選修2-1知識(shí)總結(jié)

1、選修2-1知識(shí)點(diǎn)小結(jié)第一章常用邏輯用語(1) 命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或” “且” “非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫的拉丁字母 p, q, r, s, 表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q; p且q ;非p。(2) 復(fù)合命題的真值“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p非p真假假真p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:注：1像上面表示命題真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與 p的真假相反；“ p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“ p

2、或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3。真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。(3) 四種命題如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原 命題的否命題;如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，這個(gè)命題叫 做原命題的逆否命題。兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題.若判斷一個(gè)命題的真假較困難

3、時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。（4）條件一般地，如果已知 p q，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件?？煞譃樗念悾海? ）充分不必要條件，即 p q,而q p ； （2）必要不充分條件，即 p q,而q p ； （3）既充分又必 要條件，即p q，又有q p ； （4）既不充分也不必要條件，即 p q，又有q p。一般地，如果既有 p q,又有q p,就記作：p q. “ ”叫做等價(jià)符號(hào)。p q表示p q且q p。這時(shí)p既是q的充分條件，又是 q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。（5）全稱命題與特稱命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全

4、稱量詞，并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞， 并用符號(hào)表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。注意：1.一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；2. 判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價(jià)命題，逆命題與其否命題是等價(jià)命題，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮判斷其等價(jià)命題的真假；3. 判斷命題充要條件的三種方法：（1）定義法；（2）禾U用集合間的包含關(guān)系判斷，若 A B，則A是B的充分

5、條件或B是A的必要條件；若A=B則A是B的充要條件；（3）等價(jià)法：即利用等價(jià)關(guān)系A(chǔ) B B A判斷，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法；第二章圓錐曲線與方程一. 曲線方程（1）求曲線（圖形）方程的方法及其具體步驟如下:步驟含義說明1、“建”：建立坐標(biāo)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)（1）所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐系，用（x,y）表示曲線上（2）沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。標(biāo)。任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。2、現(xiàn)（限）：由限制寫出適合條件 P的點(diǎn)M這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使條件，列出幾何等的集合 P=M|P(M)寫出的條件簡明正確。式

6、。3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件常常用到一些公式。P(M), 列出方程f(x,y)=04、“化”：化簡化方程f(x,y)=0 為最簡要注意冋解變形。形式。5、證明證明化簡以后的方程的化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪上的點(diǎn)。去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”(2) 求曲線方程的常見方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)

7、依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。待定系數(shù)法2 圓錐曲線綜合問題(1)圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解 決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，

8、將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法：設(shè)圓錐曲線 C： f(x, y)=0與直線l : y=kx+b相交于A(x1, y1)、巳x2, y2)兩點(diǎn)，則弦長| AB為：(1) |AB| 1-t? ” I工i -電Jl + k? *(葢1 爼 J丁 _ 壯耳或|AB|=炳-尹滬*一存十力一知仇”若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn) F,則可用焦半徑求弦長，|AB=| AF|+| BFJ 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要 考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)的取值范圍。(2) 對(duì)稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂

9、直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法。(3) 實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問 題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測(cè)，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是:建立坐標(biāo)系(4) 知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。2 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1點(diǎn)M(xO, yO)與圓錐曲線C: f(x , y)=0的位

10、置關(guān)系曲錢條件結(jié)諸圓1|4|1|= 2a 竽十爭“點(diǎn)在曲線上悶州碼1為孚+密1點(diǎn)狂曲線外點(diǎn)在曲經(jīng)內(nèi)曲線唄|隅|=2a節(jié)-一靜=1點(diǎn)在曲線上|M珂-1隅沁鮎卑靜1點(diǎn)在曲銭外唄I陌|血尋一尊1點(diǎn)在曲絨內(nèi)物|MF網(wǎng) y2肥盍在曲爆上m d y02 2 肌點(diǎn)在曲線外|MF| d y02 0 )焦點(diǎn)的弦，A(xi , yi)、B (x 2 ,y 2 ),直線在準(zhǔn)線上射影的張角為90 :112|FA|FB|PAB的傾斜角為B,則 x 1X2= P , y iy2= p24 |AB|= 2P以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)sinF對(duì)A、第三章 空間向量與立體幾何一、空間向量及其運(yùn)算1 空間向量的概念向量：在

11、空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向 線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2.向量運(yùn)算和運(yùn)算律OB OAAB aBA OA OBa b OP a( R)加法交換率:a.加法結(jié)合率:(a b)a (b c).數(shù)乘分配率:(a b)a b.說明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率,然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法

12、的平行四邊形法 則在空間仍成立。3平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。a平行于b記作a / b 。注意：當(dāng)我們說 a、b共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說a、b平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a （ a豐0 ）、b , a / b的充要條件是存在實(shí)數(shù)使b = a注：上述定理包含兩個(gè)方面：性質(zhì)定理：若a / b （ a豐0）,則有b = a，其中 是唯一確定的實(shí)數(shù)。判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使b = a （ a豐0）,則有a / b （若用此結(jié)論判斷 a、b所在

13、直線平行，還需 a （或b ）上有一點(diǎn)不在 b （或a）上）。對(duì)于確定的和a , b = a表示空間與a平行或共線，長度為| a|，當(dāng)0時(shí)與a同向，當(dāng) 0時(shí)與a反向的所有向量。若直線l / a , A l , P為I上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)op的表達(dá)式。推論：如果 I為經(jīng)過已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)Q點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式OP OA ta其中向量a叫做直線I的方向向量。OP (1 t)OA tOB.OP 2(OA OB)-在I上取AB a，則式可化為當(dāng)t 1時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則2 或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式

14、，是線段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式（* ）、（ * ）既是表示式，的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解 決三點(diǎn)共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在直線與平面平行或a在 平面內(nèi)，我們就說向量 a平行于平面 ，記作a / 。注意：向量a / 與直線a/ 的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個(gè)向量 a、b不共線，則向量 p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使p xa yb.注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn) P位于平面MAB的充要條件是存在有序

15、實(shí)數(shù)對(duì) x、y,使MP xMA yMB,或?qū)臻g任一定點(diǎn) O 有OP OM xMA yMB.在平面MAB,點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x, y ）是唯一的。式叫做平面 MAB勺向量表示式。又 MA OA OM ,. MB OB OM,.代入，整理得OP （1 x y）OM xOA yOB.由于對(duì)于空間任意一點(diǎn) P,只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB;對(duì)于平面MA餉的任意一點(diǎn)P,都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個(gè)向量MA、MB （或不共線三點(diǎn) M A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是 M A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、

16、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量， 存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y,z,使 p xa yb zc.說明：由上述定理知，如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|p xa yb zc,x、y、z R，這個(gè)集合可看作由向量 a、b、c生成的，所以我們把 a , b , c 叫做空間的一個(gè)基底，a , b , c都叫做基向量；空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指0可視為與任意非零向量共線。個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面

17、就隱含著它們都不是o。推論：設(shè)O A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)OP xOA yOB zOC.6 數(shù)量積(1)夾角：已知兩個(gè)非零向量夾角，記作a, b(1)AaOb b，則角/ AOB叫做向量a與b的a、b，在空間任取一點(diǎn)(3)(4)說明：規(guī)定0 b (a b)r r a b =b ar r r r r r r a (bc)ab二、立體幾何中的向量方法1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。(1) 異面直線所成的角的范圍是 (0,。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面2問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下： 利用定義構(gòu)造角，可固

18、定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上； 證明作出的角即為所求的角； 利用三角形來求角。(2) 直線與平面所成的角的范圍是0,。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。2具體步驟如下: 找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； 連結(jié)垂足和斜足， 得出斜線在平面的射影， 確定出 把該角置于三角形中計(jì)算。所求的角;線所成的一切角中的最小角,即若0為線面角，a為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有注：斜線和平面所成的角， 是它和平面內(nèi)任何一條直(3) 確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法: 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； 如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩

19、邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； 利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4) 二面角的范圍在課本中沒

20、有給出，一般是指(0,，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法B/1a棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面 角的平面角; 面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足) 斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； 空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平 面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：S S cos ( S為原斜面面積，S為射影面積，為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于

21、斜面為三角形 ，任意多邊形都成立是求二面角的好方法當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí) ，如果能 找得斜面面積的射影面積，可直接應(yīng)用公式，求出二面角的大小。2. 空間的距離(1) 點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P到直線 a的距離為點(diǎn)P到直線 a的垂線段的長，常先找或作直線 a所在平面的垂線， 得垂足為A,過A作 a的垂線，垂足為E連pe,則由三垂線定理可得線段pe即為點(diǎn)P到直線a的距離。在直角三角形PAB中求出PE的長即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)P到平面的垂線段的長常用求法作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)A,B到斜足C的距離AB,AC的比為m：n，則點(diǎn)A,B到平面的距離之比也為 m:n .特別地，AB = AC時(shí)，點(diǎn)a,b到平面的距離相等；體積法(2) 異面直線間的距離：異面直線a，b間的距離為a，b間的公垂線段的長常有求法先證線段AB為異面直線a，b的公垂線段，