常用空間曲面

1、第六節(jié)常用空間曲面一、曲面方程的概念在第四節(jié)中，我們已經(jīng)知道了，在空間中一個(gè)平面可以用一個(gè)三元一次方程來(lái)表示;反過(guò)來(lái)，一個(gè)三元一次方程的圖形是一個(gè)平面。在一般情況下，如果曲面S與三元方程F（x,y,z）=O有下述關(guān)系：那么方程曲面S就 象在 作動(dòng)點(diǎn)軌 我們常把（1）曲面S上任一點(diǎn) 的坐標(biāo)都滿足方 程（1）；（2）不在曲面S上的 點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿 足方程（1）（1）就叫做曲面S的方程，而 叫做方程（1）的圖形（圖6-21 ）。 平面解析幾何中把平面曲線當(dāng) 跡一樣，在空間解析幾何中， 曲面看作一個(gè)動(dòng)點(diǎn)按照某個(gè)規(guī)律運(yùn)動(dòng)而成的軌跡。運(yùn)用這個(gè)觀點(diǎn)，我們來(lái)建立球面方程。例1若球心在點(diǎn)Mo（xo,yo,Zo）

2、，半徑為R，求該球面方程。解：設(shè)M（x,y,z）是球面上任一點(diǎn)，那么M oM = RMoM =J(xXo)2+(yy°)2+(z Zo)22 2 2 2故（x-x。） （y-y°） （z-zo） =R這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程,方程就是以Mo（xo,yo,zo）為球心，R為半徑的球面方程。（2） 所以該如果球心在原點(diǎn)，那么 x y zo = 0，從而球面方程為2 . 2,2 o2x y z R將（2 ）式展開得x2 +y2 +z2 _2xox_2yoy_2zoz + xf + yf +z? _R=0所以，球面方程具有下列兩個(gè)特點(diǎn)

3、：（1） 它是x，y,z之間的二次方程，且方程中缺xy,yz,zx項(xiàng);2 2 2（2）x ,y ,z的系數(shù)相同且不為零?，F(xiàn)在我們要問(wèn)，滿足上述兩個(gè)特點(diǎn)的方程，它的圖形是否為球面呢?例2方程X2 y2 z2 -4x y = 0表示怎樣的曲面?解：配方，得174所以所給方程為球面，球心為（2, -丄,0）2，半徑為2 2 2例3方程x y z -2x 2y - z 3二0是否表示球面?解：配方，得221 23（x-1） （y1） （z ）24顯然沒(méi)有這樣的實(shí)數(shù) x，y，z能使上式成立，因而原方程不代表任何圖形。以上表明作為點(diǎn)的幾何軌跡的曲面可以用它的點(diǎn)的坐標(biāo)間的方程來(lái)表示，反之，變量x，y，z間的

4、方程通常表示一個(gè)曲面。因此在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下面兩個(gè)基本問(wèn)題。（1）已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)，建立曲面方程。（2）已知坐標(biāo)x,y, z間的一個(gè)方程時(shí)，研究這方程所表示的曲面形狀。例1是從已知點(diǎn)的軌跡建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知x,y, z間方程研究它所表示的曲面的形狀的例子。下面，作為基本問(wèn)題（1）的例子，我們討論旋轉(zhuǎn)曲面；作為基本問(wèn)題（2）的例子，我們討論柱面和二次曲面。二、旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線繞該平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。旋轉(zhuǎn)曲線 和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一條已知曲線C，它的方程為f （y，z） = 0，

5、曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn) 一周，得到一個(gè)以 z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面（圖 6-22）設(shè)M1（0，y1,乙）為曲線C上一點(diǎn)，則有f （心）=0（3）當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M1隨C繞到另一 點(diǎn)M （x, y, z），這時(shí)，z二z1且點(diǎn)M到z軸 的距離為dx? / = %將z1 =z，y1二-./代入（3）式，便得到f（_ . x2 y2,z） =0（4這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。由此可知，在曲線C的方程f （y，z） =0中將y改成/便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn) 所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為f （y, 一 . x2 z2） =0（5）例1 求 yOz坐標(biāo)面上的拋物線 y =2pz

6、（p 0）繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲 面的方程。解：繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫旋轉(zhuǎn)拋物面（圖 6-23），它的方程為x2 + y2 = 2 pz例5將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線2 22 一 2a c分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：繞z軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，它的方程為2 2 2x y z 12 2 1a c繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，它的方程為2 2 2鼻 y za c例6直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周， 所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面。兩直線的310 < 兩直線的夾角（2 ）叫做圓錐面的半頂角。試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)0 ,旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角

7、為的圓錐面的方程（圖 6-24 ）。解：在y°z坐標(biāo)面上直線L的方程為zycot，因交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn),或 其中為旋轉(zhuǎn)軸為z軸，所以只要將方程中的 y改成-1x y ， 便得到這圓錐面的方程z 二-x2 y2 cot:2 2 2 2z -k （x y ）k = cot：。三、柱面設(shè)直線L平行于某定直線并沿定曲線 C移動(dòng)，則直線L形成的軌跡叫做柱面。定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，直線L圖 6-25叫做柱面的母線。 我們只討論準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上， 而母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面。 這種柱面方 程有什么特點(diǎn)呢？下面舉例說(shuō)明。2.2_ 口2問(wèn)方程X y R表示什么曲面？在xOy坐標(biāo)面上，方程 x y2

8、= r2表示圓心在原點(diǎn)，半徑為 R的圓。在空間直角坐標(biāo)系中，方程缺z，這意味著不論空間中的點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣，凡是橫坐標(biāo) x和縱坐標(biāo)y滿足這方程的點(diǎn)都在方程所表示的曲面S上；反之，凡是點(diǎn)的橫坐標(biāo) x和縱坐標(biāo)y不滿足這個(gè)方程的，不論豎坐標(biāo)z怎樣，這些點(diǎn)都不在曲面S上，即點(diǎn)P(x, y,z)在曲面S上的充分2 2 2必要條件是點(diǎn)P (x, y,0)在圓X y = R上。而P(x, y, z)是在過(guò)點(diǎn)P (x, y,0)且平行于z軸的直線上，這就是說(shuō)方程 x y =R表示：由通過(guò)xOy坐標(biāo)面上的圓x y = R上 的每一點(diǎn)且平行于 z軸(即垂直于xOy坐標(biāo)面)的直線所組成，即方程 X2 y2 =R2表

9、示 柱面，該柱面稱為圓柱面(圖 6-25)。一般地，如果方程中缺z，即f Xy) 0 ，類似于上面的討論，可知它表示準(zhǔn)線在xOy 坐標(biāo)面上，母線平行于z軸的柱面。而方程g(y,z) =0, h(x, z) =0分別表示母線平行于 x軸 和y軸的柱面方程。2例如方程y = x，方程中缺z，所以它表示母線平行于 z軸的柱面，它的準(zhǔn)線是xOy面2上的拋物線y=X，該柱面叫做拋物柱面(圖 6-26)。又例如，方程 X - z = 0表示母線平行于 y軸的柱 面，其準(zhǔn)線是xOz面上的直線x-z=0，所以它是過(guò)y 軸的平面(圖6-27 )。四、二次曲面F(x,y,z) =0所表示的曲面稱為 空間直角坐標(biāo)系

10、，可得它們的標(biāo)準(zhǔn) 的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)討論二次曲面的形(1)橢圓錐面2 2£ I- =z2a2 b2以垂直于z軸的平面z=t截二次曲面。選取適當(dāng)?shù)?方程，下面就二次曲面 狀。點(diǎn)(0,0,0)；當(dāng)t = 0時(shí)，得平面(at)2(bt)2-1此曲面，當(dāng)t=0時(shí)得 z =t上的橢圓最簡(jiǎn)單的曲面是平面，它可以用一個(gè)三元一次方程 來(lái)表示，所以平面也叫做一次曲面。與平面解析幾何中 規(guī)定的二次曲線類似，我們把三元二次方程圖 6-28比例不變的橢圓，當(dāng)t到小并縮為一點(diǎn)。綜合當(dāng)t變化時(shí)，上式表示一族長(zhǎng)短軸 從大到小變?yōu)?時(shí)，這族曲線從大 上述討論，可得橢圓錐面(1)的形狀(如圖6-28)平面z珂與曲面F(x,

11、 y,z) =0的交線成為截痕。通過(guò)綜合截痕的變化來(lái)了解曲面形狀 的方法稱為截痕法。本節(jié)前面討論過(guò)旋轉(zhuǎn)曲面，我們還可以利用伸縮變形的方法，由已知的旋轉(zhuǎn)曲面來(lái)得 出二次曲面的大致形狀。先介紹伸縮變形法。曲面F(x, y,z)=0沿y軸方向伸縮，倍，曲面F(x, y,z)=0的點(diǎn)= =丄 =M在曲面M(x1,y1,z1)變?yōu)辄c(diǎn)皿化必必)，其中X1 =X2,y1二一y2Z訐Z 2,因?yàn)辄c(diǎn)丄 _F(x,y,z)=0 上，所以有卩(“厶)=0，故F (X2 _y2,z202 2x y例如將圓錐面a222x y222 = Z橢圓錐面a b 。（2）橢球面2 22bx y=z2的圖形沿y軸方向伸縮a倍，則圓

12、錐面 a22二 z即變成伸縮2 2x y+ +2 2a b2c2 2把xOz面上的雙曲線a2 x2把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮圖 6-32把xOy面上的橢圓冬丄a2b2x2 z22a轉(zhuǎn)，所得的曲面方程為面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面。 再把旋轉(zhuǎn)橢球面沿(3)=1繞y軸旋2=1，該曲z軸方向a便得橢球面（2）（圖6-29）。雙曲面2 z 于1 c單葉雙曲面繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面2 z2 2 2cba倍,曲面即得單葉雙曲面（如圖6-31）4）拋物面橢圓拋物面（如圖 6-30）。類似的方法可得雙葉雙雙曲拋物面（馬鞍面）2 20 . y_ a2 b222x y廠za b2 2 2xx y2 = Z2 Z把xOz

13、面上的的拋物線 a2繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)拋物面a2，把此旋轉(zhuǎn)曲面b6-32）。沿y軸方向伸縮a，即得橢圓拋物面（如圖我們用截痕法來(lái)討論雙曲拋物面的形狀（如圖6-33）。用平面x=t截此曲面，得截痕I為平面x=t上的拋物線此拋物線開口向下，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為2 .2y z t2 二 Z 2b at2X=t,y=°,z2a置平移，而I的頂點(diǎn)的軌跡L為平面y=°上的拋物線當(dāng)t變化時(shí)，I的形狀不變，只是位2xZ 2a 。還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準(zhǔn)線的柱面2 2 2 2x y “ x y “2+= 1 =1 y = axa b a b依次為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面。柱面的形狀在

14、前面已經(jīng)討論過(guò)，這里不再習(xí)題6-6冗述。1.建立以點(diǎn)M（1，-3,-2）為球心，且過(guò)原 點(diǎn)的球面方程。2 .將xOy面上的拋物線 y2二4x分別繞 x軸，y軸旋轉(zhuǎn)，分別求出旋轉(zhuǎn)后所得的 曲面方程。3一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)MU,0,。）的距離為與平面 x=4的距離的一半，試求其所生成的軌跡，并確定它為何種二次曲面。4說(shuō)明下列二次曲面的名稱，若它們是旋轉(zhuǎn)曲面，那么，是怎樣生成的？2 2 2 2x y z2 y 2.1xz 1222.（1）499； （2）4； （3） x-y-z=122 丄 22 丄 2o22（4）z -x y ；（5） z=x y ；（6） z=6_x -y。5 .指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中所表示的不同意義：2 丄 2c22d（1）