

30、yxy 再兩邊關(guān)于再兩邊關(guān)于x x求導(dǎo)求導(dǎo), ,61對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,e)4(1)1(sin23xxxyxxxy 方法：方法： 先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù). .適用范圍適用范圍: :.)()( 的情形的情形函數(shù)函數(shù)較復(fù)雜的函數(shù)以及冪指較復(fù)雜的函數(shù)以及冪指用乘、除、根式表達(dá)比用乘、除、根式表達(dá)比xvxu62例例1818解解 142) 1( 3111e)4(1) 1(23xxxxxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式

31、兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,e)4(1)1(23yxxxyx 求求設(shè)設(shè)嚴(yán)嚴(yán)格格講講, ,取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)取取絕絕對(duì)對(duì)值值, ,如如xxln2ln2 , ,但但xx/1)(ln , ,故故省省略略絕絕對(duì)對(duì)值值. . 注意：注意：63例例1919解解.),0(yxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) x1ln1 xyy)1(ln xyy. )1(ln xxx或解或解)( xx)e(ln xx)e(ln xx)ln(eln xxxx)1(lneln xxx. )1(ln xxx64例例2020設(shè)設(shè)xxy)11( , ,

32、求求2/1 xy. . 所所以以 11)11ln()11(xxxyx , , 解解)11ln(lnxxy ，ln)1ln(xxx )111()11ln(xxxxyy ，xx 11)11ln(. )323(ln3 2/1 xy65例例2121解解.dd,xyyxxy求求設(shè)設(shè) 等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得,lnlnyxxy 方方程程兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于x求求導(dǎo)導(dǎo), ,得得 ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 66練習(xí)：練習(xí)：P105 習(xí)題三習(xí)題三67第三節(jié)第三節(jié) 基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式)( C,0 )(sin x,cos x )( x,1 x)(cos x,sin x

33、)(tan x,sec2x )(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx )(csc x,cotcscxx )( xa)e ( x)(log xa,lnaax )(ln x,ex ,ln1ax ,1x )(arcsin x)(arctan x,112x )(arccos x,112x ,112x )cotarc( x.112x ,21)(xx ,1)1(2xx 68例例1 1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.322 )e(xxy )e211()e(322 31 2 xxxy 2.xaaxy aaxaaxyxaxaln1 ln1axaaxxa 解解解解693.解解)ln(2

34、222222axxaaxxy 2222221axxxaxy .22ax 2222212axxaxxa 2222221axxax 22221axa 704.解解21arcsinxy )1 (112xy 212xx .1)sgn(2xx 5.xyxsin3arctan 解解cos3sin113ln3sin1arctan2arctan2xxxxyxx . cossin3ln)1 (sin322arctanxxxxx 71解解這是抽象函數(shù)求導(dǎo)，這是抽象函數(shù)求導(dǎo)，例例2 2設(shè)設(shè))(e)(lnxfxfy , ,其其中中)(xf可可導(dǎo)導(dǎo), ,求求y . . )(e1)(lnxfxxfy .)(ln)()(l

35、n1e)( xfxfxfxxf)(e)(ln)(xfxfxf 注意：注意：這這里里)(xf和和)(lnxf表表示示不不同同的的函函數(shù)數(shù)。 72例例3 3解解。的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 )(log xaxy xxyaloglnln axxxxxyyaaln1log1logln21 .logln2logln2)(log xaxxxyaaxa73解解例例4 4，)ln(ln)ln(ln)ln(lnlnaxbxbabaxy 設(shè)設(shè)baxaxxbbay) () () ( , ,)0, 0( ba, ,求求 xydd. . 兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x x求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得 xbxabayy lnln

36、，xabba ln. ) ln() () () ( xabbaaxxbbaybax 74( (2 2) ) 如如果果)(xf是是偶偶函函數(shù)數(shù), ,且且)(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則.0)0( f 證證( (1 1) ) 若若)(xf是是奇奇函函數(shù)數(shù), , 即即 , )()(xfxf 兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo), , 得得 , )()(xfxf 即即 , )()(xfxf 所以所以)(xf 是偶函數(shù)是偶函數(shù). . 另一結(jié)論類似可證另一結(jié)論類似可證. .例例5 5 證明：證明：(1) (1) 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；

37、75( (2 2) ) 設(shè)設(shè))(xf是是偶偶函函數(shù)數(shù), , , )0()0( ff 所以所以所以所以 .0)0( f ( (2 2) ) 如如果果)(xf是是偶偶函函數(shù)數(shù), ,且且)(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則.0)0( f 證證例例5 5 證明：證明：(1) (1) 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)； 由由( (1 1) )知知)(xf 是是奇奇函函數(shù)數(shù), , 76練習(xí)：練習(xí)：P105 習(xí)題三習(xí)題三77第四節(jié)第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度. .),(tfs 設(shè)設(shè)路路

38、程程函函數(shù)數(shù)為為)()(tftv 則則瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度為為的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度加加速速度度tva )()()( tftvta如如果果)(xfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xfy 仍仍可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則 )( xf稱稱為為)(xf的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,記記為為)(xfy 或或22ddxy. . 一一般般, ,如如果果)(xf的的) 1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為)(xf的的n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,記記)()(xfn或或nnxydd. . 78解解baxy )1(例例1 1 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： nxycos )2( xysin

39、e )3( xytanln )4( (1)(1),ay .0 y(2)(2),sin xny .cos2xny (3)(3),cosesinxyx xxyxxsinecosesin2sin . )sin(cose2sinxxx (4)(4)xxytansec2 xxcossin1 ,2sin2x .2sin2cos42xxy 79例例2 2解解21ln21/11/122 xxxy.ln1arctanyxxxy 求求，設(shè)設(shè)，21ln21112 xx.21)1(2 22xxxy 所所以以80例例3 3解解)11 (1122xxxxy .)1ln(2yxxy 求求，設(shè)設(shè)，211x )11(2 xyx

40、x2)1(21232 .)1 (32xx 81例例4 4解解設(shè)設(shè))(xf二二階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,)(lnxfy , ,求求22ddxy. . xxfxy1)(lndd 222 ddxxy .)(ln)(ln2xxfxf ，xxf)(ln )(ln xf x1 )(ln xf x 82例例5 5.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x)1( 04433 yyyxyx，時(shí)時(shí)1,0 yx041 y求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代代入入044321 y得得xy

41、xyy 3344,4110 yxy;41 10 yxy代入得代入得.161 10 yxy83例例6 6.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解，1 xy)(1 xy，2)1( x，3)2)(1( x)1(2 xy.)1()1()(nnxny 則則不不為為自自然然數(shù)數(shù)設(shè)設(shè), )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn,0 則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若特特別別，,n 求求 n n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)84例例7 7.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)2sin()(sin)( nxxn)2cos()(cos)( nxx

42、n類似可得類似可得xy2sin , ,求求)(ny. . 考慮：考慮：xxycossin2 2) 1(2sin21)( nxynn，x2sin 歸納可證歸納可證或利用或利用22cos1sin2xx 來(lái)解來(lái)解. .85例例8 8解解1)(!)1()1( nnnxnx211xy )1111(21xx )1()1()1(12!11)( nnnnxxny.,1)(nyxy求求設(shè)設(shè) ，21xy ，3!2xy ，4! 3xy ，歸納可證歸納可證, ,再如再如, ,86例例9 9., )1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解，xy 11.)1()!1()1(1)(nnnxny 1)(!)1()1( nnnxnx

43、87常用常用n n階導(dǎo)數(shù)公式：階導(dǎo)數(shù)公式：nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)6(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxe)e ()( 1)(!)1()1()5( nnnxnx(n(n不為正整數(shù)不為正整數(shù)) )88練習(xí)：練習(xí)：P105 習(xí)題三習(xí)題三89第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 x

44、A 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無(wú)無(wú)窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、微分概念一、微分概念90再如再如,03時(shí)時(shí)處處的的改改變變量量為為在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題問(wèn)題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線

45、性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否所是否所有函數(shù)的改變量都有有函數(shù)的改變量都有? ? 它是什么它是什么? ? 如何求如何求? ?.y 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量91,)(00在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)及及在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxfy 定義定義)()(00 xfxxfy 如如果果,0無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)而而與與是是僅僅依依賴賴于于其其中中xxA )( xoxAy 時(shí)可表示為時(shí)可表示為當(dāng)當(dāng)0 x是是)( xo ，高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量比比x 即即或或記記作作,dd00 xxxfy 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可微微， 并并稱稱xA

46、為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量x 的的微微分分, xAyxx 0d92由定義知由定義知: :;d)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xy ;)(d)2(高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比 xxoyy ;d,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyA yyd xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(d,)5(線性主部線性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)yyx )()()(00 xoxAxfxxfy 93).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微的的充充分分必必

47、要要條條件件是是在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)定理定理證證 (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)xxf),( xoxAy 即即,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù) 0)(lim00 xxxfyx. . 于于是是 )()(xoxxfy , , 即即 )( xoxAy , , (2) 充分性充分性,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)設(shè)設(shè)xxf)(lim00 xfxyx .)( 0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf94可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分為為函函數(shù)數(shù)Axf )(0 xxfyd)

48、(d 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxf )( ).(ddxfxy 所以導(dǎo)數(shù)也稱為所以導(dǎo)數(shù)也稱為“微商微商”.)( xoxAy .1dd xxxy 所所以以，1)( xf95二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 幾何意義幾何意義:(如圖如圖).d,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)yy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 以直代曲以直代曲 )( xoxAy xyy d96例例1 1解解求函數(shù)求函數(shù)xysin 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x和和2

49、 x的微分的微分. xxyd)(sind ,dcosxx 所以所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例例2 2解解.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxyd)(d 3 ,d32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy.24. 0 97三、基本微分公式三、基本微分公式xxfyd)(d 0)(d Cxxxd)(d1 xaaaxxdln)(d xxxde)e (d xaxxadln1)(logd xxxd1)(lnd xxxdcos)(sind xxxdsin)(cosd xxxdsec)(tand2 xxxdcsc)(cotd

50、2 xxxxdtansec)(secd xxxxdcotcsc)(cscd xxxd1)1(d2 xxxd21)(d 98xxxd11)(arcsind2 xxxd11)(arctand2 xxxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 三、基本微分公式三、基本微分公式xxfyd)(d 99四、微分法則四、微分法則1 1、函數(shù)和、差、積、商的微分法則、函數(shù)和、差、積、商的微分法則例如，從函數(shù)的商的求導(dǎo)法則例如，從函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 2)(vvuuvvu 以以及及xuudd 和和在在xvvdd ，即即有有 )(dvu2ddvxvuxuv xvud)( .dd2vvuuv vu

51、vudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu 100結(jié)論：結(jié)論：的的微微分分形形式式總總是是函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無(wú)無(wú)論論)(,xfyx xxfyd)(d 2 2、復(fù)合函數(shù)的微分法則、復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)設(shè))(xfy 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則xxfyd)(d 。 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ttgxfyd)()(d 此性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性此性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性. . 若若又又有有)(tgx , ,g可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(tgfy 的的微微分分為為 101例例3 3解

52、法解法1 1.d, )eln(2yxyx求求設(shè)設(shè) ,ee2122xxxxy .dee21d 22xxxyxx 解法解法2 2)e(de1d22xxxxy .dee2122xxxxx 分析分析xxfyd)(d 微分的計(jì)算：計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算：計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .也可利用復(fù)合函數(shù)的微分法則。也可利用復(fù)合函數(shù)的微分法則。102例例4 4解解.d),12sin(yxy求求設(shè)設(shè) )12(d)12cos(d xxy.d) 12cos(2xx 例例5 5解解.d,cose31yxyx求求設(shè)設(shè) )(cosde)e (dcosd3131xxyxx xxxxxxd)s

53、in(ed)e3(cos3131 .d)sincos3(e31xxxx vuuvuvdd)(d 103例例6 6解解.d,e1tanyxyx求求設(shè)設(shè) xxe1tand2)e1()e1(dtan)(tand)e1(xxxxx .d)e1(tanesec)e1(22xxxxxx 2dd)(dvvuuvvu 104例例7 7抽象函數(shù)微分法：抽象函數(shù)微分法： 解解設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù))(uf可可微微，求求)(ln xfy 的的微分微分。 xxfylnd)(lnd .d)(lnxxxf 例例8 8解解設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(uf可可微微，求求)e (e)(xxffy 的的微微分分。 )e (de)e ()e (dd)(

54、)(xxfxxfffy xxxfxxfffxfde)e (e)e ()(de)()( .d)e (e)e ()(e)(xffxfxxxxf 105例例9 9解解隱函數(shù)微分法：隱函數(shù)微分法： .d,222yayx求求設(shè)設(shè) 兩邊微分，兩邊微分，0d2d2 yyxx.dd xyxy 例例1010解解.darctanyyxy求求，設(shè)設(shè) 兩邊微分，兩邊微分，21dddyyyxxy .d)1(1)1(d22xyxyyy 106訓(xùn)練：訓(xùn)練：設(shè)設(shè))(xyy 由由03 yxyx確確定定，求求0d xy. 解解方程兩邊同時(shí)求微分得方程兩邊同時(shí)求微分得xd當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,1 y .d)13ln(d 0 xyx

55、,0d3lndd xyx代入得代入得yd yx3 3ln)dd(yxxy ,0 107?,05. 0,10問(wèn)問(wèn)面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半徑徑伸伸長(zhǎng)長(zhǎng)了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑有有很很小小時(shí)時(shí)且且處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若,0)()( 00 xxfxxfy 例例1111解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrAA 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00dxxxxyy 五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用)()()()(000 xxxfxfxf )(0 xx 108例例1212.0360coso

56、的的近近似似值值計(jì)計(jì)算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360 x,21)3( f)3603cos(0360cos o 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 49242356. 0精精確確值值，23)3( f109常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x;)(sin)4(為為弧弧度度xxx (1) 證證,e)(xxf 設(shè)設(shè),e)(xxf .1)0(,1)0( ff. )(tan)5(為弧度為弧度xxx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx ;1e)1(xx .1exx )()0()0()(很很小小時(shí)時(shí)，特特別別xxffxf

57、. )(211cos)6(2為為弧弧度度xxx 110例例1313.計(jì)計(jì)算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.e)2(;5 .998)1(03. 03 335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015.0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01e)2(03. 0 .97. 0 994997. 9精確值精確值97044. 0精精確確值值xx 1)1(xx31113 xx 1e.0 x注意注意: :上述近似公式均要求上述近似公式均要求111練習(xí)：練習(xí)：P105 習(xí)題三習(xí)題三112第六節(jié)第六節(jié) 導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)函數(shù) 1.1.成本函數(shù)成本函數(shù) 總總成成本本函函數(shù)數(shù) )()(10QCCQCC ，其其中中Q為為產(chǎn)產(chǎn)量量，0C為為固固定定成成本本，)(1QC為為變變動(dòng)動(dòng)成成本本； 平均成本函數(shù)平均成本函數(shù) .)(QQCC 2.2.需求函數(shù)需求函數(shù) 需需求求函函數(shù)數(shù), )(PfQ 其其中中P為為價(jià)價(jià)格格； 它它的的反反函函數(shù)數(shù))(QgP 有有時(shí)時(shí)稱稱為為價(jià)價(jià)格