工科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)

1、第六章 級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是用來(lái)表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)并利用它進(jìn)行數(shù)學(xué)理論分析和數(shù)值計(jì)算的有力工具本章首先介紹數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本理論，再給出冪級(jí)數(shù)的一些基本結(jié)論，最后研究在電工電子學(xué)等學(xué)科中經(jīng)常用到的傅里葉級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)一、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念給定一個(gè)無(wú)窮數(shù)列則稱(chēng)表達(dá)式 為（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，記為，即 其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)我們遇到了新的問(wèn)題：（1）無(wú)窮級(jí)數(shù)中無(wú)窮多個(gè)數(shù)量怎樣相加？（2）無(wú)窮多個(gè)數(shù)量相加是否會(huì)有一個(gè)確定的結(jié)果？在數(shù)學(xué)上,我們可以從有限項(xiàng)的和出發(fā)，觀察它的變化趨勢(shì)，即通過(guò)極限的方法，來(lái)解決無(wú)窮多項(xiàng)的求和問(wèn)題設(shè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和當(dāng)

2、n依次取1，2，3，時(shí)，得到一個(gè)新的數(shù)列：稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限S，即，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，此時(shí)極限S叫做此級(jí)數(shù)的和，并記為；如果沒(méi)有極限，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散的級(jí)數(shù)沒(méi)有和 例1 討論等比級(jí)數(shù)（又稱(chēng)為幾何級(jí)數(shù)）的斂散性，其中叫做級(jí)數(shù)的公比解 當(dāng)時(shí)，所給級(jí)數(shù)的部分和 （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，因此?jí)數(shù)收斂，其和為 （2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因此?jí)數(shù)發(fā)散 （3）當(dāng)時(shí)，若，則，因此級(jí)數(shù)發(fā)散 若，則 顯然不存在，因此級(jí)數(shù)發(fā)散綜上所述可知，當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂，其和為；當(dāng)時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散等比級(jí)數(shù)的斂散性今后常要用到，請(qǐng)讀者熟記例2 證明級(jí)數(shù)收斂 證 由于，所以級(jí)數(shù)的部分和為 = 因?yàn)?所以此級(jí)數(shù)

3、收斂，其和為1例3 討論調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性 解 調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和為 如圖，各小矩形的面積依次為顯然這個(gè)矩形面積之和大于由曲線 所圍成的曲邊梯形的面積，即 于是 因此調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散二、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，可以得出級(jí)數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)是不為0的常數(shù)，則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)有相同的斂散性特別地，如果級(jí)數(shù)收斂于S，那么級(jí)數(shù)也收斂，且其和為性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于S、T，那么級(jí)數(shù)也收斂，且其和為性質(zhì)2也可說(shuō)成：收斂的級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減例4 判定級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂，求其和解 因?yàn)槭鞘醉?xiàng)，公比的等比級(jí)數(shù)，它是收斂的，其和為；是首項(xiàng)，公比的等比級(jí)數(shù)，它也是收斂的，其和為

4、，所以根據(jù)性質(zhì)2可知，級(jí)數(shù)收斂，其和為性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、增加或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變?cè)摷?jí)數(shù)的斂散性例如級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散性質(zhì)4 （級(jí)數(shù)收斂的必要條件） 若級(jí)數(shù)收斂，則說(shuō)明 1其逆命題不成立即由，并不能推出級(jí)數(shù)收斂，例如調(diào)和級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨向于0，但它是發(fā)散的所以只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件 2 若，則級(jí)數(shù)發(fā)散這為我們提供了一種判別級(jí)數(shù)發(fā)散的方法在討論級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，我們常常先考察，若它不存在或不為零，則級(jí)數(shù)必發(fā)散如級(jí)數(shù)的通項(xiàng)因?yàn)?所以此級(jí)數(shù)發(fā)散試 一 試判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性1 2 3 4第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法在研究級(jí)數(shù)時(shí)，一個(gè)重要的問(wèn)題是判斷級(jí)數(shù)是否收斂，而只利用級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的定義和性質(zhì)來(lái)判

5、斷級(jí)數(shù)的斂散性，常常是很困難的，因此需要建立判斷級(jí)數(shù)斂散性的審斂法本節(jié)著重討論幾種基本的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性一、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法所謂正項(xiàng)級(jí)數(shù)，就是級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是正數(shù)或零，即這是一類(lèi)十分重要的級(jí)數(shù)，以后會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題下面不加證明地給出兩個(gè)定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)和（1）若，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（2）若，且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散例1 討論p-級(jí)數(shù)的斂散性解 當(dāng)時(shí)，有，而發(fā)散，由比較審斂法知，級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有所以 從而部分和數(shù)列 因此數(shù)列有界，從而級(jí)數(shù)收斂綜上所述，當(dāng)時(shí)

6、，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散這個(gè)結(jié)論以后常要用到，應(yīng)給予足夠重視例如，級(jí)數(shù)是收斂的，而級(jí)數(shù)是發(fā)散的例2 判定級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)?，而級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂 例3 判定級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較審斂法知，級(jí)數(shù)發(fā)散說(shuō)明 1比較審斂法的基本思想是將要判斷的級(jí)數(shù)與我們熟悉的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，通過(guò)比較一般項(xiàng)的大小，來(lái)判斷給定級(jí)數(shù)的斂散性因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)或級(jí)數(shù)是斂散性已知的級(jí)數(shù)，所以通常找這兩類(lèi)級(jí)數(shù)來(lái)進(jìn)行比較；2利用比較審斂法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性之前，應(yīng)該對(duì)所給級(jí)數(shù)的斂散性有個(gè)初步估計(jì)但有時(shí)比較困難，既然級(jí)數(shù)的斂散性是級(jí)數(shù)本身固有的屬性，理應(yīng)有方法從級(jí)數(shù)自身出發(fā)直接判斷。下面我們不加

7、證明地給出比值審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法（或達(dá)朗貝爾判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則（1）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散關(guān)于第（3）條，例如級(jí)數(shù)，不論為何值都有，但我們知道，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散即當(dāng)時(shí)比值審斂法失效，此時(shí)需改用其他方法判定級(jí)數(shù)的斂散性 例4 判定級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)橛杀戎祵彅糠ㄖ?，?jí)數(shù)發(fā)散例5 判定級(jí)數(shù)的斂散性 解 因?yàn)橛杀戎祵彅糠ㄖ?，該?jí)數(shù)收斂 二、 交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法設(shè)，形如或的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)的斂散性有下面的判別方法：萊布尼茲判別法 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件：（1）（2），則級(jí)數(shù)收斂。 例6 判定級(jí)數(shù)的斂散性 解 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，

8、且滿(mǎn)足 （1） （2）所以該級(jí)數(shù)收斂 三、 絕對(duì)收斂與條件收斂 現(xiàn)在我們討論一般的級(jí)數(shù)，其中為任意實(shí)數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們可以先考察由各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有下列結(jié)論：如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必收斂例7 判定級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂所以，級(jí)數(shù)收斂例8 判定級(jí)數(shù)的斂散性解 先考察級(jí)數(shù)的斂散性 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知，級(jí)數(shù)收斂因而級(jí)數(shù)收斂說(shuō)明 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必收斂，許多任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定問(wèn)題，但需注意的是，對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)不一定也發(fā)散例如，級(jí)數(shù)收斂，但卻發(fā)散如

9、果級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂如果級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂例如，上面例7、例8中的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而級(jí)數(shù)條件收斂試 一 試判斷下列級(jí)數(shù)斂散性：1 23 4第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)一、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念前面我們討論的是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的每一項(xiàng)都是常數(shù)，現(xiàn)在我們考慮每一項(xiàng)都是定義在區(qū)間I上的函數(shù)所構(gòu)成的級(jí)數(shù)： 這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于每一個(gè)確定的，對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若這個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)為此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)，否則稱(chēng)為此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)發(fā)散點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的發(fā)散域?qū)?yīng)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因而有一確定的和S，

10、因此在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是的函數(shù)，我們稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，它的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，記作由于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)形式較復(fù)雜，要確定它的收斂域也十分困難，本節(jié)我們要學(xué)習(xí)的是一類(lèi)簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性形如 的級(jí)數(shù)，稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù)叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù)冪級(jí)數(shù)的一般形式是 稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù)只要作代換，則級(jí)數(shù)就轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)的形式，所以我們著重討論型的冪級(jí)數(shù) 首先我們考察下面的冪級(jí)數(shù)： 容易看出這是一個(gè)公比為的等比級(jí)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，其和函數(shù)；當(dāng)時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散因此當(dāng)時(shí)，有 由此可以看出此級(jí)數(shù)的收斂域是一個(gè)區(qū)間事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論對(duì)一般的冪級(jí)數(shù)也成立將級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值

11、，得到正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果，則 由比值審斂法可知：若 ，則當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散由此可見(jiàn)，只要，就存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間，在區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，在區(qū)間外冪級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散我們把叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，開(kāi)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間再分別討論時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，從而得到下述區(qū)間之一： 為冪級(jí)數(shù)的收斂域 特別地，當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)對(duì)一切都收斂，則規(guī)定；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)僅在處收斂，則規(guī)定由此，關(guān)于冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，有下面的方法：如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿(mǎn)足則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 求冪級(jí)數(shù)收斂域的步驟是：首先求出收斂半徑，而后判斷時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，最后寫(xiě)出收斂域（這里略）例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收

12、斂區(qū)間解 所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑因此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是（2，2）例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間解 所以收斂半徑，級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 解 所以收斂半徑，級(jí)數(shù)僅在處收斂 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 解 令，則所給的級(jí)數(shù)變?yōu)橐驗(yàn)?所以收斂半徑，收斂區(qū)間為，即從而原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（1，3）例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解 級(jí)數(shù)中沒(méi)有奇次冪的項(xiàng)，故不能直接應(yīng)用公式我們根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑， 當(dāng)即時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散所以收斂半徑試 一 試求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間： 123三、 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算函數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算以及微積分的運(yùn)算，相應(yīng)地冪級(jí)數(shù)在它們的收斂域內(nèi)也可以進(jìn)行一些運(yùn)算，有

13、著和多項(xiàng)式相似的性質(zhì)我們不加證明地給出冪級(jí)數(shù)的一些重要性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有（1）（2） 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上是連續(xù)的性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，且在內(nèi)有 即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與原級(jí)數(shù)的收斂半徑相同性質(zhì)4 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是可積的，且在內(nèi)有 即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分，且積分后所得的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與原級(jí)數(shù)的收斂半徑相同 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，我們可以求某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解 設(shè)則 又 所以 即 它的收斂半徑容易驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂即所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，所?說(shuō)明

14、 1冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變，但當(dāng)時(shí)斂散情況可能會(huì)有變化2利用冪級(jí)數(shù)性質(zhì)還可以求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和或做數(shù)值近似計(jì)算如在例6中，令，可得第四節(jié) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)前面我們?cè)谟懻撚煤瘮?shù)的微分近似代替函數(shù)的改變量時(shí)，曾得到 這實(shí)際上是用曲線上點(diǎn)的切線來(lái)近似表示函數(shù)，可以設(shè)想用二次、三次、次多項(xiàng)式來(lái)近似效果會(huì)更好可以證明，當(dāng)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)時(shí)，有 其中余項(xiàng) 是與之間的某個(gè)值式稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒公式特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)式為函數(shù)的階麥克勞林公式如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)冪級(jí)數(shù) 為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)現(xiàn)在的問(wèn)題是：由作出的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂是否就收斂于呢？一般說(shuō)來(lái)

15、，這兩個(gè)問(wèn)題的答案都不是肯定的那么還需滿(mǎn)足什么條件，它的泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于呢？實(shí)際上和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類(lèi)似，有：如果函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則的泰勒級(jí)數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂于的充要條件是此時(shí)有 稱(chēng)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并稱(chēng)式為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式在式中若，得 此時(shí)稱(chēng)能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并稱(chēng)式為函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式二、 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1 幾個(gè)常用的基本展開(kāi)式例1 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 因?yàn)榈母麟A導(dǎo)數(shù)均為 所以 于是有級(jí)數(shù) 它的收斂半徑可以證明于是得展開(kāi)式 例2 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 的各階導(dǎo)數(shù)為 所以 于是有級(jí)數(shù) 它的收斂半徑可以證明于是得展開(kāi)式 對(duì)上述展開(kāi)式逐項(xiàng)求導(dǎo)，得到另一基本展開(kāi)

16、式 例3 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 由等比級(jí)數(shù)斂散性的結(jié)論可知 例4 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 因?yàn)?利用例3的結(jié)論，有 將上式從0到逐項(xiàng)積分，得 上述展開(kāi)式對(duì)也成立，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂2初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)以后我們通常是利用上述的幾個(gè)基本展開(kāi)式，通過(guò)變量代換、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算以及逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分等方法，將所給的函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例5 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 因?yàn)?把換成，得 例6 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 因?yàn)?所以 例7 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)解 因?yàn)?所以 其中，因此試 一 試將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)：1 2 3 4 5 第五節(jié) 周期為的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)一、 三角級(jí)數(shù)在第二章中，我們介紹過(guò)周

17、期函數(shù)的概念，周期函數(shù)反映了客觀世界中的周期運(yùn)動(dòng)，在物理學(xué)和電子技術(shù)中大量存在對(duì)于一般的周期函數(shù)，該如何去深入研究呢？我們知道三角函數(shù)是最常見(jiàn)而簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，聯(lián)想到前面剛學(xué)習(xí)的用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式表示與討論函數(shù)，我們推想能不能用由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)來(lái)表示周期函數(shù)呢？如同冪級(jí)數(shù)可看成冪函數(shù)系的線性組合一樣，我們把由三角函數(shù)系 的線性組合構(gòu)成的級(jí)數(shù)稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)，其中都是常數(shù)特別地，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)只含正弦項(xiàng)，稱(chēng)為正弦級(jí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)只含常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)，稱(chēng)為余弦級(jí)數(shù)在研究如何把周期函數(shù)展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)前，先介紹三角函數(shù)系的正交性所謂三角函數(shù)系的正交性，是指三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分必

18、為零，即， 以上等式都可以通過(guò)計(jì)算定積分來(lái)驗(yàn)證，請(qǐng)讀者自己完成此外，還可以得到三角函數(shù)系中兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分都不為零，有 ， 這幾個(gè)等式同樣可以通過(guò)計(jì)算定積分來(lái)驗(yàn)證二、 周期為的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)，即 那么如何確定級(jí)數(shù)中的系數(shù)？為此，我們?cè)偌俣?jí)數(shù)是可以逐項(xiàng)積分的先求，對(duì)式從到逐項(xiàng)積分，得根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，上式右端除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為零于是有 所以 其次確定，在式兩邊同乘以，再?gòu)牡街痦?xiàng)積分，得 根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，上式右端除此一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為零于是有 所以 類(lèi)似地，在式兩邊同乘以，再?gòu)牡街痦?xiàng)積分，得 綜上所述，得 由公

19、式算出的系數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的傅里葉系數(shù)，由的傅里葉系數(shù)所作出的三角級(jí)數(shù) 稱(chēng)為函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)現(xiàn)在的問(wèn)題是由此作出的的傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂是否就收斂于呢？和冪級(jí)數(shù)中的情況類(lèi)似，的傅里葉級(jí)數(shù)不一定收斂即使收斂也不一定就收斂于那么一個(gè)周期函數(shù)需滿(mǎn)足什么條件，它的傅里葉級(jí)數(shù)才能收斂于呢？我們有以下關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件狄利克雷（Dirichlet）收斂定理 設(shè)是以為周期的函數(shù)，如果它滿(mǎn)足以下條件：（1） 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限多個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；（2） 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限多個(gè)極值點(diǎn)那么的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且（1） 當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于；（2） 當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)處左、右

20、極限的算術(shù)平均值 通常在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的周期函數(shù)都能滿(mǎn)足狄利克雷收斂定理的條件，因此它的傅里葉級(jí)數(shù)除的間斷點(diǎn)外，都收斂于，這時(shí)稱(chēng)的傅里葉級(jí)數(shù)為該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，也稱(chēng)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)我們看到函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的條件要低得多例1 設(shè)是周期為的函數(shù)，它在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 解 根據(jù)函數(shù)的圖形， 在處間斷，在其他點(diǎn)處連續(xù)，滿(mǎn)足收斂定理的條件因此的傅里葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處收斂于；在間斷點(diǎn)處收斂于 下面計(jì)算傅里葉系數(shù)： 于是得到的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 例2 設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為 將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 解 由函數(shù)的圖形知道， 在處間斷，在

21、其他點(diǎn)處連續(xù)，滿(mǎn)足收斂定理的條件因此的傅里葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處收斂于；在間斷點(diǎn)處收斂于 下面計(jì)算傅里葉系數(shù)：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以利用函數(shù)的奇偶性可知故的展開(kāi)式為正弦級(jí)數(shù)，只要求出即可 于是得到的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 例3 設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為 將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 解 根據(jù)函數(shù)的圖形在內(nèi)處處連續(xù)，滿(mǎn)足收斂定理的條件，它的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于下面計(jì)算傅里葉系數(shù)：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可以利用函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算，故的展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)，只要求出即可 于是得到的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 試 一 試1設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為 將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并畫(huà)出的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的圖形2設(shè)是周期為的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為 將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)本 章 小 結(jié)一、主要內(nèi)容 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散；級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件；正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法；冪級(jí)數(shù)的概念及其運(yùn)算；冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間；函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)；傅里葉級(jí)數(shù)的概念及其收斂定理；周期為的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)二、基本要求1理解無(wú)窮級(jí)數(shù)及其收斂、發(fā)散的概念，會(huì)根據(jù)定義判定一些簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的斂散性； 2了解級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判定級(jí)數(shù)發(fā)散；3掌握等比級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)的斂散性；4熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法；5掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨審斂法；6理解冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念，熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法； 7記住