三點(diǎn)共線向量表示及其性質(zhì)應(yīng)用

1、平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量表示及其性質(zhì)應(yīng)用本文給出了三點(diǎn)共線向量表示的證法探究，以啟迪思維和拓展思路之目的，另外又給出了三點(diǎn)共線向量表示在解題中的應(yīng)用。例題：如圖，是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則存在實(shí)數(shù)，使得=+（1-）證法探究：分析： 初看欲證目標(biāo)，始感實(shí)難下手。我們不妨從結(jié)論出發(fā)探尋線路，欲證=+（1-），只需證=+-=（-）=這樣證明思路有了。證法：向量與向量共線，=，即-=（-），=+-，=+（1-）證畢，再思考一下實(shí)數(shù)的幾何意義究竟如何?？疾煜蛄康仁?，結(jié)合圖形，易知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，則與同向，有01；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，則與反向，有<0；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，

2、則與同向，有1此例題逆命題亦成立，即已知，是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，有=+，且+=1，則，三點(diǎn)共線故此逆命題可作三點(diǎn)共線判定方法。為方便起見(jiàn)，我們將兩命題作為性質(zhì)敘述如下：性質(zhì)1：已知，是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)， 是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得=+（1-）或敘述為：已知，是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)， 是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得=+，則有+=1性質(zhì)2：已知，是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，有=+，且+=1，則，三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線性質(zhì)在解題中的應(yīng)用：例1如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于不同的兩點(diǎn)、，若=，=，則的值為 解析：連結(jié)，因

3、為點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以有=，又因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以，故點(diǎn)評(píng)：因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以=，由性質(zhì)1，=1-=，簡(jiǎn)便求出的值例2（湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考）如圖2，在ABC中，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）AB. C. D. 解：三點(diǎn)共線，又 ，故選C例3（廣東省2015屆高三六校聯(lián)考）所示：點(diǎn)是的重心，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且、三點(diǎn)共線設(shè)，證明：是定值；證明：因?yàn)镚是的重心， 又三點(diǎn)共線， 為定值3例4如圖，在中，與交于點(diǎn)，設(shè)（）用，表示；（）在已知線段上取一點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)設(shè)，求證：解析：()因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得=；又因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得=由于

4、，不共線，所以有解得，故=（）因?yàn)椤⑷c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得=結(jié)合（），易得出消去得，點(diǎn)評(píng)：本題是以，作為一組基底，其他向量都由它們線性表示解（）中的實(shí)數(shù)，的幾何意義為：=，=， ，（0，1）；解（）中的實(shí)數(shù)=例5如圖，平行四邊形中，點(diǎn)在線段上，且，在線段上，且，與相交于點(diǎn)，求的值解析：設(shè)=，則=，=+（1-）因?yàn)?，所以，?+·又，=，即又與共線，-=0，解得=點(diǎn)評(píng)：我們先要確定好一組基底，看準(zhǔn),如何由它們線性表示；而欲求目標(biāo)數(shù)值，因三點(diǎn)共線，中途要以作基底，由它們線性表出時(shí)，分析清楚該兩基底系數(shù)所表示的幾何意義，由性質(zhì)1，得=+（1-）；最終與都得轉(zhuǎn)化到由兩基底線性表示，此時(shí)容

5、易由共線向量性質(zhì)列出等式，從而求出結(jié)果例6（汕頭市東山中學(xué)2014屆高三第二次模擬考試）所示,在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于G點(diǎn)，記，則_AB. C. D. 分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問(wèn)題，所以我們很容易聯(lián)想到點(diǎn)F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上，可用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理求解。解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x使得 , ,又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)使得， 由兩式可得： 點(diǎn)評(píng)：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線（F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上），利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡(jiǎn)化解題過(guò)程的效果。PABCMN例6的變式一：在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN與CM相交于點(diǎn)P，且，試用、表示解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得 ,ANAC=14, 又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù),使得 AMAB=13 ， 由兩式可得： 例6的變式二：直線l過(guò)ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)O，與AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M。又知 m，n，則mn= 解：因?yàn)辄c(diǎn)O兩條對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn) m，n 又三點(diǎn)共線