導(dǎo)數(shù)與恒成立能成立問題和課后練習(xí)含答案

1、導(dǎo)數(shù)與恒成立、能成立問題專題一、基礎(chǔ)理論回顧1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M 另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若 在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值.4、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則5、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則6、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、若不等式在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；9、若不等式在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；二、經(jīng)典題型解析題型一、簡(jiǎn)單型例1、已知函數(shù)，其中， 1）對(duì)任意，都

2、有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（構(gòu)造新函數(shù)） 2）對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（轉(zhuǎn)化）簡(jiǎn)解：（1）由成立，只需滿足的最小值大于即可對(duì)求導(dǎo)，故在是增函數(shù)，所以的取值范圍是 例2、設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，都有在恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法1：化歸最值，；方法2：變量分離，或；方法3：變更主元（新函數(shù)），簡(jiǎn)解：方法1:對(duì)求導(dǎo)，（單調(diào)函數(shù)）由此可知，在上的最大值為與中的較大者，對(duì)于任意，得的取值范圍是例3、已知兩函數(shù)，對(duì)任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 答案：題型二、更換主元和換元法例1、已知函數(shù)是

3、實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，()求的值；()若上恒成立，求的取值范圍； ()分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于等于0恒成立的問題。()略解：由()知：，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，只需，（其中）恒成立，由上述結(jié)論：可令,則，而恒成立，。例2、已知二次函數(shù)對(duì)恒有，求的取值范圍。解： 對(duì)恒有即變形為 當(dāng)時(shí)對(duì)任意的都滿足只須考慮的情況 即 要滿足題意只要保證比右邊的最大值大就行?，F(xiàn)求在上的最大值。令 （） 所以又是二次函數(shù)所以且例3、對(duì)于滿足0a4的所有實(shí)數(shù)a求使不等式都成立

4、的x的取值范圍答案： 或題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則；若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則.例1、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時(shí)，由得.例2、已知函數(shù)（為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（）求的值與的范圍；（）若對(duì)（）中的任意實(shí)數(shù)都有在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（）若，試討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).解：（）、（）略（）由題意知，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).在上恒成立題型四、數(shù)形結(jié)

5、合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）例1、若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析：O對(duì),不等式恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。例2、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：畫出兩個(gè)凼數(shù)和在上的圖象如圖xy03 知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)總有所以O(shè)例4、已知函數(shù)若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)的圖象下方，因此，當(dāng)時(shí)，所以故的取值范圍是題型五、其它（最值）處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的.利用不等式性質(zhì)

6、1、存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_。解：設(shè)，由有解，又，解得。2、若關(guān)于的不等式恒成立，試求a的范圍解：由題意知只須a比的最小值相同或比其最小值小即可，得由 所以 利用分類討論1、已知函數(shù)在區(qū)間-1，2 上都不小于2，求a的值。解：由函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a所以必須考察a與-1，2的大小，顯然要進(jìn)行三種分類討論1）當(dāng)a2時(shí)f(x)在-1，2上是減函數(shù)此時(shí)= f(2)=4-4a+4即a 結(jié)合a2，所以a22）當(dāng)a 時(shí) f(x)在-1，2上是增函數(shù)，此時(shí)f(-1)=1+2a+4= f(-1)=1+2a+4結(jié)合a 即a 3）當(dāng)-1<a<2時(shí) = f(a)= 即a或a 所以綜上

7、1，2，3滿足條件的a的范圍為：a或 a利用導(dǎo)數(shù)迂回處理1、已知 若當(dāng)時(shí)在0，1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：在0，1 上恒成立，即在0，1上恒成立即在0，1上的最大值小于或等于0令所以，又所以即在0，1上單調(diào)遞減所以，即 得 2、已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍解： 因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.即能成立, 設(shè).由得, .于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是3、已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（）略（）當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立.由于，亦即，所以.令，則，由得.且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也就是函數(shù)在定義域

8、上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范圍為.注：恒成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)。小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的上界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，。 或的下界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的下界大于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，.。 或的上界大于或等于；三、恒成立、能成立問題專題練習(xí)1、已知兩函數(shù)，。（1）對(duì)任意，都有)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（4）存在，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2、設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的

9、取值集合為（ ）（A） （B） （C） （D）3、若任意滿足的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 _ . 4、不等式有解，則的取值范圍是 5、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。6、設(shè)函數(shù). （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對(duì)任意的不等式成立，求a的取值范圍。7、已知A、B、C是直線上的三點(diǎn)，向量，滿足：.（1）求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；（2）若x0，證明：f(x)；（3）若不等式時(shí)，及都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍8、設(shè)，且（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(I)求 p 與 q 的關(guān)系；(II)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p 的取值范圍；(III)設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立, 求實(shí)數(shù) p

10、的取值范圍.課后作業(yè)答案：1、解析：（1）設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，故。令，得或。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，由，得。（2）據(jù)題意：存在，使成立，即為：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它與（1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：。 ，在區(qū)間上只有一個(gè)解。，即.（4）存在，都有，等價(jià)于，由(3)得，點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。2、B。解析：由方程可得，對(duì)于任意

11、的，可得，依題意得。3、答案：。解析：由不等式可得，由線性規(guī)劃可得。4、解：原不等式有解有解，而，所以。5、解：畫出兩個(gè)凼數(shù)和在xy03上的圖象如圖知當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)總有所以6、解：（）（1分）令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）（4分）當(dāng)x=a時(shí)，極小值=當(dāng)x=3a時(shí)，極小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0<a<1，a+1>2a.上是減函數(shù). （9分）于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于又7、解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三點(diǎn)共線即y2f /(1)ln(x

12、1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函數(shù)6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等價(jià)于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 當(dāng)x1，1時(shí)，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，則 得m3或m312分8、解：(I) 而，所以(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足

13、：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 當(dāng)時(shí)，所以在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故； 當(dāng)時(shí)，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，只需，即p1時(shí)， h(x)0，f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故 p1適合題意. 綜上可得，p1或 p0 9分 (III)g(x) = 在 1,e 上是減函數(shù)x = e 時(shí)，g(x)min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)max = 2e 即g(x) Î 2,2e 10分 p0 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 遞減 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合題意。 0 < p < 1 時(shí)，由x Î 1,e Þ x0f(x)=p (x)2lnxx2lnx 右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式，故在 1,e 遞增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 < 2，不