差分法在數(shù)列中的應(yīng)用

1、差分法在數(shù)列中的應(yīng)用自變量取值為正整數(shù)的函數(shù)f(n)稱為離散函數(shù)，稱函數(shù) h(n)= f(n1)_ f(n)為函數(shù)f(n)的一階差分，r(n) = h(n1)-h(n)為函數(shù)f(n)的二階差分例如，等差數(shù)列的通項(xiàng)an是前n項(xiàng)和Sn的一階差分，公差 d是前n項(xiàng)和§的二階差分本文舉例說明差分法 在解決與前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的數(shù)學(xué)證明、求數(shù)列通項(xiàng)和最值項(xiàng)等問題1. 用差分法證明有關(guān)數(shù)列問題例1我們知道：若數(shù)列an?是等差數(shù)列，貝淇前n項(xiàng)和&二"a； 和;反之，若數(shù)列aj的前n項(xiàng)和&ai an)，判斷數(shù)列 GJ是否為等差數(shù)列？若是，請證明；若不是，說2明理由2. 用差分

2、法求通項(xiàng)公式例2數(shù)列玄的前n項(xiàng)和為Sn，且耳胡耳i =2Sn，求例 3數(shù)列：an滿足：nai (n - 1)a22anJ-an= V 2222n J例4各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列:a/f的前n項(xiàng)和為Sn，且2aa1 a3，數(shù)列盡是公差為d 的等差數(shù)列，求數(shù)列 唁,的通項(xiàng)公式(用n,d表示)3. 用差分求數(shù)列的最值例5設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,若對于任意n N ”，an 0 ,且5a1 a2 . an成立（1 ）求a1,a2的值；（2）求證：數(shù)列 n /是等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；”Sn（3） 令Tnn ,若對一切整數(shù)n ,總有Tn < m，求m的取值范圍2例 6已知數(shù)列:an /滿足：6

3、=4,an 1 =3an 2n-4n （1） 李四同學(xué)欲求 訂鳥的通項(xiàng)公式，他想：如能找到一個(gè)函數(shù)f（n） - A 2nJ Bn C （A, B,C為常數(shù)），把遞推關(guān)系變成an彳- f （n 1 3an - f （n）后，就容易求出7an ?的通項(xiàng)公式請問：他設(shè)想的f（n）存在嗎？ fan?的通項(xiàng)公式是什么？（2）記Sn二qa2 -an，若不等式Sn- n2p3n對任意的n N"都成立，求實(shí)數(shù)p 的取值范圍答案與解析:例1.解：由Sn -2得：2S =門佝an)，由得：2£二 n -1 a. J， n 一 2 -得：(n-2囘=(n-1)an-a1， n_2 【一階差分】由

4、得：(n - 3)an j - (n- 2) an _2 - a1 ， n3 -得：2an二an ant，n3【二階差分】數(shù)列an?為等差數(shù)列例2解：由an2Sn得：an =2Sn,n_2-得：an勺=3an , n亠2由 a =1 得：a2 =2，則 a2 =3a1,n =1n 一 2 3n 上 n _ 22n 1例 3解：由 (n -1)a2 . 2anJ an =1 2 2. 2得：n -1 a(n -2)a2 . - 2an an=1 2 22 . 2n° -得：a1 a2 .anan 二 2n J, n _ 2檢驗(yàn)：n=1，適合上式，即a1a2. - anJ - a 2n4

5、, n 1 由得：aa2 . an4=2nQ,n _2-得：n -2a* =2, n 一21, n =1檢驗(yàn)，n=1，不適合上式，所以annQn、2, n2例 4.解：由題意：JST=ja? + ( n_1)d,平方得：Sn=a1+ (n_ 1)2d2+2 (n_ 1 )d JO?由得：Sn=a1n -2 2d22 n-2da1 , n2 -得：an = 2n-3 d2 2d 亍,n 一2t 2a2 =印 a3，貝U a1 = 2a2 -a3 = 2 d2 2d. a1 y 3d2 2d a1 化簡得：a -2d a1 d0，即 ad二 an h2n 3 d2 2d2 =2n 一1 d2例 5

6、. (1) a1 =1,a2 =2 (略解)(2)由 Sn二a；a23. -an3得 Sna13- a23- . - an3 由得：2333Snj= a a2 - . - anj , n 一 2 2233-得Sn-Snj 二an，即Sn-SnSn-Sn 二an, n 22即 anSnSn=an,an= 0，則Sn'Sn =an, n 2 由得：2Sn* & _2 = an 二,n 亠3 2 2-得 an an= an -anj , n 3,即 a. -a.=1 , n 3成立./ a2=1 適合上式， an-and=1, n_2數(shù)列fan 是以1為公差的等差數(shù)列，即an二n(3)由(：2)得Sn； "，害