幾類經(jīng)典排列組合問題

1、(1) 6個不同的小球放到6個不同的盒子里。解析：分步乘法計數(shù)原理，每個小球都有六種放法答案：66。(2) 6個不同的小球放到6個不同的盒子里,要求每個盒子只能放一個小球。解析：思路一：分步乘法計數(shù)原理，第一個小球有6種放法第二個小球有5種放法第六個小球有1種放法即6*5*4*3*2*1;思路二：將小球按順序擺放后，與不同的盒子相對應即可，即A6。答案：720。(3) 6個不同的小球平均放到3個相同的盒子里。解析：平均分組的問題因為盒子相同，相當于把小球等分成三堆，設想6個小球編號為ABCDEF首先從6個球中選出2個，為C2；然后從剩下的4個球中選出2個，為C4；最后剩下2個球，為C2；但是：

2、C2取出AB球、C4取出CD球、乘ijEF球；盤取出AB球、C4取出EF球、剩CD球；取出CD球、C4取出AB球、剩EF球；C6取出CD球、G取出EF球、剩AB球；取出EF球、C4取出AB球、乘ijCD球；盤取出EF球、C4取出CD球、剩AB球；得到的結果是一本的，故按照dC2C2組合完成后還應除去A3,答案：C6C4C2/A3(4) 6個不同的小球平均放到3個不同的盒子里。解析：平均分組后再分配的問題平均分組得到的結果為C6C4C2/A3,分完組后三堆小球還要放到不同的盒子里，即再進行一個A3的排列答案：C6C4C2(5) 6個不同的小球按1、2、3的數(shù)量，分別放到3個相同的盒子里。解析：非

3、平均分組的問題因為盒子相同，相當于把小球分成數(shù)量不等的三堆,首先從6個球中選出1個，為d；然后從剩下的5個球中選出2個，為C5；、小球放盒子問題(分組問題)最后剩下3個球，為比；注意：因為這個問題是非平均分組，故不存在(3)中出現(xiàn)的重復的情況，因此C6dC3即為最后結果，不需要再除以A3答案：c6C2C3(6) 6個不同的小球按1、2、3的數(shù)量，分別放到3個不同的盒子里。解析：非平均分組再分配的問題非平均分組得到的結果為C6C2C3/A3,分完組后三堆小球還要放到不同的盒子里，即再進行一個A3的排列答案：C6C5C3A3(7) 6個不同的小球按1、1、1、3的數(shù)量，分別放到4個相同的盒子里。解

4、析：部分平均分組的問題分成的四堆中，有三堆數(shù)量一樣，設想6個小球編號為ABCDEF首先從6個球中選出3個，為C3；然后從剩下的3個球中選出1個，為C3；再從剩下的2個球中選出1個，為C2；最后剩下1個球，為C1；但是：C6取出ABC球、C3取出D球、C2取出E球、剩F球；&取出ABC球、C3取出D球、C2取出F球、剩E球；C3取出ABC球、C3取出E球、C1取出D球、剩F球；C6取出ABC球、C3取出E球、C2取出F球、剩D球；&取出ABC球、C3取出F球、C2取出D球、乘ijE球；&取出ABC球、C3取出F球、C2取出E球、 剩D球； 得到的結果是一樣的， 故按照C3

5、C3c2C1組合完成后還應除去A3,答案：C3C1dd/A3(8) 6個不同的小球按1、1、1、3的數(shù)量，分別放到4個不同的盒子里。解析：部分平均分組再分配的問題部分平均分組得到的結果為C3C1C2C/A3,分完組后四堆小球還要放到不同的盒子里，即再進行一個A4的排列答案：(C6c3c2C/A3)A4(9) 6個不同的小球按1、1、2、2的數(shù)量，分別放到4個相同的盒子里。解析：部分平均分組再分配的問題答案：C2C2C2/(A2A；)(10) 6個不同的小球按1、1、2、2的數(shù)量，分別放到4個丕圓的盒子里。解析：部分平均分組再分配的問題答案:CCC2/(A2A2)A4(11) 6個丕回的小球放到

6、5個丕回的盒子里，要求每個盒子至少放一個。解析：分類討論分組再分配的問題，首先應該確定小球個數(shù)的分配方案，5個盒子6個球，滿足每盒至少一個，那么有且只有一個盒子放2個，其他盒子放一個；即小球按照2、1、1、1、1的數(shù)量，分別放到5個不同的盒子中。答案：(C2CC1C2C/A4)A6(12) 6個不同的小球放到3個不同的盒子里,要求每個盒子至少放一個。解析：分類討論分組再分配的問題，首先應該確定小球個數(shù)的分配方案：?114,部分平均分組再分配的問題：(CC5C4/A2)A3?123,非平均分組再分配的問題的問題：C6C2C3A3?222,完全平均分組再分配的問題：C2C2C2答案：(C6dc4/

7、A2)A3+C6dC3A+C6c4c2(13) 6個相同的小球放到3個不同的盒子里,要求每個盒子至少放一個。解析：思路一：首先應該確定小球個數(shù)的分配方案，再分類討論：?114,小球相同小盒不同，只需選出一個盒子裝4個小球：C3?123,3堆不同數(shù)量的小球，排序后往3個不同的盒子里裝：A3?222,每個盒子裝2個小球，只有一種方案：1思路二：隔板法00|00|00相當于在6個小球之間放2個板兒第一個板兒左側的球放第一個盒子里兩個板兒中間的球放第二個盒子里第二個板兒右側的球放第三個盒子里答案：C1+A3+1(14) 6個不同的小球放到3個相同的盒子里,要求每個盒子至少放一個。解析：分類討論分組的問

8、題，首先應該確定小球個數(shù)的分配方案：?114,部分平均分組的問題：C6C5C4/A2?123,非平均分組的問題：C6C2謂?222,平均分組的問題：C6C4C2/A3答案：C1C1C4/A2+C6C5C3+C2C4d/A；(15) 6個相同的小球放到3個相同的盒子里,要求每個盒子至少放一個。解析：首先應該確定小球個數(shù)的分配方案：?114?123?222因為盒子沒有區(qū)別，隨便放，則小球的分配方案就是最后的方案答案：3、排列的捆綁法(1)6個座位坐6個人，要求甲乙丙3個人必須相鄰；解析：將甲乙丙三個人捆綁為一個元素，與另外三個人進行排列A：,然后對甲乙丙松綁A3。答案：A4A(2)6個座位坐甲乙丙

9、3個人，要求3個人必須相鄰；解 析 ： 將 甲 乙 丙 三 個 人 捆 綁 為 一 個 元 素 ， 與 三 個 空 位 進 行 排 列A： , 然 后 對 甲 乙 丙答案：A1A(3)6個座位坐3個人，要求3個空位相鄰；解析：將三個空位捆綁為一個元素，與三個人進行排列答案：A3四、捆綁法和插空法相結合(1)6個座位坐6個人，甲乙相鄰，丙與甲乙都不相鄰；解析：先排三個人A3,甲乙整體捆綁后和丙進行插空A3,再將甲乙松綁A2。答案：NAA2注意：空位不用進行松綁。答案：A4三、排列的插空法A3（C；A3）。答案：A3A3(1)6個座位坐6個人，要求甲乙丙3個人不相鄰；解析：先排另外的三個人A3,再

10、將甲乙丙進行插空排列(2)6個座位坐甲乙丙3個人，要求這3個人都不相鄰；解析：只需將空座位擺上，甲乙丙進行插空排列A3即可(3)6個座位坐3個人，要求這3個空位都不相鄰;解析：先排三個人A,再將空位進行插空C3注意：空位插空時只選不排，因此不是A3答案：AC3(3)6個座位坐3個人，要求兩個空位相鄰，另一個空位不相鄰;(2)6個座位坐3個人，要求甲乙相鄰，丙與甲乙都不相鄰；解析：需將空座位擺上，甲乙整體捆綁后和丙進行插空A3,再將甲乙松綁A2答案：A3A注意：空位不用松綁答案：A3A11個人中5人會唱，6人會跳，從中選出6個人去參加晚會。解析：選出去6個人沒有任何限制，從11個人中任意選擇即可

11、C61=c5d+dC6+C5d+&c6+dC6+C5C6答案：C6111個人中5人會唱，6人會跳，從中選出6個人去參加晚會，會唱和會跳的都不于兩個人。解析：分類討論，確定會唱和會跳的人數(shù)的可能情況?2人唱4人跳?3人唱3人跳?4人唱2人跳C2C4+C5C3+C5C2答案：c5c4+c5c3+c5c2(3)11個人中4人會唱，5人會跳，還有2個既會唱又會跳，從中選出3個會唱3個會跳的去參加晚會。解析：有多面手參與，分類討論?沒有多面手參與的情況：c3c5?有一個多面手參與的情況：先用c2選出被選中的多面手，多面手唱：c2c4c3多面手跳：c1c4c2?有兩個多面手參與的情況兩個多面手都唱

12、：c4c3兩個多面手都跳：c4d多面手一個唱一個跳：C2C2A2答案：c3c5+(dc4d+c1c4c2)+(c4c5+c4c5+c4dA)(4)將8名醫(yī)護人員(3醫(yī)生、5護士)分配到甲乙兩所醫(yī)院，有多少種方案?解析：思路一：每個人都有兩種分配方法，用分步乘法計數(shù)原理：28思路二：用分組的思想：c；+c8+c8+c3+C8+c8+c6+c7+c8C8代表將0個人分配到醫(yī)院甲,c8代表將1個人分配到醫(yī)院甲,C8代表將2個人分配到醫(yī)院甲,c3代表將3個人分配到醫(yī)院甲,C8代表將4個人分配到醫(yī)院甲,C8代表將5個人分配到醫(yī)院甲,C8代表將6個人分配到醫(yī)院甲,五、兩類人和多面手的問題8個人分配到醫(yī)院乙

13、;7個人分配到醫(yī)院乙;6個人分配到醫(yī)院乙;5個人分配到醫(yī)院乙;4個人分配到醫(yī)院乙;3個人分配到醫(yī)院乙;2個人分配到醫(yī)院乙;解析：先排三個人A3,再將空位進行插空A2C7代表將7個人分配到醫(yī)院甲，1個人分配到醫(yī)院乙;&代表將8個人分配到醫(yī)院甲，0個人分配到醫(yī)院乙;注意：連接思路一和思路二的橋梁正是二項式定理，而思路而又能拆解成如下形式，想一想為什么。28=(1+1)8=d+d+c8+d+d+c5+c6+d+d。c8=d&c8=dd+d&；C8=C0C2+C3C5+C3C0;dYd+dd+ad+aC0；c8=C0C4+C1C3+da+c3C1；C8=C0C5+C1C5+C2C5+C3C2;c8=c1C5+dd+C3C3；c8=da+dd；C8=CC。答案：28六、隔板法(1) 6本相同的書放到4個不同的盒子中，每個盒子至少放一本書解析：先把6本書并排成一排，它們之間有5個空，在5個空中選出3個空放3個板。6本書自動被隔成了四組，對應著四個盒子放入即可。注意：經(jīng)典隔板法的條件是:對相同元素進行分組；每組至少含有一個元素。答