常用地一些矢量運算公式

1、1.三重標量積常用的一些矢量運算公式如a , b和c是三個矢量，組合 ab ?c 叫做他們的三重標量積。三重標量積等于這三個矢量為棱邊所作的平行六面體體積。在直角坐標系中，設坐標軸向的二個單位矢量標記為i, j,ka，令三個矢量的分量記為 rr r ijk知吐怎，bbl,b2,b3 及 cci,c2,c3 貝賄a b ?cr? Gi c2 jC1C2C3Caka b ?c因此，三重標量積必有如下關系式：b c ?a c a ?b即有循環(huán)法則成立,這就是說不改變三重標量積中三個矢量順序的組合,其結果相等。2.三重矢量積如a , b和c是三個矢量，組合ac叫做他們的三重標量積，因有a (b c)

2、a(cb) (c b) a故有中心法則成立， 這就是說只有改變中間矢量時,三重標量積符號才改變。二重標量積有一個重要的性質(證略)a (b c)(a?b)c a?c b(1-209 )將矢量作重新排列又有:a b?ca c b?a c(1-210 )a3.算子()是哈密頓算子，它是一個矢量算子。a()則是一個標量算子，將它作用于標量，即(a )aa是在方向的變化速率的倍。r(dr )、是在位移方向如以無窮小的位置矢量 dr代替以上矢量a，則d rd rd的變化率的 倍，即 。(dr ) dr若將(dr )作用于矢量V則(dr )V就是V再位移方向dr變化率的dr倍，既為速度矢量dv的全微分dv

3、應用二重矢量積公式（1-209)Ua baboaob(b)a(a)b b( ?a)a( ?b)應用二重矢量積公式（1-210 )又有UUa?bao ?ba?boa (b) (a)bb ( a)(?b)ar a9.ra)r)vr wr b r br a r b?r a1 - 2 r山r aabv一個重要的特例，令，因將以上兩式結合（相減）后可得為并矢量，則有a)9. r aa)r a9.rb)a?)wbo/krb)在直角坐標中，令a iaxjay kazrrjk x y zaxayazxyzaijkxy zaxayaz222?()22xya axaz-2 z對一組正交曲線坐標系(urR gd &

4、amp;h2d2e21,2,3)(ei, e2, e3)其單位矢量，將任意位置矢量uR變分寫為!%d 3$h|, h2, h3其中為尺度因子(拉美系數(shù))hih2h31 一。在柱坐標(r,h1h31,h2 rR dxidx j dxk。因在直角坐標中,所以uuuir,z)R drerrde dzez所以中，因ururuu) R中，因drerrd er sin e所以hi 1,h2r,h3r sin在任意正交曲線坐標系中,令是標量,矢量ITa1e1uu a2e2ITa3e3，則有hi1e2_h223h3(h3hia2)hMeAeh1h2h3123h2h31單位矢量的旋度和散度為ue2hie3hih

5、ih33hih2lti(1,2,3輪換)2(1,2,3輪換)hih2h312hih2h3-)1(hahi2h2羋)h33n方向梯度作用于矢量a2a1(mhh2h1n2理)1a3h3hi(mh1n3理)1a2a (nh2h3 2h2n3皿)2ah30(n2h2n1e3 na3h3n1a2hh3(n3hsn2)3笛卡爾張量1求和約定克羅尼克爾符號輪轉符號xi(i1,2,3) 一一 一 ii(i 1,2,3) 一一 一 、以表示笛卡爾直角坐標系的坐標，表示二個坐標軸方向單位矢量。(xi ,X2, X3)d dxi dx2 dx3 dxi令，定義求和約定的寫法為xiX2X3Xi式中重復dXi dx下標

6、稱為啞指標，表示求和約定。啞指標字母可以任意更換，xj j和xi具有相同的效果。使用求和約定時規(guī)定在每一單項中同一指標使用不能超過兩次?？肆_克尼爾(Kroneker )符號定義為ij0,i1,ir u在笛卡爾直角坐標系中，有i1?i2Xij ,Xjij ' ij3, ij x xj單位矩陣也可以表示為輪轉符號定義為ijk例如123231312i1i2i3a1a2a3匕廖310001000121311213223223( ij )330,當i, j,k中有兩個相同時1,當i, j,k為1,2,3順序輪轉排列時-1,當i, j,k為非1,2,3輪轉順序排列時1,1323212131。采用輪

7、轉符號jk可使運算的書寫簡化,ijk aj bkii(ab)iijk ajbkii1i2i3ijkVL)iiXjWV2V3(v)i2笛卡爾張量定義在直角坐標系中張量稱為笛卡爾張量，而張量本身與所取的坐標無關。如一個標量在任何坐標系中都為同一個量，標量亦稱為零階張量。如一個適量在任何坐標系中以為同一個量。但他在三維空間中由三個分量組成，在不同的坐標系中這三個分量則不同，但他們都有一定的變換關系，矢量亦稱為一階張量。若有一個量（如應力）在任一點處有三個矢量分量un uu urPi, p2, p3一即這個量具有九個分量。這個量在任何坐標系中都為一個量，而它們的9個分量在不同的坐標系中有不同的分量，但

8、它們存在一定的變換關系，則 這個量稱為二階張量，常簡稱為張量。在三維空間中被稱為零階張量，一階張量，二階張量等等，是因為它們分別有0 1 230,31,3 2個分量，而稱之為零階，一階，二階張量，并可由此類推到n 階張量。笛卡爾二階張量 所確定的三個矢量的分解式為uurp1ruup2uurpp11 p12 p13 p21p22 p23 p31 p32 p33或寫成張量的九項式：iiijpij,i, j 1,2,3p11 如p12 p13 1, pij 0(i ，則為單位張量如果張兩分兩滿足條件pij p ji ，則這個張量叫對稱張量。如果張兩分兩滿足條件pijp ji ，則這個張量叫反對稱張量

9、。若將張量 的分量 pij 與 p ji 互易位置后的張量， 則稱該張量的共軛張量，并以表示：p11 p21 p31 p12 p22 p32 p13 p23 p333.并失為 區(qū) 別 兩 個 矢 量的 點 乘 ， 可 將 兩 個 矢 量的并失成寫 rb raoa i 1a1ur ur r r i2a2 i3a3, b i1b1則并失亦有9 個分量 ，寫 成矩陣 形式 為r r r r ab a; ba1b1a1b2 a1b3a2b1a2b2 a2b3a3b1a3b2a3b3，并失為二階張量。必須注意，并失ra rb; rb ra是不同的r uur uruur ur uur i1p1 i2p2

10、i3 p3則張量 可用 9 個張量元素來定義，可寫成如下的矩陣形式b1a1b1a2b1a3;ab2a1b2a2b2ab3a1b3a2b3a3b;a a; b，由此可見 是并失 的共軛張量。aia?a3x1x1x1矢量的梯度梯度為一并失，故是一個二階張量:grad a ; aaia?a3X2X2X2aia? a3考慮矢量a(r)a（xi,x2,x3）12 的無窮小增量，因daida2ai . dxi& x dx?X2ai .dx3X3a?.-dx1a?. dx?a?. dx3X3X3X3X3*上dx?X2上dx3x3da3aia?a3XrXiXir r da / drdaaia?a3故為

11、具有九個分量的二階張量d rx?X?X?aia?a3X3X3X3rrrrdada /drdr因可將表示為張量與矢量r d a尊？d r d r ? grad ar d r(r；a)d rrrrrrrrdadr?(；a) (dr )；a(dr )a應用并失運算法則又有的點乘（r）d dr? grad dr?對標量函數(shù)類似的有并失運算服從如下四個運算法則（1）結合律法則a;b;c （a;b）;ca;（b;c）連續(xù)的并失積可以任何方式加上括號而不改變結果。（2 ）標量率法則a；b（ a）；b （a；b）標量在并失運算中可以提到任何一個位置。（3）縮并率法則兩個矢量點乘為一個標量，一個并失（張量）與一

12、個矢量點乘則為一個矢量，表示通過點乘將并矢量積的階降低了兩階，這個過程叫做縮并。如利用結合率和標量律后，可知并失與矢量的點乘后為一矢量：（a；b）?C a；（b?C）（b?C）a如利用標量律后， 可知兩個并失點乘后仍未(a;b)?(c;d)a;(b?c);d(b?c)(a;d)（4）分配律法則a（b c）a;b a;c4張量的梯度，散度和格林定理零階張量（標量）的梯度是矢量，一階張量（矢量）的梯度是二階張量，一次類推，二階張量的梯度必為三階張量。Aj設A是二階張量，其分量AjAji(X1,X2,X3)，定義 XkAj,k 一表示Aj對Xk求偏導數(shù)。梯度符號是一矢量算子,ur grad AXX2

13、X31,2,3故張量A的梯gradA A度可寫為i, j 1,2,3, kAijAj,k張量A的梯度具有屬于三階張量。一階張量（矢量）divA ?A在正交坐標系（divA ?A1,2,3的散度是一個標量,Aj1 ,2,3 )Aj27個分量的量，即33個分量,二階張量的散度將是一個矢量。散度的定義為12Xx2中，拉美系數(shù)為A31A12A22A32 AA23x3為 x2x3' xx2AB3X3hi2,館、時，二階張量的散度和變形率張量分量1k 1 hhAk23h hzhh A A In hk ?.Al kAkk?hk1k 1h1h2h3kDijD12h2 h（；）1 dh! h22WD12h3