導(dǎo)數(shù)輪復(fù)習(xí)義

1、導(dǎo)數(shù)一要點(diǎn)精講1 .導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)，如果自變量x在xo處有增量Ax,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y =f(xo+Ax)- f(xo),比值丄叫做函數(shù)y=f(x)在xo到x°+ Ax之間的平均變化率，即 y = f (xo +Ax) -f (Xo)。xx如果當(dāng)Ax0時(shí)，有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f (xo)或y'x=x°。即f(x)= l.im。_y = lim f(xo *x)-f(xo)。.xx說(shuō)明：(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，是指 Axf o時(shí)，一有極限。如果 不存在極限，LxLx

2、就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。Ax是自變量x在xo處的改變量，Ax老時(shí)，而Ay是函數(shù)值的改變量，可以 是零。2 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f(x)在點(diǎn)p(xo,f(xo)處的切 線的斜率。也就是說(shuō)，曲線 y=f(x)在點(diǎn)p(xo,f(xo)處的切線的斜率是 f'(xo)。相 應(yīng)地，切線方程為 y yo= f (xo)(x- xo)。3 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)出公式.法則1:兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(u±v) '=u( ±/'。法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)

3、的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(u?/) '=?/+ UV'。若C為常數(shù)，則(Cu) 'C 'u+Cu'=Cu '即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于 常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Cu)' =Cu '法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方： -'=二叫廠°)。lv丿v形如y=f «x)的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一一求導(dǎo)回代。法則：y'|x=5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1) 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果

4、f '(x)>o,則f(x)為增函數(shù)；如果f'(x)<0,則f(x)為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)為常數(shù)；(2) 曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0;曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；一般地，在區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值。求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值？(a)、?(b)；將函數(shù)f(x)的各極值與？(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是 最小值。二.典例解析題型1：導(dǎo)數(shù)的概念1例1.已知

5、s= gt2, (1)計(jì)算t從3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒.2各段內(nèi)平均速度；(2)求t=3秒是瞬時(shí)速度。(1)(C)(0 (C 為常數(shù))nn-1(2) (x ) =n?xx(3)(e)'=e(4)(sinx) '=cosx(5)(cosx)sinx,1(6)(1 n x)'=x4 .兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則例2.求函數(shù)y=42的導(dǎo)數(shù)。x題型2 :導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算2 1 1例3. (1)求y =x(x23)的導(dǎo)數(shù);x x 1求y二C、x 1)(1)的導(dǎo)數(shù);v xXXX2、，求y = x - sin cos 的導(dǎo)數(shù)；求y=的導(dǎo)數(shù);22sin x(5)求

6、 y =3x2 -x、x 5 x9的導(dǎo)數(shù)。例4.寫(xiě)出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：2(1)y=cosu， u=1 + x(2)y=lnu，u=lnx2xy=eu2 y=e，u=x題型3:導(dǎo)數(shù)的幾何意義例5. (1)若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則I的方程為A. 4x-y-3=0 B . x+4y- 5=0 C. 4x- y+3=0 D. x+4y+3=02過(guò)點(diǎn)(1,0)作拋物線y=x +x+1的切線，則其中一條切線為()(A)2x+y+2=0 (B)3x-y+3=0(C) x+y+ 仁0(D) x-y+ 仁0例6. (1)半徑為r的圓的面積S(r)= n2周長(zhǎng)C(r)=2

7、n r若將r看作(0, + 上的 變量，則(%V = 2nr，式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0, + 上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于的式子： ；式可以用語(yǔ)言敘述為：。1 2(2)曲線y 和y = x在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形x面積是。題型4:借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值例7. (1)對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x 1) f '(x)_0，則必有()A. f(0) + f(2) ：2f(1) B. f(0) + f(2)乞2f(1) C. f(0) + f(2) _2f(1) D. f(0) + f(2) 2

8、f(1)(II)討論f(x)的極函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f '(x) 在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A . 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D.4個(gè)已知函數(shù)f xxex。 (I)設(shè)a V,討論“ 1 x設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)/+1,其中a羽。(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; 值。y=f(x)的單調(diào)性；(II)若對(duì)任意x (0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍。例8. (1) f (x) =x3 -3x2 2在區(qū)間1-1,1 1上的最大值是()(A) - 2(B)0(C)2(D)4題型5 :導(dǎo)數(shù)綜合題例

9、9.設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+3x+2分別在xi、X2處取得極小值、極大值。xoy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(Xi,f(x”)、(x2,f(X2)，該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?PB=4,例 10.設(shè)函數(shù) f(x)= -a x2V x a , x (0,1, a R+。(1)若f(x)在(0,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)求f(x)在(0,1上的最大值。點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=2(x-4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).求(I) 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(II) 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程作業(yè)一、選擇題1函數(shù)f(x) =X3 -3x2 1是減函數(shù)的區(qū)間為()(A )(2,：)( B )(：,2)( C )(：,0)(D )(0,2)

10、3一2.在函數(shù)y=x -8x的圖象上，其切線的傾斜角小于一的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整4數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)()A. 3 B. 2 C. 1 D. 03.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x 1)f (X) 0,則必有()A.f(0) + f(2) ：:2f(1)B. f(0) + f(2) _2f(1)C.f(0) + f(2) _2f(1) D. f(0) + f(2) 2f(1)4設(shè)a >0, f (x) =ax2+bx+c,曲線y= f (x)在點(diǎn)卩(花汀()處切處的傾斜角的取值 范圍為°，4，則P到曲線y = f (x)對(duì)稱(chēng)軸距離的取值范圍()A1 B1Cb.0, a B. P 訂

11、 C .以 2a |0,|b 12a|5.與直線2x -y= 0的平行的拋物線 y = x2的切線方程是()A.-B.?4、填空題C.D.321、曲線f (x) = X-2X-4X 2在點(diǎn)(1-， 處的切線方程是322、函數(shù)f(x)=x ax ，3x-9，已知f (x)在x=-3時(shí)取得極值，則3、設(shè)曲線y二ax2在點(diǎn)(1, a )處的切線與直線2x - y - 6 = 0平行,則2X4、已知曲線 y3 In X的一條切線的斜率為4，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A . 2x-y 3=0B . 2x-y-3=0C . 2x-y1=0D . 2x-y-1=035、曲線y=x在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸、直線x

12、= 2所圍成的三角形的面積6.設(shè)f (x), g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，g(x) =0,，當(dāng)x ： 0時(shí)，f (x)g(xf (x)g (x) 0,且 f(-3)0,則不等式 f (x) / g(x) ： 0 的解集是 ()A. (-3,0) _ (3, ：)B. (-3,0) _ (0,3)C.(：，3) _ (3, ：) D.(-二，一3) _ (0,3)7.函數(shù)f(x)=x(x 1)(x 2) 一優(yōu)00)在X=0處的導(dǎo)數(shù)值為()2A.0 B.100C.200D.100!2&過(guò)點(diǎn)(一1, 0)作拋物線y =x x 1的切線，則其中一條切線為()(A) 2x y 2

13、 =0 (B) 3x - y 3 =0(C) x y 1 =0(D) x - y 1 =09.設(shè)函數(shù)f (x) = (x - a)( x - b)( x c) ( a、b、c是兩兩不等的常數(shù))，則a b j =f (a)f (b)f (c)A.0B.-1C.2D.-2、 1 2、 、一、 、一10.過(guò)曲線y 和y = x交點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸圍成的在它們的三角形的面積x是()三、解答題1已知拋物線 Ci：y=x2+2x和C: y= x2+a,如果直線I同時(shí)是Ci和C?的切線, 稱(chēng)I是Ci和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱(chēng)為公切線段(I )a取什么值時(shí)，Ci和C2有且僅有一條公切線？寫(xiě)出

14、此公切線的方程；(n)若Ci和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分2 22.已知 f(x)=x +ax+b, g(x)=x +cx+d,又 f(2x+1)=4g(x),且 f x =g x , f(5)=30,則求 g。4設(shè)a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f (x)二x - x? - x a. (I )求f (x)的極值. (n )當(dāng) a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y = f (x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)3o3 .已知向量 i =(1, 0), j =(0, 1)，函數(shù) f (x) = ax bx c(a = 0)的圖象 在y軸上的截距為1，在x=2處切線的方向向量為(a -c)i -12bj，并且函數(shù) 當(dāng)x =1時(shí)取得極值。(1)求f(x)的解析式；求f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求f (x)的極值。5.設(shè) t = 0，點(diǎn) P(t, 0)是函數(shù) f (x)二 x3 ax與g(x)二 bx2 c 的