第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值教案

1、授課時間檢測平均分第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值【2013年高考會這樣考】1.利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間.2.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍.【復習目標】本節(jié)復習時，首先回扣課本，應從“數(shù)”與“形”兩個角度來把握函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，重點解決：(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應用；(2)求函數(shù)的最值；再者復習時也必須精心準備，對常見題型的解法要熟練掌握。H J K A C J 11IZ H u D A £> X u B -01 A 考基自主導學總考心記；疝學相長基礎梳理1 .函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變

2、量 X1, X2,當X1VX2時，若f X1f X2，則f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；若_ f X1f X2，則f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(X)在區(qū)間D上是 增函數(shù) 或 減函數(shù)，則稱函數(shù)f(X)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫 做f(X)的單調(diào)區(qū)間.2 .函數(shù)的最值前提設函數(shù)y=f(X)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件 對于任意xC I,都有f(X) & M ;存在X0C I,使得f(xp) = M對于任意xC I,都有f(x)RM ;存在 X0 C I,使得f(xp)=M結論M為最大值M為最小值W號板博一個防范 1，函數(shù)的單調(diào)性是對某

3、個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.例如函數(shù)y=-分別在(一國，0), (0, +8)X內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即(一8, 0)U(0, +8)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(一8, 0)和(0,+8),不能用“U”連接.兩種形式設任意 以 X2.C a, b且 X1< X2, 那么f X1 f_X2f X1_ f X2>0? f(X)在a, b上是增函數(shù)；一<0? f(X)在a, b上是減函數(shù).X1 X2X1. X2(X1 二 X2)f(X1)二f(X21N-0? 一f(X)一在電bl 上是增函數(shù);一(X1 二 X25f(X1)二 fX2)lW

4、_0?_(X)在2_b上是減函數(shù)；一 四種方法函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法二取值、一作差變成一定號二上結論一一一一一 (2)復合迭;一同增星減即內(nèi)處酉數(shù)的單調(diào)性相同時'為增酉數(shù)丕同也為減函數(shù):(3)導數(shù)法：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性.五問一問自己(1) “函數(shù)在區(qū)間 a,b上單調(diào)增”與“函數(shù)的遞增區(qū)間是a,b ”就一回事嗎？ NO(2)求值域有哪些方法？你能夠說出6種以上嗎？直接法、反函數(shù)法、配方法、換元法、均值不等式法，判別式法、單調(diào)函數(shù)法、三角代換法、復合函數(shù)法、導數(shù)法。(3)分段函數(shù)的值域怎樣求？分段求再綜合雙基自測1.(人教A版教材習題改編

5、)函數(shù)f(x)=1 1().x 1A.在(1, +8 )上單調(diào)遞增B.在(1, +8)上單調(diào)遞增C .在(一 1, + 00 )上單調(diào)遞減D .在(1 , + oo )上單調(diào)遞減答案 B2 .若y=(2k+1)x+ b是R上的減函數(shù)，則有().1 111A. k>2 B. k< 2C . k> 2D . k< 解析由題意，知2k+1v 0.，kv ；答案 d3 .如果二次函數(shù) y=3x2+2(a1)x+b在區(qū)間(一8, 1)上是減函數(shù)，那么().A . a=- 2 B, a = 2 C. a< - 2D. a>2解析二次函數(shù)的對稱軸為x= 3(a1),則一1

6、(a1)>1.即aw 2. 答案 C4 . (2011長春*II擬)下列四個函數(shù)中，在(0, +8)上為增函數(shù)的是().1A. f(x) = 3-xB. f(x)=x2-3xC. f(x) = - -D. f(x) = - |x|x I 1解析結合函數(shù)的圖象可知C正確. 答案 C、一一一、I15 . (2011 江蘇)函數(shù)f(x) = log 5(2x+1)的單倜增區(qū)間是 .答案 一2, 十8UZ舟 考向掾?qū)拰鲱}暗那“：祖虎安.考向一函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1】？判斷函數(shù)f(x)=x+ ；(a>0)在(0, +8)上的單調(diào)性.審題視點可采用定義法或?qū)?shù)法判斷.解 法一 設Xi>

7、X2>0,則 f (Xi)-f (x2)=Xi + 2一x2+工=(Xi x2)+"a-XiX2''Xi X2=(X1 X2) +a X2 XiX1X2=(X1 X2) 1 aX1X2a當 W>Xi >X2 >0 時 X1 X2>0,1 V 0,有 f(Xi) f(X2)V 0,即 f(Xl)Vf(X2),X1X2a此時，函數(shù)f(X)= X+ -n(a>0)在(0, ya上為減函數(shù)；X'a當 Xi>X2>ya時 X1 X2>0, 1 >0,有 f(Xi) f(X2)> 0 即 f(Xl) >

8、;f(X2),X1X2此時，函數(shù)f(X)= X+ a(a>0)在a, +8)上為增函數(shù)；X、綜上可知，函數(shù)f(X)=X+X(a>0)在(0, ya】上為減函數(shù)；在、E + 8)上為增函數(shù).法二 F (x)=1X2,令 F (x)>0 則 1 0,.x行或 xv 一爐(舍).令 f' (x)<0,則 1 - -a2< 0,a<x<yfa.x>0,0<x< -a.1. f(x)在(0,立)上為減函數(shù)；X在(乖,十°°)上為增函數(shù)，也稱為f(x)在(0, qa1上為減函數(shù)；在ja，+°°)上為

9、增函數(shù).方法總結對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)可以結合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解；(2)可導函數(shù)則可以利用導數(shù)解之.但是，對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進行.【訓練1】試討論函數(shù)f(x)=xa、(a>0)的單調(diào)性.解 函數(shù)f(X)的定義域為( 8, 1) U (1 , +°°),r/ /、 a x 1 ax a.,、- f (x)=x-12 = a0，'f (x)<0.故函數(shù)f(X)在(8, 1)和(1, +8)上單調(diào)遞減.考向二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1【例2】?(2011許昌圖二倜研)求

10、函數(shù)y=log2(x23x+ 2)的單倜區(qū)間.審題視點先確定定義域，再利用復合函數(shù)的單調(diào)性求解.1解 令u=x23x+2,則原函數(shù)可以看作 y=log2u與u = x2 3x+2的復合函數(shù).令 u=x23x+2>0,則 xv 1 或 x>2.，函數(shù) y= log2"(x23x+ 2)的定義域為(一0°, 1) U (2,+8).3又u= x23x+2的對稱軸x = 2,且開口向上.11- u = x2- 3x+ 2在( 8, 1)上是單倜減函數(shù)，在(2, + 8)上是單倜增函數(shù).而 y= log2u在(0, + 00)上是單調(diào)減一1 .函數(shù)，y= log2(x2

11、 3x+2)的單倜減區(qū)間為(2, +°°),單倜增區(qū)間為(一8, 1).方若官虎再 結'判斷函數(shù)的單調(diào)性要注意: 注意函數(shù)的定義域；(2)熟記基本函數(shù)的單調(diào)性，判斷復合函數(shù)(或復雜函數(shù))的單調(diào)性時要注意分解為基本函數(shù)來考慮.【訓練2】函數(shù)v= -二的單調(diào)遞土曾區(qū)間是().3+2xx2A. ( 8, 1) B. (1, +8) C. (1,1) D. (1,3)解析 依題意3+2x x2>0,即1 vx<3.，函數(shù)的定義域為(-1,3).又函數(shù)y=-x2+2x+3=-(x-1)2 + 4在(1,3)上單調(diào)遞減，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3).答案 D

12、考向三函數(shù)單調(diào)性的應用【例3】？(2012昆明模擬)已知函數(shù)f(x) = x + 2x+a, xC 1 , +oo ). x(1)當a = 21M,求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意xC1, +8), f(x)>0恒成立，試求實數(shù) a的取值范圍.審題視點(1)將a值代入f(x)解析式，通過判斷f(x)的單調(diào)性求最小值；(2)分a>0和a<0兩種情況討論.1.17解(1)當 a=3 時，f(x)=x+ + 2,在1, +00 )上為增函數(shù)，f(x)min=f(1)=-. xnxn(2)f(x) = x+a+ 2, xC 1 , +8). x當aw。時，f(x)在1, +8)

13、內(nèi)為增函數(shù).最小值為f(1)=a+3.要使 f(x)>0 在 xC 1, +8)上恒成立，只需 a+ 3>0,即 a>3,.一 3vaw 0.當 0vaW1 時,f(x)在1 , +8)上為增函數(shù),f(x)min=f(1) = a + 3.a+3> 0, a>-3.0<a< 1.當a>1時，f(x)在1 ,m上為減函數(shù)，在 他,十°°)上為增函數(shù)，所以f(x)在1 , +8)上的最小值是f«&) =2«+2,2«+ 2>0,顯然成立.綜上所述，f(x)在1, +8止恒大于零時，a的取

14、值范圍是( 3, +8).方法總結(1)已知函數(shù)的解析式，能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，反之，已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值和范圍，可通過列不等式或解決不等式恒成立問題進行求解.(2)不等式 m>f(x)恒成立？ m>f(x)max, mvf(x)恒成立？ mV f(x)min.【訓練 3】(2011 江西)設 f(x)= 1x3+1x2+2ax. 32(1)若f(x)在2, +8 上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求 a的取值范圍； 3(2)當0vav2時，f(x)在1,4上的最小值為一16,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.解 (1)由 f' (x) = -x2

15、+x+2a=- x-1 2+1 + 2a,24當 xC 2, +8 時，f，(x)的最大值為 f' 2 =2-+ 2a;令2+ 2a>0,得 a>-1. 33999所以，當a>9時，f(x)在I，+oo上存在單調(diào)遞增區(qū)間.2)已知0vav2, f(x)在1,4上取到最小值一16,而f' (x) = x2 + x+2a的圖象開口向下，且對稱軸x= 1, ：.f (1) 32=1 + 1+2a=2a>0, f' (4) = 16+4+2a=2a12V0,則必有一點 x°e1,4,使得 f (xo)=0,此時函數(shù) f(x)在1, X0上單調(diào)遞

16、增，在X0,4上單調(diào)遞減,f(1) = ；+；+ 2a = ：+ 2a>0, . f(4) = 64+ .x 16 + 8a=當+ 8a=噂？ a= 1.3 26323310此時，由 f (Xo)= X2+X0+ 2=0? X0=2 或一1(舍去)，所以函數(shù) f(x)max=f(2) = .3* A KAOirUZIIUrthMIANCliT UFO - -履示 i03 * 考題專項窕破難點突破3函數(shù)最值問題的求解方法函數(shù)的最值也是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，高考不但在選擇題或者填空題中對此進行考查，還會出現(xiàn)在解答題中的某一問，如在應用問題以及數(shù)列、解析幾何等問題中，甚至在函數(shù)導數(shù)的綜合解答題

17、中進行考查.函數(shù)的最值問 題的考查形式主要有兩種：一是求函數(shù)的最值，常見求函數(shù)最值的方法有：配方法、換元法、單調(diào)性法、數(shù)形結 合法、基本不等式法及導數(shù)法等.注意：不論用什么方法求函數(shù)的最值均應考慮其定義域；二是已知函數(shù)最值， 求參數(shù)的取值范圍.一、配方法配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法.【示例】？已知函數(shù)f（X）=X2+aX+3在區(qū)間1,1上的最小值為一3,求實數(shù)a的值.三千"，匍抖占木商年.£ G d= 7 >如f 注 酎崎 寺文tn 京 raj舐酒Ti二“吳"iii是林郁電k 口力 it1、應說和r，.宣rmgg* .若出It3?兄-mu QIS iAL

18、 f j I J i在、換元法所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中,用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子,使它化歸為簡單的基本初等函數(shù)，從而使問題易于解決.【示例】已知函數(shù) y= (eX a)2+ (e X- a)2(a e R,aw。），求函數(shù)y的最小值.平方欣tr京 JIJTCt二#2二,冷。 I 1孑一八貝IJ- Z 二34 I 2/-S U|J :R數(shù) y - I -之皿+ N - 2C t 之）的 JtJf：力” G/山乂 j蠅j小的 1. 次 |上為量文白勺乂寸串第奇山至吉合 才匕|%.十 陰工夫上依憑年：M士 _LL - R 0 日寸=上工門 L ? w t;當 r - . X 口寸* Aim 2三、單調(diào)性法先確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，這種利用函數(shù)單調(diào)性求最值的方法就是函數(shù)單調(diào)性法.1 一【小例】？設2>1,函數(shù)f（X）=logaX在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為3 則a=一擊I： 1卜 u - 1 -PWi9-同產(chǎn)中MO kif ig 融 J < 在 La.寶門 X Flg人f白 Lj由&J八|1白Fh Ic®?tRc l.c依/C ,* ，孑壁 t* 一 d的氏# 睡迂/ mj 朝村里坨史拿杞e戶” 所 謝妣！，rr/引市IX.可 匕I勺中i國