冪函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

1、§2.3 冪函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 通過具體實(shí)例了解冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2. 體會冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對稱性并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用. 學(xué)習(xí)過程 任務(wù)一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P77 P79，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：求證在R上為奇函數(shù)且為增函數(shù).復(fù)習(xí)2：1992年底世界人口達(dá)到54.8億，若人口年平均增長率為x%，2008年底世界人口數(shù)為y（億），寫出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口數(shù)；（2）2008年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式任務(wù)二、新課導(dǎo)學(xué)探究任務(wù)一：冪函數(shù)的概念問題：分析以下五個函數(shù)，它們有什么共同特征？（1）邊長為的正方形面積，是的函數(shù)；（2）面積為的

2、正方形邊長，是的函數(shù)；（3）邊長為的立方體體積，是的函數(shù)；（4）某人內(nèi)騎車行進(jìn)了1，則他騎車的平均速度，這里是的函數(shù)；（5）購買每本1元的練習(xí)本本，則需支付元，這里是的函數(shù). 新知1、冪函數(shù)的概念：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù).試一試：判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù). ；.探究任務(wù)二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題：作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）從圖象分析出冪函數(shù)所具有的性質(zhì).觀察圖象，總結(jié)填寫下表：常見冪函數(shù)的性質(zhì)說明： 除函數(shù)外，其余四個冪函數(shù)具有奇偶性在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖像向上與軸無限接近，我們稱軸軸為漸近線結(jié)合以上特殊冪函數(shù)的圖像得出一般冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所

3、有冪函數(shù)在上都有定義，并且圖像都通過點(diǎn)（2）若，則冪函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上為增函數(shù)（3）若則冪函數(shù)的圖像在區(qū)間上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在軸右方無限地逼近軸，當(dāng)趨向于時(shí)，圖像在軸上方無限地逼近軸（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù) 例1、已知冪函數(shù)，求的值例2、已知函數(shù)為何值時(shí)，是：（1）正比例函數(shù)（2）反比例函數(shù)（3）二次函數(shù)（4）冪函數(shù)例3 下面六個冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）2、冪函數(shù)的定義域和值域所有冪函數(shù)的定義域和值域的求法分為五種情況（1）時(shí)，的定義域

4、為，值域?yàn)椋?）為正整數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑸榕紨?shù)時(shí)，值域?yàn)?為奇數(shù)時(shí)，值域?yàn)椋?）為負(fù)整數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑸榕紨?shù)時(shí)，值域?yàn)?，為奇?shù)時(shí)，值域?yàn)椋?）當(dāng)為正分?jǐn)?shù)時(shí)，化為，根據(jù)的奇偶性求解（5）當(dāng)為負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)，化為，根據(jù)的的奇偶性求解例4、（1）函數(shù)的定義域是 ，值域是 ；（2）函數(shù)的定義域是 ，值域是 ；練1（1）函數(shù)的定義域是 ，值域是 ；（2）函數(shù)的定義域是 ，值域是 ；練2、冪函數(shù)，其中定義域?yàn)?的是（ ）A B C D例5設(shè)1,1，3，則使函數(shù)yx的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有值為()A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,33、 冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性（1）冪函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，是

5、增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)（2）冪函數(shù)的奇偶性：令（其中、互質(zhì)，、）當(dāng)為奇數(shù)，則的奇偶性取決于是奇數(shù)還是偶數(shù).當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)當(dāng)為偶數(shù)，則必是奇數(shù)，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)例6、若當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A B C或 D例7、已知函數(shù)為偶函數(shù)，且（1） 求的值，并確定的解析式（2） 若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍例8、已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上市減函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式（2）討論的奇偶性練3、下列說法正確的是（ ）A是奇函數(shù) B是奇函數(shù) C是非奇非偶函數(shù) D是非奇非偶函數(shù)構(gòu)造冪函數(shù)比較兩個冪值得大小比較兩個冪值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)

6、，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同而底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)不同，指數(shù)也不同，需引入中間量，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或借助于函數(shù)的圖像來比較例9、比較下列各組數(shù)大?。海?） （2） （3） 練4、比較下列各組數(shù)大?。海?） （2） （3），練5、若，則下列不等式成立的是（ ）A B C D任務(wù)三、課后作業(yè)第一題、選擇題1在函數(shù)y2x3，yx2，yx2x，yx0中，冪函數(shù)有()A1個 B2個C3個 D4個解析：選B.yx2與yx0是冪函數(shù)2 若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則（ ）.A>0 B<0 C=0 D不能確定3函數(shù)f(x)(m2m1)xm22m3是冪函數(shù)，且在

7、x(0，)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m()A2 B3C4 D54使(32xx2)有意義的x的取值范圍是()AR Bx1且x3C3x1 Dx3或x1解析：選C.(32xx2)，要使上式有意義，需32xx20，解得3x1.解析：選A.m2m11，得m1或m2，再把m1和m2分別代入m22m30，經(jīng)檢驗(yàn)得m2.5. 若，那么下列不等式成立的是（ ）.A<l< B1<< C<l<D1<<6函數(shù)的圖象是（ ）. A. B. C. D.7函數(shù)y(x4)2的遞減區(qū)間是()A(，4) B(4，)C(4，) D(，4)解析：選A.y(x4)2開口向上，關(guān)于x4對稱，在(，

8、4)遞減8給出四個說法：當(dāng)n0時(shí)，yxn的圖象是一個點(diǎn)；冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)；冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限；冪函數(shù)yxn在第一象限為減函數(shù)，則n0.其中正確的說法個數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析：選B.顯然錯誤；中如yx的圖象就不過點(diǎn)(0,0)根據(jù)冪函數(shù)的圖象可知、正確，故選B.第二題、填空題9. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則它的解析式為 .10比較下列兩組數(shù)的大?。海?）； （2）.11已知2.42.5，則的取值范圍是_解析：02.42.5，而2.42.5，yx在(0，)為減函數(shù)答案：0第三題、解答題12求函數(shù)y(x1)的單調(diào)區(qū)間解：y(x1)，定義域?yàn)閤1.令tx

9、1，則yt，t0為偶函數(shù)因?yàn)?，所以yt在(0，)上單調(diào)遞減，在(，0)上單調(diào)遞增又tx1單調(diào)遞增，故y(x1)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，1)上單調(diào)遞增13已知(m4)(32m)，求m的取值范圍解：yx的定義域?yàn)?0，)，且為減函數(shù)原不等式化為，解得m.m的取值范圍是(，)14已知冪函數(shù)yxm22m3(mZ)在(0，)上是減函數(shù)，求y的解析式，并討論此函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解：由冪函數(shù)的性質(zhì)可知m22m30(m1)(m3)03m1，又mZ，m2，1,0.當(dāng)m0或m2時(shí)，yx3，定義域是(，0)(0，)30，yx3在(，0)和(0，)上都是減函數(shù)，又f(x)(x)3x3f(x)，yx3是奇函數(shù)當(dāng)

10、m1時(shí)，yx4，定義域是(，0)(0，)f(x)(x)4x4f(x)，函數(shù)yx4是偶函數(shù)40，yx4在(0，)上是減函數(shù)，又yx4是偶函數(shù)，yx4在(，0)上是增函數(shù)任務(wù)四、鞏固訓(xùn)練第一題、選擇題1已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，則f(4)的值為()A16 B. C. D2解析：選C.設(shè)f(x)xn，則有2n，解得n，即f(x)x，所以f(4)4.2下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)閤|x0的是()Ayx Byx Cyx Dyx解析：選D.A.yx，xR；B.yx，x0；C.yx，x0；D.yx，x0.3函數(shù)和圖象滿足 （ ）A關(guān)于原點(diǎn)對稱 B關(guān)于軸對稱 C關(guān)于軸對稱 D關(guān)于直線對稱4函數(shù)在區(qū)間上

11、的最大值是 （ ）ABCD5設(shè)T1，T2，T3，則下列關(guān)系式正確的是 ( )AT1<T2<T3 BT3<T1<T2 CT2<T3<T1 DT2<T1<T36.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線（ ） A. B. C. D. 7. 下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 答案：8冪函數(shù)f(x)x滿足x1時(shí)f(x)1，則滿足條件()A1 B01C0 D0且1解析：選A.當(dāng)x1時(shí)f(x)1，即f(x)f(1)，f(x)x為增函數(shù)，且1.解析：選D.yx，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，)，故定義域與值域不同9.當(dāng)x（1，）時(shí)，函數(shù)）y的圖象

12、恒在直線yx的下方，則a的取值范圍是 （A）A、a1B、0a1C、a0D、a010若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論中不能成立的是 ( B )A B D第二題、填空題11函數(shù)的定義域?yàn)開解析：，x<1.答案：(，1)12已知n2，1,0,1,2,3，若n>n，則n_1,2_. 13是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)的值是 5 .14設(shè)x(0,1)時(shí)，yxp(pR)的圖象在直線yx的上方，則p的取值范圍是_解析：結(jié)合冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知p<1.答案：p<115已知函數(shù)f(x)x (01),對于下列命題： 若x1,則f(x)1； 若0x1,則0f(x)1; 若f(x1)f(x2)

13、,則x1x2； 若0x1x2,則.其中正確的命題序號是 _ _.第三題、解答題16已知冪函數(shù)f（x）（pZ）在上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）17函數(shù)f(x)(m2m5)xm1是冪函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，試確定m的值解：根據(jù)冪函數(shù)的定義得：m2m51，解得m3或m2，當(dāng)m3時(shí)，f(x)x2在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)m2時(shí)，f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)，不符合要求故m3.18已知冪函數(shù)，當(dāng)x(0，)時(shí)為減函數(shù)，則該冪函數(shù)的解析式是什么？奇偶性如何？單調(diào)性如何？解：由于為冪函數(shù)，所以m2m11，解得m2，或m1.當(dāng)m2時(shí)，m22m33，yx

14、3，在(0，)上為減函數(shù)；當(dāng)m1時(shí)，m22m30，yx01(x0)在(0，)上為常函數(shù)，不合題意，舍去故所求冪函數(shù)為yx3.這個函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域是(，0)(0，)，根據(jù)函數(shù)在x(0，)上為減函數(shù)，推知函數(shù)在(，0)上也為減函數(shù)。19已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，當(dāng)為何值時(shí)：； ； 解: 根據(jù)冪函數(shù)的概念，利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再結(jié)合圖象確定滿足條件的x的取值范圍設(shè)f(x)x，則()2，得2，所以f(x)x2；同理可得g(x)x1.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù) 的圖象(如圖所示)，(1)當(dāng)x<0或x>1時(shí)，f(x)>g(x)； (2)當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=g(x)；(3)當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<g(x)20已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足 的 的取值范圍解:函數(shù)yxp3在(0，)上是減函數(shù)，p3<0，即p<3，又pN*，p1，或p2.函數(shù)yxp3的圖象關(guān)于y軸對稱，p3是偶數(shù)，取p1，即yx2，由， 函數(shù)在(，)上是增