全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題目及答案湖南

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)文史類本試題包括選擇題、填空題和解答題三局部，共6頁(yè)時(shí)量120分鐘，總分值150分.參考公式(1)柱體體積公式 V Sh,其中S為底面面積，h為高.43(2)球的體積公式 V R，其中R為球的半徑.3一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.設(shè)全集 UM 卩“ 1,2,3,4,5, M pCuN 2,4,那么 N ()A 1,2,3B. 1,3,5C. 1,4,5D. 2,3,4答案：B解析：畫(huà)出韋恩圖，可知 N 1,3,5。2.假設(shè)a,b R,i為虛數(shù)單位，且(a i)i bi，

2、那么A. a 1,b1b. a1,b1C. a 1,b答案：C解析：因(a i)i1 ai b i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知1 d. a 1,b1a 1,b1 。3. X 1是| X| 1的A .充分不必要條件C.充分必要條件答案：A解析：因X 1| X|E.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件1，反之3| x| 1 X 1 或X 1，不一定有X 1。4 .設(shè)圖1是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的體積為A. 942 B. 361899C.12 d. 182 2答案：D解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合體，其體積V 4 (-)+3 3 2=-18。3 22正視圖側(cè)視圖圖1男女總

3、計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)60501105.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表:附表:n (ad bc)2算得，K2110 (4 30 20 站 7.8(a b)(c d)(a c)(b d)60 50 60 50P(K2 k)0 . 0500 . 0100 . 001k3 . 8416 . 63510. 828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A .有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)0 . 1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)0 . 1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)B. 有99%以上的把握認(rèn)為C.

4、在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 答案：解析:2K 7.86.635,2而 P(K 6.635)0.010 ,故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A.6設(shè)雙曲線2右1(a0)的漸近線方程為3x 2y0,那么a的值為()A. 4答案:C. 2 D.解析:由雙曲線方程可知漸近線方程為-x，故可知a7.曲線ysin xsin x cosx1丄在點(diǎn)M ( ,0)處的切線的斜率為(2答案:解析:cosx(sin xC.cosx) sin x(cos xsin x)(sin xcosx)22，所以(sin x cosx)yL_41。(sincos)22&函數(shù) f (x) ex 1,g(x)x2 4x

5、3,假設(shè)有f (a)g(b),那么b的取值范圍為A. 2 邁 2.2 B . (21,3D (1,3)4 4答案：B解析：由題可知f (x)11 , g(x)x2 4x3 (x 2)211，假設(shè)有f(a) g(b),那么 g(b)(21,1，即 b 4b 31，解得二、填空題：本大題共 8小題，考生作答7小題，每題解分，共青團(tuán)員 5分，把答案填在 答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.一選做題請(qǐng)考生在第 9，10兩題中任選一題作答，如果全做，那么按前一題記分x 2cos9.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為_(kāi)為參數(shù).在極坐標(biāo)系與y v3si n直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以

6、x軸正半軸為極軸中，曲線C2的方程為(cos sin ) 10,那么Ci與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為答案:解析:曲線2C1:T2y-1，3曲線C2 :x y 10,聯(lián)立方程消y得7x2 8y 80 ,易得10 .某試驗(yàn)范圍為10 ,是 .答案：40或60 只填一個(gè)也正確 可以將其等分10 5 9080，故有2個(gè)交點(diǎn)。解析：有區(qū)間長(zhǎng)度為 80,數(shù)法選取試點(diǎn)：x1x210 90 6040，可以是40或二必做題11 .假設(shè)執(zhí)90，假設(shè)用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行由對(duì)稱性可知,60。11-16 題行如圖2所示為1,X22壓 4n 8,那么于 .15答案：154由框圖功X2X3X4能可知，15。412f (x)為8段，利用分10

7、) 60，第二次試點(diǎn)的框圖，輸出的數(shù)出的數(shù)等g(x)f(x)9,g(2)3,那么 f(2)4次優(yōu)選試驗(yàn)，那么第二次試點(diǎn)可以入等于圖2答案:解析:g( 2)f( 2)93,那么 f ( 2)6，f(2) f( 2) 6。又f x為奇函數(shù)，所以13設(shè)向量a,b滿足|a | 2“5,b 2,1,且2與b的方向相反，貝U a的坐標(biāo)為答案：(4, 2)解析：由題 ibi.5，所以 a 2b ( 4,2).y x14.設(shè)m 1,在約束條件y mx下，目標(biāo)函數(shù) z x 5y的最大值為 4，貝V m的值x y 1為 .答案：31 m解析：畫(huà)出可行域，可知 z x 5y在點(diǎn)(，)取最大值為4，解得m 3。1 m

8、 1 m15圓 C: x2 y212,直線 l :4x 3y 25.(1 )圓C的圓心到直線I的距離為 .(2)圓C上任意一點(diǎn) A到直線l的距離小于2的概率為 .1答案：5, 1625解析：(1)由點(diǎn)到直線的距離公式可得d 上55 ;(2 )由(1)可知圓心到直線的距離為 5,要使圓上點(diǎn)到直線的距離小于2,即l1 :4x 3y 15與圓相交所得劣弧上，由半徑為故所求概率為P 3 丄.2、3，圓心到直線的距離為3可知劣弧所對(duì)圓心角為一，32 616、給定kN*，設(shè)函數(shù)f : N* *N滿足：對(duì)于任意大于k的正整數(shù)n， f (n) n k(1 )設(shè) k 1，那么其中一個(gè)函數(shù)f在n1處的函數(shù)值為;(

9、2)設(shè)k 4，且當(dāng)n 4時(shí)，2 f (n) 3，那么不同的函數(shù) f的個(gè)數(shù)為。答案：(1) a(a為正整數(shù))，(2) 16解析：(1)由題可知f(n) N*，而k 1時(shí)，n 1那么f(n) n 1 N*，故只須f(1) N*， 故f (1) a(a為正整數(shù))。(2)由題可知 k 4， n 4 那么 f (n) n 4 N*，而 n 4 時(shí)，2 f (n)3 即f(n) 2,3，即n 1,2,3,4，f(n) 2,3，由乘法原理可知，不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為24 16。三、解答題：本大題共 6小題，共75分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.本小題總分值12分在 ABC中，角A, B,C所

10、對(duì)的邊分別為a,b,c且滿足csin A acosC.I求角C的大??；II 求 J3sin A cosB 的最大值，并求取得最大值時(shí)角代B的大小.解析：I由正弦定理得sinCsin A sin AcosC.因?yàn)?0 A ,所以 sin A 0從而 sinC cosC.又 cosC 0,所以 tanC 1,那么C 43II 由I知BA.于是4.3 si nA cosB . 3si nA cos A4.3si nA cos A 2si n A.6u311N A才匸A 右,從而當(dāng)A - -,即A 3時(shí),466126232sin(A )取最大值2.綜上所述，.3 si nA cosB J的最大值為2,

11、此時(shí)A -護(hù)512.18.此題總分值12分某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y單位:萬(wàn)千瓦時(shí)與該河上游在六月份的降雨量X 單位：毫米有關(guān).據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=7C時(shí)，Y=460;X每增加10, Y增加5;近 20年X的值為：140, 110, 160, 70,200,160,140,160,220,200, 110,160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(I)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率142202020II 假定今年六月份的降雨量與近20年六月份的降雨量的分布規(guī)律相同，并

12、將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490 萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò) 530 萬(wàn)千瓦時(shí)的概率.解：I在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率丄3_7_22202020202020P發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530萬(wàn)千瓦時(shí)II =PY530=PX210 =1323=20 20 20故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于 為A.1019.此題總分值12分490 萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530 萬(wàn)千瓦時(shí)的概率如圖3，在圓錐PO中，POO的直徑 AB 2,點(diǎn)C在 AB上,且 CAB

13、=30,D為 AC中占I 八、I證明：AC 平面POD;II求直線和平面 PAC所成角的正弦值. 解析：I因?yàn)镺A OC, D是AC的中點(diǎn)，所以AC OD.PO 底面Qo, AC 底面0O,所以ACOD.PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC 平面POD;II 由I知，AC 平面POD,又AC平面PAC,所以平面POD 平面PAC,在平面POD中，過(guò)O作OH PD于H,那么OH平面PAC,連結(jié)CH，那么CH是OC在平面PPAC上的射影，所以O(shè)CH是直線OC和平面PAC所成的角.在RtOHC中在 RtPOD中,OH二3,sin OCHOHOC20.(此題總分值13分)某企業(yè)在第1年初購(gòu)置一臺(tái)

14、價(jià)值為 120萬(wàn)元的設(shè)備M , M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少， 從第2年到第6年，每年初 M的價(jià)值比上年初減少 10萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年初 M的 價(jià)值為上年初的75% .(I)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；(II )設(shè)An a1 a2川an ,假設(shè)An大于80萬(wàn)元，那么M繼續(xù)使用，否那么須在第n年初對(duì) nM更新，證明：須在第 9年初對(duì)M更新.解析：(I)當(dāng)n 6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120,公差為 10的等差數(shù)列.an 120 10( n 1)130 10n;6時(shí)，數(shù)列an是以a6為首項(xiàng)，公比為34為等比數(shù)列，又a670，所以an120 10( n 1) 130 10n,n6因此，第n年初

15、，M的價(jià)值an的表達(dá)式為an3 n 6an 70 (-)n6,n 74(II)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1n 6時(shí)，Sn 120n 5n(n1),An120 5(n 1)125 5n；當(dāng)n7時(shí)，qSj (a7 a8| an)57070 -44 1 (4)n6780 210(|)n6780 210(3)n6An4因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列，又780 210(4)8682 47 80, A64780 210吧80,所以須在第9年初對(duì)M更新.21.平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) P到點(diǎn)F (1 , 0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的等等于1.(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(I

16、I)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線-J，設(shè)h與軌跡C相交于點(diǎn)A,B , I2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E，求AD ?EB的最小值.解析：(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，由題意為.(x 1)2 y2 |x| 1.化簡(jiǎn)得y22x 2|x|,當(dāng) x 0時(shí),y2 4x;當(dāng) x 0時(shí),y=0.、2所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為，y 4x(x 0)和y=0( x 0).(II )由題意知，直線1,的斜率存在且不為 0，設(shè)為k,那么h的方程為y k(x 1).由 y 2k(x 1),得 k2x2 (2 k2 4)x k20.y 4x設(shè)A(xyj, Bgy),那么是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是4X1X222,X21

17、.k1因?yàn)閨1|2，所以|2的斜率為-2設(shè) D(X3, y3), B(x4, y4),那么同理可得 X3 X42 4k ,X3X4ad?E1 (AF一AF(ef af|fb fd|Ef fdfb|AF|FB| |fD(|E?|故(X11)(X21)41 (2 &) 11)(X4 1)188 4( k216當(dāng)且僅當(dāng)k222.(本小題設(shè)函數(shù)f(x)2即k213 分)1x -x1時(shí)，D ? wB取最小值16.a In x(a R).k(I)討論f (x)的單調(diào)性;(II) 假設(shè) f (X)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1和X2，記過(guò)點(diǎn)A(X1, f(xj), B(X2, f(X2)的直線的斜率為k ,問(wèn)：是否存在a

18、，使得k 2 a?假設(shè)存在，求出a的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(I) f (x)的定義域?yàn)?0,).f(x) 1 丄-x x2 .x ax 12x令g(x) x2 ax 1,其判別式4.(1)當(dāng)|a| 2時(shí)電0, f (x) 0,故f(x )在(0,)上單調(diào)遞增. 當(dāng)a 2時(shí)屯0,g(x)=0 的兩根都小于0,在(0,)上，f (x)0，故f (x)在(0,)上單調(diào)遞增.a a24a42,X22x2時(shí)，f(x)0 ; 當(dāng)當(dāng)Xx2時(shí)，f(x) 0 ,)上單調(diào)遞增，在(X1,X2)上單調(diào)遞減.當(dāng)a 2時(shí)0,g(x)=0的兩根為人 當(dāng) 0 x x1 時(shí)，f (x) 0 ;當(dāng) x, x故 f (x)分別在(0, x1),( x