解三角形知識點

1、必修五解三角形知識點歸納一、正弦定理正弦定理： 二一= c- = 2R sin A sinB sinC文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等符號語言：- =2 2Rsin A sinB sinC特點：對稱美、和諧美(一)理解定理1、正弦定理：在 ABC中，一=b- = =2R =a+b + C1在這個式子當中，已知sin A sin B sin C sin A sin B sin C兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角，從而知正弦定理的基本作用是進行三角形中的邊角互化】2、正弦定理的基本作用：bsin A已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如角化邊a =s

2、in B已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sirA=asinBb3、常用公式及其結(jié)論正弦定理包含三個等式 3-,b-J, _a_j每一個等式中都包含四個量，可以“知三求一” sinA sirB sinB sinC sinA sinC一， rA B 二 C(2)三內(nèi)角和為 180 即 A + B+C =180 , =22 2(3)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊a+b>c,a+c>b,b+ca;ab<Gbc<a,ac<b.111abcc(4)面積公式：S = - absinC = bcsin A = acsin B = 2R sin

3、Asin B sinC2224R 三角函 數(shù)的恒 等變形：sin(A + B) = sin C , cos(A + B) = -cosC, tan (A + B) = - tan C ,tanA tan B+tan C = tan A tan B tanC.A B C A B . C -AB C sin=cos-, cos=sin- , tan= tan,222222 a : b: c = sin A: sin B: sin C角化邊：a =2Rsin A b =2Rsin B c=2RsinC邊化角：sin A =-a- sinB=-b- sin C =-2R2R2R在 ABC中，若acos

4、A=bcosB,則 ABC是等腰三角形或直角三角形若 bcosA= acosB ,2_ 2_ 2則ABC是等腰二角形；若cosA +cosB+cosC =1或acosA+bcoS3=cco©,則 ABC是直角三角形(io)在 ABC 中，A>BaCu ab：>cu sin A > sin B >sinC（二）題型：使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1：利用正弦定理公式原型解三角形題型2:利用正弦定理公式的變形（邊角互化）解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化 例如：sin2 A 3sin 2 B = 2sin2 C = a2 3b2 = 2c2題型3:

5、三角形解的個數(shù)的討論方法一：畫圖看結(jié)論： ABC中，已知銳角 A,邊b,則acbsinA時，a無解；a = bsin A或a 2 b時，a有一個解；bsinA<a<b時，a有兩個解；方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗解出的結(jié)果是否符合實際 意義，從而確定解的個數(shù)（三）三角形內(nèi)角平分線定理：AB BDABC中，AD是/A的角平分線，則 = AC DC我們知道，當一個三角形已知任意兩角和一邊時，根據(jù)全等三角形的判定定理可以得知這個三角形就是唯一確定的，也就是可解的.先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理計算另兩邊另外，一個三角形的三邊之間必須滿足

6、：任意兩邊之和大于第三步且任意兩邊之差小于第三邊.當已知一個三角形的三邊時，已知的三條邊必須滿足上面的條件才能夠作出三角形.否則作不出三角形，當然也無 法解三角形.從上面的探討可以得知，已知三角形的三邊要解三角形時，必須滿足三邊關(guān)系，解三角形才有意義.當已知三邊時，連續(xù)利用余弦定理的推論求出較小邊的對角，再用三角形內(nèi)角和求出第三個角如果已知三角形的兩邊及其夾角，那么根據(jù)三角形的判定定理我們知道這個三角形是唯一確定的，也就是可解的.我們可以利用余弦定理計算第三邊，用余弦定理的推論或正弦定理計算其余兩個角.如果已知任意兩邊及其中一邊的對角如何來解三角形呢？我們先看下面的例題：例題：已知：在 ABC

7、中，a=22cm,b=25cm,A = 133：解三角形.解：'a =22cm,b =25cm, A =1333g 力e /口bsin A 25sin133根據(jù)正弦定理，得sin B = = - 0.8311a22:0 口<B <180 口 . .B 之 56.21 :或 B 定 123.79 口:A + B +C =180 0C =-9.21 0或 C =-76.79°【師】：問題出在哪里呢？【生】：分析已知條件，我們注意到a <b, A =133:是一個鈍角，根據(jù)三角形的T質(zhì)應該有 A< B ,因而B也是一個鈍角.而在一個三角形中是不可能存在兩個鈍

8、角的【師】：從上面的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出 現(xiàn)無解的情形.【結(jié)論】：bsin A(1)如果已知的角 A是鈍角或直角，那么必須 a >b才能夠有解，這時從 sinB=計算角B時，只能夠取銳角的值，因此只有一個解.bsin A(2)如果已知的角 A是銳角，并且aAb或a=b,這時從sinB=一計算角B時，也只能取銳角的 值，因此都只有一個解.bsirA(3)如果已知的角 A是銳角，并且a<b,這時從sirB=計算角B時，我們可以分下面三種情形來討論 absin A如果a >bsin A,這時從sinB=計算得sinB<1

9、, B可以取一個銳角的值和一個鈍角的值，因a此可以有兩個解.bsin A如果a = bsin A,這時從sin B =計算得sinB = 1, B只能夠取一個直角的值，因此只有一個解absinA 如果a <bsin A,這時從sinB=計算得sin B >1,由于一個角的正弦值不可能大于1,因此沒有解a如：已知A =60O,a =2,b =2，3,求B (有一個解)；已知A = 60°b = 2,a = 2，3 ,求B (有兩個解)、余弦定理b2 c2 - a2（一）知識與工具:cosA a2 =b2 +c2 2bccosA余弦定理:«b2 =a2+c2 2ac

10、cosB=cosB222c =a +b -2abcosCcosC（二）題型：使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1：利用余弦定理公式的原型解三角形題型2:利用余弦定理公式的變形（邊角互換）解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式。題型3:判斷三角形的形狀結(jié)論：根據(jù)余弦定理，當 a2+b2<c2、b2+c2<a2、c2 + a2 < b2中有一個關(guān)系式成立時，該三角形 為鈍角三角形，而當 a2 +b2 >c2、b2 +c2 Aa2、c2 +a2 >b2中有一種關(guān)系式成立時，所對的角是銳角， 但并

11、不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論.當a2 + b2 = c2、b2 + c2 = a2、c2 + a2 = b2中有一種關(guān)系式成立時，則該三角形為直角三角形 判斷三角形形狀的方法：（1）將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角 形的形狀.（2）將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而 判斷出三角形的形狀，這時要注意使用A + B+C =n這個結(jié)論.特別要注意：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取出公因式，以免漏解（三）正余弦定理的應用正余弦定理在實際中的應用題型1計算高度題型2計算距離題型3計算角度題型4測量方案的設計實際應用題型的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦 定理和余弦定理進行求解.（四）常見結(jié)論1、三角形內(nèi)切圓的半徑：r