解析幾何的最值

1、解析幾何的最值求解策略湖南省武陵源一中高飛（高級(jí)教師）郵編：427400電話：解析幾何最值問(wèn)題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，能綜合考察學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了高考在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題的思想，是高考的熱點(diǎn)。解析幾何最值有兩類：一類是利用曲線的幾何定義或問(wèn)題的幾何背景，先確定幾何 上達(dá)到最值的位置，再計(jì)算；另一類是通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解。本文舉例探求解析幾何最值問(wèn)題的求解策略一利用曲線的幾何定義或問(wèn)題的幾何背景2 2例1（遼寧卷）已知F是雙曲線 務(wù)-冷=1的左焦點(diǎn)，A（1,4），P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|+|PA|的最小值。解析:設(shè)右

2、焦點(diǎn)為F ，由題設(shè)知F 坐標(biāo)（4,0）,根據(jù)雙曲線的定義，|PF|-|PF |=4,所以|PF|+|PA| =4+|PF |+|PA|， 由題設(shè)知要使|PF|+|PA|最小，只需|PF |+|PA最小即可，|PF |+|PA|最小只需P, F ,A三點(diǎn)共線，最小值即4+| F A|=4+9 14 9。點(diǎn)評(píng)：本題考查了解析幾何的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是要運(yùn)用雙曲線的定義將P到左焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為P到右焦點(diǎn)距離解決。例2（四川卷）已知直線h：4x-3y *6=0和直線l2：x=-1，求拋物線y2 = 4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線h和直線丨2的距離之和的最小值 解析：動(dòng)點(diǎn)P到直線|2：x = -1的距離可轉(zhuǎn)化為 P,

3、F的距離，作圖可知距離之和的最小值即F到直線l1的距離d = 雪=217,4 2 七2練習(xí)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P x,y在橢圓25 y6 =1上，若 A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），|am=1，且PM AM =0，求PM的最小值解析；由條件可知點(diǎn) M軌跡是以A為園心，1為半徑的圓，又PM AM“ =0所以PM _ AM 所以PM 2二PA2 - AM 2二PA2 -1問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 pA的最小值，因?yàn)?P x,y在橢圓上。 則 PF e b c,a +c】即 PA >2則|pm的最小值為J3。例3（廣東卷）已知曲線C： y =x2與直線I ： X - y * 2 =0交于兩點(diǎn)A,B，記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那

4、一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域 洽邊界）為D，若曲線G： x2-2ax+y2-4y+a2+曇=0與D有公共點(diǎn)，試求a的最小值解析：由x2-2ax+y 2-4y+a2+ =0整理得（X - a）? （y - 2=券 曲線G表示以點(diǎn)（a,2）為圓心，半徑為5的圓，即圓心是直線 y=2上的一動(dòng)點(diǎn)，作圖分析知，曲線G與D有公共點(diǎn)且a取最小值時(shí)，圓G應(yīng)與直線I : x - y 2 = 0相切且a<2,.二乙=7且a<2 a - - 7、212：加 255即曲線G與D有公共點(diǎn)時(shí)a的最小值為_(kāi) 7 , 2。點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于找出a取最小值時(shí)圓G的位置。二，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解2

5、 2例4設(shè)橢圓mx_ . y =1的左，右焦點(diǎn)分別是Fl( -c,0), F2( c,0)若E是直線y = x 2與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，求使得|EF_|+|EF2|取最小值時(shí)橢圓的方程。解由題意，知 m+1>1 即 m>0,把y = x 2代入洛 y2 =1得(m +2 X2 +4(m +1 X +3(m +1 )=0。由也=16(m + 1 $ 12(m + 2'(m + 1 )= 4 m 1 m -2 - 0，解得 m _2 或 m _ -1(舍去)m _ 2此時(shí) |EF1|+|EF2|= 2 . m 1 _ 2.3 當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)|EF1|+|EF2|取得最小值2 3

6、此時(shí)橢圓方程為 與，y2 =1。解析幾何最值問(wèn)題要根據(jù)題設(shè)條件建立等量與不等關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)，方程，不等式等知識(shí)求得最值，關(guān)鍵是不等關(guān)系的確定。2 2例5已知橢圓C: X_ 23 =1，設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)|MP|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；若經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn) 作直線I交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求：ABF1面積的最大值。解 設(shè)點(diǎn)P(x,y)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)則 - 2沁乞2 ,|MP|2= y2 (x - m)2 = (x - m)2 31 -召 = *x2 - 2mx m2 3 = *(x -4m)2 -3m2 3因?yàn)楫?dāng)|MP|最小時(shí)，點(diǎn)

7、P恰好落在橢圓的右 頂點(diǎn)，即當(dāng)x=2時(shí)|MP|2取得最小值，而- 2豈x乞2故有4m _ 2= m _舟又點(diǎn)M在橢圓C 的長(zhǎng)軸上即 -2乞m乞2故實(shí)數(shù) m的取值范圍是 m：=g,2】。設(shè)直線 AB的方程為x = my 1 m R 把 x 二 my 1 代入；1 得 3m 4 y 6my-9 = 0 顯然也：>0 設(shè) AX,% ), B(x2,y2 )則漢 y? T% y?.又因?yàn)?5 5 =24，y1 七二 ，一財(cái)二(y< y2) -4 y 士 =48 計(jì)善令3 3m 則 t - 3, (% - y2)2二養(yǎng)由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以-詈故 (y1 -y2)2空9即S乞3故ABF1

8、面積的最大值等于3.解析幾何的最值求解離不開(kāi)目標(biāo)函數(shù)的建立，因目標(biāo)函數(shù)引入變量的背景不同，求法也不同，具體求最值可用到配方法，不等式法等。例6 (福建卷)拋物線 y2=4x上兩點(diǎn)A, B滿足|0A OB | 0A - OB |求 AB的中點(diǎn)C到 直線丨：x 一 2y = 0的距離最小值解 由題設(shè)知0A _ 0B點(diǎn)C的坐標(biāo)為(篤竺,些)設(shè)C到直線丨：x 一 2y = 0的距離為d則二7宀毛蘭所以，當(dāng)時(shí)d取最小值有5點(diǎn)評(píng)：本題為點(diǎn)到直線的距離最值，注意坐標(biāo)特征和配方法的運(yùn)用例7(全國(guó)競(jìng)賽題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A( ；，0)，點(diǎn)B在直線L： x=- 1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)B與L垂直的直線和 AB的中

9、垂線相交于點(diǎn) M。(I)求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡E的方程(H)設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R, N在y軸上，圓C: (x_1)2 y2 =1內(nèi)切于 PRN , 求PRN的面積的最小值。解，(I)設(shè)M(x,y)，由題設(shè)知|MB|=|MA|，所以動(dòng)點(diǎn) M的軌跡E是以A (吉,0 )為焦點(diǎn)，以x=- 1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2 =2x (n)設(shè)P(X0,y0), R (0, b) ,N(0,c),且b>c,故直線PR的方程為 (y0 b k -x0y + x0b = 0，由題設(shè)知圓心(1, 0)到直線PR的距離為1, 即2竺21注意到x02化簡(jiǎn)上式得x - 2b22y0x0=0 ,同理可得y。占 x

10、0x0 -2 c2 2y°c - x0 = 0由上可知b,c為方程x - 2 x2 2y°x - « = 0的兩根，根據(jù)求 根公式可得b-c= 4勺；勺=呂 故：PRN的面積為S珂b-cx,二筆=x0-2 + 為+4蘭2(滄_2 )啟 +4=8,當(dāng)且僅當(dāng)X0=4時(shí)等號(hào)成立此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(4, 22 )或(4, -22)所以 PRN的面積的最小值為 8.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線，圓，拋物線，函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，利用方程思想建立面積函數(shù)，然后用基本不等式求最值。2例7 (陜西卷)點(diǎn)P是雙曲線專一 x2 =1上一點(diǎn)，點(diǎn)A,B在

11、雙曲線的兩條漸近線上，且分 別位于第一，二象限，若 AP二，PB,3,21求 AOB面積的最值解析：因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為y=_2x ,可設(shè)點(diǎn)A(m,2m),B(-n,2 n),m, n>0,由 AP = 'PB得P 尹：，2尸，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y：-x2 =1化簡(jiǎn)得mn =設(shè)一 AOB = 2打，tan 邁“ =2,； tanT =舟,sin 2T =害又 |OA = . 5m, OB = .、5n 所 以 S a o=b；|OAOB sin2v -2mn 二廠- 1,E，2】，S， = 4 - 1 在 畀 1 上單 調(diào)遞減，在1,2 上單調(diào)遞增，所以當(dāng)& = 1時(shí)

12、,也AOB面積取得最大值弓當(dāng)九=1時(shí)，AAOB 面積取得最小值2.2例8(浙江卷)設(shè)點(diǎn)A是橢圓G： ； x2 =1的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C2：y=x2+h(hR)上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M,N，當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)， 求h的最小值。分析:設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，利用線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，建立變量h與t的關(guān)系，再用函數(shù)與方程思想求h的最小值。2解析：設(shè)點(diǎn)M X1,y1，N X2, y2 ,P( t,t h)則拋物線在點(diǎn)P處的切線即直線 MN的方程 為 y = 2tx -t2 h 將 y = 2tx -t2 h 代入橢圓 C1 的方程得 4x2 2tx

13、 -12 h ? 一 4 = 0 , 即4(1+t2 x2 4t(t2 hk+(t2 hf 4 = 0,寫直線MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所 以有M =1t42 h 2th24.0設(shè)MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X3則X3仝二U h。1 22(1# )設(shè)線段PA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X4因?yàn)辄c(diǎn)A(1 ,0)則x4二羅。由題意得X3= X4則有t2V h t 1=0 于是也 2 =(1 + hf 4K0n h31 或 hE3，當(dāng) h 蘭3 時(shí)有 h + 2<0,4 <0 從而；1 ：:：0不符合要求，因此h _1。此時(shí) 冷.0成立，故h的最小值為1點(diǎn)評(píng)：由t21 h t 1=0得h = 7t -1

14、 -1由于自變量t的取值范圍不易求得，所以不宜用函數(shù)法求h的最小值，因此采用不等式先求得h的取值范圍，再確定其最小值。舉例9已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F且不平行于x軸的動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn) M。(1)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù) 列；(2)設(shè)直線MF交該拋物線于 C,D兩點(diǎn)，求四邊形 ABCD面積的最小值。分析：利用垂直關(guān)系建立面積關(guān)于k的函數(shù)，然后運(yùn)用均值不等式求最值。解析:(1)由已知，得F (0，1)，顯然直線 AB的斜率存在且不為 0,則可設(shè)直線 AB的方程x2 =4y2為 y=kx+1(k 豐 0), A (x1, y,

15、), B(X2,y2),由，消去 y，得 x2-4kx-4=0,顯然= kx +1匚=16k2+16>0. X1+X2=4k, X1X2=-4,由 x2=4y，得 y= 4 x2, y =*x, 直線 AM 的斜率為1 1 2kAM = 2 X1.直線 AM 的方程為 y-y 1= 2 X1(x-X1),又 X1 =4y1,直線 AM 的方程為 X1X=2(y+y 1)同理，直線BM的方程為X2x=2(y+y 2)由-并據(jù)乂仟X2，得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x= -2 ( X1+X2).即A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。（2）由易得y=-1,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k,-1） （k豐0）.kMF= -1，則直線 MF 的方程為 y= ?x+1,又 |AB|= 1 k X! X2=4（k +1）.用一k