柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用培訓(xùn)資料

1、柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究nn22akbkk1 k1n2akbkk1數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的。但從歷史的角 度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因?yàn)?，正是?兩位數(shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。 柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問 題的方面得到應(yīng)用。、柯西不等式的各種形式及其證明 二維形式在一般形式中，令n 2,a1a, a2b

2、,b1c,b2d,得二維形式2222a bc d2ac bd等號(hào)成立條件：ad bc a/b c/d擴(kuò)展：a12a222a322anb12bna1b1a2b2a3b32 anbn等號(hào)成立條件：a1 : b1a2 : b2an : bn當(dāng)ai0或b 0時(shí)，&和bi都等于0,不考慮ai :bi,i 1,2,3, ,n二維形式的證明：a b2 c2 d2 a, b, c, d Rac bd ad2ac bdbc222222ac bd ad2222a2c2 2abcd b2d222bc2222a2d2 2abcd b2c22等號(hào)在且僅在ad bc 0即ad二bc時(shí)成立三角形式,a2 b2. c

3、2 d2 a c b等號(hào)成立條件：ad bc三角形式的證明： 22,22.22,22a b . c d a b ca2 b2 c2 d2 2 ac bd2_2. 2 .2a2ac c b -2bd d22a cb d兩邊開根號(hào)，得.a2 b2,c2 d2d2 2、.a""V.c"下注：表示絕對(duì)值向量形式|，= a1，a2,a3 ,an ,“dh ,bn n N,n 2等號(hào)成立條件：為零向量，或二 R向量形式的證明：ur m= a1，a2，a3，L ,an ,n ir rm n a1bl a2 b2 a3b3 Lbi，b2，b3，Lanbnm，bnr ir r n

4、cost m ,nu r.Q cos： m, n 1；ir r b2 b3 Lbn cos m,nab1a2b2a3b3Lanbn,a2a2a3L a2. b2b2 b； L般形式n2akakbkk 1等號(hào)成立條件：a1 ：b a2: b2an ：bn,或ai、bi均為零。般形式的證明:akbkn n 2. 2ak bk證明:ajbi2 L L 共n2/2項(xiàng)不等式左邊=a2b2不等式右邊=aibi ajbjajbj aibi L L共n2 /2項(xiàng)用均值不等式容易證明，不等式左邊不等式右邊，得證。推廣形式（卡爾松不等式）： 卡爾松不等式表述為：在m*n矩陣中，各行元素之和的幾何平均數(shù)不小于各列兀

5、素之積的幾何平均之和。-.J X12X12L X1nX21X21L X2nXm1Xm1L Xmn其中,或者:其中,1mX1m, nXj1m,nXi2Xi3XinXjxj或者Xiy1 LX2y2Xnyn注:x表示X1y11LXn的乘積，其余同理推廣形式的證明:推廣形式證法一:記AxiyiL,A2X2y2n+LAA2L An，LAXn% L由平均不等式得土在 L aiAA2L AnA A AXiX2L % nnAA2L AyAA2L AnX & L_y.同理可得 公一AAny1y2L ynnA1A2L An上述n個(gè)不等式疊加，得1X n + AA2L A11x n y n1AA2L An

6、n1X1y1L X2 y2 L L Xnynx n y n L ,證畢或者推廣形式證法二:事實(shí)上涉及平均值不等式都可以用均值不等式來證,這個(gè)不等式并不難，可以簡(jiǎn)單證明如下：由均值不等式mXj1nxjii 1Xj1 n xji i 1同理有mxj2nx人jii 11 mxj2-nxjixjnnxjii 1xjnnxji1以上各式相加得xjknxji11mn上式也即k 1Xjk j 1nxjii 11,該式整理，得:mxjk j 1得卡爾松不等式,xji j 1 i 1 證畢付：柯西（Cauchy）不等式相關(guān)證明方法:a1bl a2 b2anbn2a1a2 2 b2b22 2bn ahR,i 1,

7、2 n等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1a20或bikai時(shí)成立（k為常數(shù),1,2 n)現(xiàn)將它的證明介紹如下:證明1:構(gòu)造二次函數(shù)f(x)a1xb1一 2a2x b2anx2.na2Lan2 a)bi2anbn Xblb2Q a；2na2LanX0包成立4 a1bl a2b22 anbnbn04 a122na2L an即 a1bl a2b2 Lanbna2 Lnanb2bf Lbn當(dāng)且僅當(dāng)aix bx 0 i1,2L即a bia2b2亙時(shí)等號(hào)成立 bn證明（2）數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n 1時(shí)左式=a1bl右式二a1bl顯然左式二右式2時(shí)，右式a2b2b2aQ 2a2b222. 22 2a2b>1a b222d

8、bia2 b22&a2bib2aib22,、a2 b2右式僅當(dāng)即a2blab即亙坦時(shí)等號(hào)成立b1b2故n 1,2時(shí)不等式成立(2)假設(shè) n k k ,k2時(shí)，不等式成立2a1ba2b2 L aa； Lbikak為常數(shù)，i1,2Ln或a1a2 L ak0時(shí)等號(hào)成立22aa2La2b12bf Laibia2b2Lakbkbk 1ak 1bk 1C2 2Cak 1bk1ak 1bk 1a2 L22akak 1b2 b2 Lb；當(dāng)bi2ah a2b2Lakbkak 也 1kai , k 為常數(shù)，i 1,2L n 或 a1k 1時(shí)不等式成立綜合（1） （2）可知不等式成立a2Lak0時(shí)等號(hào)成立、

9、柯西不等式的應(yīng)用1、巧拆常數(shù)證不等式xx C 0(D例1:設(shè)a b、c為正數(shù)且互不相等。求證:22 2 f 2abbcacabcQa、b c均為正數(shù)為證結(jié)論正確，只需證為證結(jié)論正確，只需證:而2ab一2又Q9 (1 1 1)只需證：111a b b c a c a b b c a c1112 9又Qa b、c互不相等，所以不能取等原不等式成立，證畢2、求某些特殊函數(shù)最值例2:求函數(shù)y 3，x 5 4,9 x的最大值。函數(shù)的定義域?yàn)?, 9, yf 0y 3. x 5 4 9 x,32 42 . 2、x 5 2 9 x5*2 10函數(shù)僅在4x 5=3 . 9 x,即x 6.44寸取到3、用柯西不

10、等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。已知點(diǎn)x0,y0及直線l: x y C 022 0設(shè)點(diǎn)p是直線l上的任意一點(diǎn)，則Pl P222XoX1yoy1(2)點(diǎn)P1P2兩點(diǎn)間的距離Pl P2就是點(diǎn)p到直線l的距離,求（2）式有最小值，有222 XoX1yo2yiXoX1yoy1XoyoCX1yi由（1） （2）得:22gPi P2XoP1P2Xoyo C22(3)當(dāng)且僅當(dāng)Vo必：XoP1P2即點(diǎn)到直線的距離公式P1P2XoyoC -224、證明不等式例3已知正數(shù)a,b,c滿足a b c 1證明a3 b3證明：利用柯西不等式3 13 1b2b；c5c23 23a2 b23c23,33a b c又因?yàn)閍2 b2

11、c2 abbc ca在此不等式兩邊同乘以2,再加上2,22 za b c 得： a b cO 2223ab cQ a2 b2 c2 2 a3 b3 c3 ?3 a2 b2 c22,223 . 33 a b c故 a b c 35、解三角形的相關(guān)問題例4設(shè)p是VABC內(nèi)的一點(diǎn),x, y, z是p到三邊a,b,c的距離，R是VABC外接圓的半徑，證明,y1-2 -2 2 a b c 2R證明：由柯西不等式得,4 77 Vz鳳g網(wǎng)三vcz J1.yox_by_cz記S為VABC的面積，則ax byx yi-+ ab bc, 2Rca12Rx a2 b2 c2故不等式成立。6、求最值例5已知實(shí)數(shù)a,b

12、,c ,d滿足a3,22a 2b3c26d2 5試求a的最解：由柯西不等式得，有2221112b 3c 6d 2 3 6即 2b2 3c26d2 b c d 2由條件可得,解得，1 a2當(dāng)且僅當(dāng)法華餐 1 21 31 6時(shí)等號(hào)成立,一、11 r代入b 1,c ,d 時(shí), 362 1 一.b 1,c - ,d 一時(shí)3 3amaxa .min7、利用柯西不等式解方程例6在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程8x 6y 24y 39解：由柯西不等式，得2222222x2 y z286224 8x 6y 24y22 22 422Q x2 y2 z2862249264 36 4 144392422又8x6y24y392222

13、2222xyz 8624 8x 6y 24z即不等式中只有等號(hào)成立從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得xyz8 624它與8x 6y 24 y 39聯(lián)立，可得6918xyz-1326138、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)n(x x) v、 yr= 、1=,并指出r 1且rJ nn,a x)2 yi y2i 1i 1越接近于1,相關(guān)程度越大，|r越接近于0,則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記 ai Xi x , bi y y ,貝1,nabr= . i 1-,由柯西不等式有，r 1In na2 b： i 1 i 1nn n當(dāng) r 1 時(shí)，a

14、ibi 2 a2 bi2i 1i 1 i 1此時(shí)，-yy- 2 k, k為常數(shù)。點(diǎn)Xi, yi i 1,2 n均在直線 xi X aiy y k x X 上，r1 時(shí)， aibii 1n n2aibi21n即 a bii 1n n 2.2aibii 1 i 12ahn2 aii 1bi2 i 12aibj ajbi1 i j n2aibjajbi 0abjajbi 01 i j nb,% k,k為常數(shù)ai此時(shí)，此時(shí)，上一y xi xb員k, k為常數(shù)ai點(diǎn)xi,yi均在直線y y k x x附近，所以r越接近于1,相關(guān)程度越大當(dāng)r 0時(shí)，司由不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù) k,使得點(diǎn)為

15、，都在直線y y k x x附近。所以，r越接近于0,則相關(guān)程度越小。9、關(guān)于不等式(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2的幾何背景幾何背景：如圖，在三角形 OPQ中，P(a,b),Q(c,d), QOPOPva2 b2, OQd)P(aPQb).(a c)2 (b d)2.將以上三式代入余弦定理 PQOPOQ2OP |OQ可得cosac bd因?yàn)?于是a2b2c2.或 cos2 d2(acbd)2(a2b2)(c2 d2)2 cos(acbd)2(a2 b2)(c2-i d2)(a2 b2)(c2 d2) (acbd)2.柯西不等式的相關(guān)內(nèi)容簡(jiǎn)介(1) 赫爾德(Holder)不等式/ pp(aia2ip x p q . q an ) (bib2ibnq)qaibia2 b2anbn1 I i) p q當(dāng)p q 2時(shí)，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不等式更為般的形式，在分析學(xué)中有著較為廣泛的應(yīng)用。(2)平面三角不等式(柯西不等式的等價(jià)形式)an2-.bi2,2,2, 、2,、2b2bn. (ai bi)(a2 b2)(anbn)2可以借助其二維形式ai2a22v'bi2 b22V(aibi)2 (a2 b2)2 來理 解，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗(yàn)證這一不等式的正確性