第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)：電子的自旋

1、第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 1 頁(yè) 共 13 頁(yè)第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)：電子的自旋玻爾理論考慮了原子主要的相互作用即核與電子的靜電作用，較為有效地解釋了氫光譜。不過(guò)人們隨后發(fā)現(xiàn)光譜線還有精細(xì)結(jié)構(gòu)，這說(shuō)明還需考慮其它相互作用即考慮引起能量變化的原因。本章在量子力學(xué)基礎(chǔ)上討論原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)。本章先介紹原子中電子軌道運(yùn)動(dòng)引起的磁矩，然后介紹原子與外磁場(chǎng)的相互作用，以及原子內(nèi)部的磁場(chǎng)引起的相互作用。說(shuō)明空間量子化的存在，且說(shuō)明僅靠電子的軌道運(yùn)動(dòng)不能解釋精細(xì)結(jié)構(gòu)，還須引入電子自旋的假設(shè)，由電子自旋引起的磁相互作用才是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的主要因素。 4-1原子中電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩1. 經(jīng)典表示式在經(jīng)典電磁學(xué)中載流線圈

2、的磁矩為iSn?。 ( 若不取國(guó)際單位制，則iSn ) （ S 為電流所c圍的面積， n 是垂直于該積的單位矢量。這里假定電子軌道為圓形，可證明，對(duì)于任意形狀的閉合軌道，其結(jié)果不變。 ）電子繞核的運(yùn)動(dòng)必定有一個(gè)磁矩，設(shè)電子旋轉(zhuǎn)頻率為v2，r則原子中電子繞核旋轉(zhuǎn)的磁矩為：iSe r 2ne vr 2 ne mevr ne L2 r2me2me定義 旋磁比 ：def e，則電子繞核運(yùn)動(dòng)的磁矩為L(zhǎng)2me上式是原子中電子繞核運(yùn)動(dòng)的磁矩與電子軌道角動(dòng)量之間的關(guān)系式。磁矩與軌道角動(dòng)量L 反向，這是因?yàn)榇啪氐姆较蚴歉鶕?jù)電流方向的右手定則定義的，而電子運(yùn)動(dòng)方向與電流反向之故。從電磁學(xué)知道，磁矩在均勻外磁場(chǎng)中不

3、受力，但受到一個(gè)力矩作用，力矩為B力矩的存在將引起角動(dòng)量的變化，即dLBdt由以上關(guān)系可得dB，可改寫(xiě)為 ddtdt拉莫爾進(jìn)動(dòng)的角速度公式：B ，表明：在均勻外磁場(chǎng)B 中高速旋轉(zhuǎn)的磁矩不向B 靠攏，而是以一定的繞 B 作進(jìn)動(dòng)。的方向與B 一致。 進(jìn)動(dòng)角頻率 （ or拉莫爾頻率）為：L2第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 2 頁(yè) 共 13 頁(yè)2. 量子化條件此前的兩個(gè)量子數(shù)中，主量子數(shù)n 決定體系的能量，角動(dòng)量量子數(shù)l 決定軌道形狀。軌道平面方向的確定：當(dāng)有一個(gè)磁場(chǎng)存在時(shí)，磁場(chǎng)B 的方向即為參考方向，軌道平面的方向也才有意義。軌道角動(dòng)量L 垂直于軌道平面，它相對(duì)于磁場(chǎng)方向( 定義為z) 的角度決定了軌道平面

4、的方向，如右圖示。此前得到角動(dòng)量量子化條件為：Ll ,l1,2,3,鑒于量子力學(xué)的本質(zhì)，將此條件作一原則性改動(dòng)，取由量子力學(xué)計(jì)算所得的結(jié)果 Ll( l1 ) ,l0,1,2,，由此引入第三個(gè)量子化條件：Lz m,m l ,l1,l顯然，對(duì)于一固定的l，有 (2l) 個(gè) m值。13. 角動(dòng)量取向量子化根據(jù)軌道角動(dòng)量及其分量的量子化條件Ll (l1),l0,1,2做出其矢量模型示意圖( 右Lzm,ml ,l1, , l圖 ) 。其 特點(diǎn)是 L 不能與 z 方向重合 ，這正是對(duì)角動(dòng)量量子化條件改動(dòng)而產(chǎn)生的效果。將以上量子化條件代入磁矩和磁矩在 z方向投影的表達(dá)式z有：Ll (l1)BzLzmm B令

5、Be0.578810 4 eV T 1，2me稱為 玻爾磁子 ，是軌道磁矩的最小單元。是原子物理學(xué)中的一個(gè)重要常數(shù)。可改寫(xiě)為B1 e22e1 ( ea1) ，式中1為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，a1 是第一玻爾半徑。2 c mee22137此式說(shuō)明磁相互作用至少比電相互作用小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 3 頁(yè) 共 13 頁(yè)4-2 史特恩 - 蓋拉赫實(shí)驗(yàn) （在外加非均勻磁場(chǎng)中原子束的分裂）1921 年，史特恩和蓋拉赫首次作實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電子自旋的存在，是對(duì)原子在外磁場(chǎng)中取向量子化的首次直接觀察，是原子物理學(xué)中最重要的實(shí)驗(yàn)之一，實(shí)驗(yàn)裝置如右圖示。從加熱爐 O中發(fā)出一束氫原子蒸氣（由于爐溫不很高，故原子處于基

6、態(tài)） ，原子速度滿足于1 mv23 kT ，氫原子先后穿過(guò)22兩個(gè)狹縫后即得到沿x 方向運(yùn)動(dòng)的速度為v 的氫原子束。原子束穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)最后落在屏上。0為使氫原子束在磁場(chǎng)區(qū)受力，要求磁場(chǎng)在A 的線度范圍內(nèi)是非均勻磁場(chǎng)（實(shí)驗(yàn)的困難所在）。沿 x 方向進(jìn)入磁場(chǎng)的原子束只在Z 方向上受力， FzBZzzxvt原子束在磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為：z11 FZ t 22 m原子經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)（長(zhǎng)度為D）后，與 x 軸線的偏角為：tg1 dztg ( Fzt ) dtg 1 Fzddxmvmv2當(dāng)原子束落至屏上 P 點(diǎn)時(shí)，偏離 x 軸的距離為 z2BzdD。z3kTz式中zcos，見(jiàn)右上圖。由以上討論知，不僅呈量子化，在

7、 z 方向的投影也呈量子化，因?yàn)橹挥羞@樣，z2 的數(shù)值才可能是分立的。故從實(shí)驗(yàn)測(cè)得 z2 是分立的，反過(guò)來(lái)證明呈量子化。此實(shí)驗(yàn)是空間量子化最直接的證明，它是第一次量度原子基態(tài)性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)。以上只考慮了電子的軌道運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將電子的自旋也考慮進(jìn)來(lái)，即原子的總磁矩是由軌道和自旋兩部分磁矩合成的。只有全BzdD面 考 慮 才 能 解 釋 氫 原 子 在 非 均 勻 磁 場(chǎng) 中 的 偶 分 裂 現(xiàn) 象 。 于 是 z2z中 的z3kT第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 4 頁(yè) 共 13 頁(yè)zmJ g J B ，即 z2mJ gJ BBZdDz3kT在運(yùn)用上式時(shí)須注意單位，3kT 的單位應(yīng)取 eV 。由于 mJJ, J1

8、,J 共有 (2J1) 個(gè)值，所以就有 (2J1) 個(gè)分裂的 z2 值，即在感光板上有 (2J1) 個(gè)黑條，表明了(2J1) 個(gè)空間取向。由此得出一種通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定g 因子的重要方法?？蓳?jù)上式解釋單電子或多電子體系的各種原子的史特恩- 蓋拉赫實(shí)驗(yàn)結(jié)果。對(duì)于氫（單電子），因 氫 原 子 處 于 基 態(tài) ， n 1, l0, s10 s11， 進(jìn) 而 可 得 出 g j2，故有, j, m j222mJ gJ1于是與具體實(shí)驗(yàn)參數(shù)相對(duì)應(yīng)的z2B BZdD0.578810 4 eV / T10T / m38.6171m2m7 104K1.12cmz3kT10 5 eV / K以上計(jì)算結(jié)果表明處于基態(tài)的氫

9、原子束在不均勻磁場(chǎng)作用下分裂為兩層，各距中線1.12cm，與實(shí)驗(yàn)甚符。史特恩 - 蓋拉赫 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：1）原子在外磁場(chǎng)中的取向呈量子化；2）電子自旋假設(shè)是正確的，氫原子在磁場(chǎng)中只有兩個(gè)取向即s1；23）電子自旋磁矩的數(shù)值為szB , g s2 。 4-3 電子自旋的假設(shè)1. 烏侖貝克與古茲米特（ 1925 年，時(shí)年不到 25 歲的荷蘭學(xué)生）的電子自旋假說(shuō)從史特恩 - 蓋拉赫實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)偶數(shù)分裂的事實(shí)，給人啟示，要使(2l1) 為偶數(shù)，只有角動(dòng)量為半整數(shù)。而軌道角動(dòng)量是不可能為半整數(shù)的。烏侖貝克與古茲米特根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)提出假設(shè)：1）電子不是點(diǎn)電荷，除軌道角動(dòng)量外還有自旋運(yùn)動(dòng)，具有固有的自旋角動(dòng)量

10、S（內(nèi)稟角動(dòng)量） ，Ss(s 1) , s1sz1。它在 z 方向的分量只有兩個(gè)：。即自旋量子數(shù)在 z 方向的分量221ms， ms1只能取， Sz222）電子因自旋而具有的自旋磁矩（內(nèi)稟磁矩）與自旋方向相反，在 z 方向的分量為1 個(gè)玻爾磁子，即為經(jīng)典數(shù)值的兩倍。s3 B（s 的存在標(biāo)志著電子還有一個(gè)新的物理自由度）szB玻爾磁子 e.1023J/T.104 eV/TB2me0 92740 5788在此之前已得到電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩為l第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 5 頁(yè) 共 13 頁(yè)l (l1)B。電子與自旋相聯(lián)系的磁矩類似l zmm Bss(s1) B3B2于電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩，可寫(xiě)出電子自旋的

11、磁矩為1。但這兩個(gè)式子szmsBB2與實(shí)驗(yàn)不符，為與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符，烏侖貝克與古茲米特進(jìn)一步假設(shè)：電子的磁矩為一個(gè)玻爾磁子，即為經(jīng)典數(shù)值的 2 倍。從以上的討論可知：s 3 BszBse 、le ，兩者相差一倍。S meL2me電子自旋假設(shè)受到各種實(shí)驗(yàn)的支持，是對(duì)電子認(rèn)識(shí)的一個(gè)重大發(fā)展。狄拉克于 1928 年找到一種與狹義相對(duì)論相融洽的理論，可由狄拉克量子方程得出電子自旋的自然結(jié)果。反過(guò)來(lái)看，電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩為ll (l 1) B在原子體系中并不普遍成立。l zmm B電子自旋假設(shè)是經(jīng)典物理學(xué)是無(wú)法接受的。如將電子自旋視為機(jī)械自旋，可證明電子自旋使其表面的切向線速度將超過(guò)光速。正因?yàn)槿绱?，這一

12、假說(shuō)一開(kāi)始就遭到很多反對(duì)，但后來(lái)的事實(shí)證明，電子自旋的概念是微觀物理學(xué)中最重要的概念。（電子的自旋不能理解為像陀螺一樣繞自身軸旋轉(zhuǎn)，它是電子內(nèi)部的屬性，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。它在經(jīng)典物理中找不到對(duì)應(yīng)物，是一個(gè)嶄新的概念）2. 朗德因子（ g 因子）定義一個(gè) g 因子，使得對(duì)任意角動(dòng)量j 所對(duì)應(yīng)的磁矩以及它們?cè)趜 方向上的投影都成立。表示為jj ( j1)g jBjZm j g jBg 因子是反映物質(zhì)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要物理量，但至今仍是一個(gè)假設(shè)，它可以表示為：3s(s 1)l (l 1)s0,l0ggl1g2 j ( j1)s0,l0gg s22引入 g 因子后，電子的軌道磁矩、自旋磁矩和總磁矩以及在

13、z 方向的分量分別表示為：第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 6 頁(yè) 共 13 頁(yè)lgll (l1)Bgss(s1)當(dāng)只考慮軌道角動(dòng)量時(shí)，sBjg jj ( j1)Blzml gl B當(dāng)只考慮自旋角動(dòng)量時(shí)，szms gs Bjzm j g j Bj l , gl 1，則ll (l1) Bmm Bl zj s,gs 2，則s3 BszB3. 原子的磁矩電子的磁矩和原子核的磁矩合成原子的磁矩。由于原子核的磁矩比電子磁矩小3 個(gè)數(shù)量級(jí)，一般可不考慮。因此，對(duì)單電子原子電子的磁矩即為原子的磁矩。對(duì)多電子原子，當(dāng)為L(zhǎng) S 耦合時(shí)，3S(S 1)L(L 1)g 因子仍具有與以上相同的形式： g2J(J1)2原子的磁矩

14、及其在z 方向的分量為：JgJ (J1)BJ zmg B4. 角動(dòng)量的合成電子的自旋和軌道運(yùn)動(dòng)相互耦合的總角動(dòng)量可表示為：JLS按矢量合成法則有：J 2L2S22LS cosL2S22LSL S1(J2L2S2 )2須注意的是，并非按上式求出的J 都合乎要求。量子數(shù) j 的取值由角量子數(shù)l與自旋量子數(shù)s 決定，最大值是（l s ），最小值是ls。量子力學(xué)可證明， j可能的取值是：jls,ls1, ls由此得： LS j ( j 1)l (l1)s(s1) 。所以，總角動(dòng)量可表示為：JLS2Ll (l1),l 1,2,n1量子化的 L 、S、J 的大小分別為：Ss( s1), s1/2Jj(j1

15、)，j ls.ls 1,l s* 單電子的g 因子表達(dá)式第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 7 頁(yè) 共 13 頁(yè) 4-4 堿金屬雙線（堿金屬原子的光譜）1. 電子態(tài)和原子態(tài)的表示方法角量子數(shù) l 0,1,2,3,4,5 對(duì)應(yīng)的電子態(tài)用小寫(xiě)字母s, p, d , f , g ,h, 表示。如果不考慮原子內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)， 可用價(jià)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表示整個(gè)原子的狀態(tài)，習(xí)慣上用大寫(xiě)字母S, P,D,F,G, H表 示 與 l0,1,2,3,4,5 對(duì)應(yīng)的原子態(tài)。在這些字母前可寫(xiě)上主量子數(shù)的數(shù)值。如 2S表示n2, l0 的原子態(tài)或原子能級(jí)。原子態(tài)常用表示方法（以2S1/ 2為例）： j 的數(shù)值在右下角（對(duì)多電子原子取

16、J 值）；左上角表示(2s1) ，對(duì)多電子原子取(2S 1)。由于單電子的 s 1/ 2 ，因而 (2s 1)2 ，代表雙重態(tài)。2. 堿金屬原子的光譜堿金屬元素的原子光譜結(jié)構(gòu)相似，一般觀察到的4 個(gè)線系為主線系、漫線系（第一輔線系）、銳線系（第二輔線系）和基線系（柏格曼系）。從鋰的光譜線系分析，主線系的波長(zhǎng)范圍最廣，第一條是紅的，其余在紫外區(qū)；漫線系在可見(jiàn)光區(qū)；銳線系第一條在紅外區(qū)，其余在可見(jiàn)光區(qū)；基線系在紅外區(qū)。其它堿金屬元素有相仿的光譜系，只是不同。2. 堿金屬原子光譜的特征 （以鋰的原子能級(jí)圖為例）1）有 4 組初始位置不同的譜線，但有3 個(gè)終端，表明有4 套動(dòng)項(xiàng)和 3 套固定項(xiàng)；2）與

17、主量子數(shù)和角量子有關(guān)（氫原子能級(jí)只與n 有關(guān)）；3）能級(jí)躍遷的選擇定則：只有當(dāng)l1 時(shí)，兩能級(jí)間的躍遷才是允許的。里德伯提出 堿金屬原子光譜的波數(shù) ： Rnn*2式中 是線系限的波數(shù) 。但從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的量子數(shù)n*不是整數(shù) （堿金屬與氫不同之處） ，而要減去一個(gè)與角量子數(shù)有關(guān)的很小的改正數(shù)l ，改寫(xiě)后 n 仍為整數(shù)。第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 8 頁(yè) 共 13 頁(yè)堿金屬原子的光譜項(xiàng)RR： T*2(n - l )2n堿金屬原子的能級(jí)：EnlRhc(nl ) 23. 原子實(shí)極化和軌道貫穿 （解釋堿金屬原子能級(jí)與氫原子能級(jí)的差別）堿金屬元素Li 、 Na、K、 Rb、 Cs、 Fr 都是多電子原子，

18、在元素周期表中屬同一族，具有相同的化學(xué)性質(zhì)，都是一價(jià)的，易失去外層電子而成為正離子，可要使之再次電離卻很困難。一次電離電勢(shì)約 50V，二次電離卻要大得多。堿金屬原子與氫原子的光譜公式相仿。n 很大時(shí)，兩者的能級(jí)很接近；當(dāng) n 小時(shí)兩者的差別較大，由此可設(shè)想它們的光譜也是由于單電子的活動(dòng)產(chǎn)生的。堿金屬的Z 可按一定的規(guī)律排列成整齊的形式，說(shuō)明原子中電子的組合有一定規(guī)，即在一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)之外多余一個(gè)電子，而這個(gè)完整的結(jié)構(gòu)稱為原子實(shí)， 原子實(shí)外面的那個(gè)電子稱價(jià)電子。價(jià)電子在較大的軌道上運(yùn)動(dòng)，極易脫離原子實(shí)。它可從最小軌道（不是原子中的最小軌道）被激發(fā)到高能軌道，或從高能軌道躍遷到低能軌道發(fā)出輻射。堿

19、金屬原子由原子實(shí)和價(jià)電子構(gòu)成，有兩種情況是氫原子所沒(méi)有的。這就是原子實(shí)的極化和軌道貫穿。原子實(shí)的極化和軌道貫穿理論能很好地解釋堿金屬原子能級(jí)同氫原子能級(jí)的差別。1）原子實(shí)的極化原子實(shí)的結(jié)構(gòu)是球形對(duì)稱的，價(jià)電子接近原子實(shí)時(shí)，吸引原子實(shí)的正電荷排斥負(fù)電荷，致使原子實(shí)的正負(fù)電荷中心發(fā)生微小的相對(duì)位移而不再重合， 形成一個(gè)電偶極子， 這就是原子實(shí)的極化。 偶極矩 p 總指向價(jià)電子， 所以偶極矩的電場(chǎng)總是吸引價(jià)電子， 因此，價(jià)電子受原子實(shí)電場(chǎng)和原子實(shí)極化產(chǎn)生的偶極矩的共同作用，此時(shí)價(jià)電子的勢(shì)能為EP1(e2ep2) ，顯然，價(jià)電子的能量降低了。40rr2）軌道貫穿價(jià)電子的部分軌道穿入原子實(shí)稱軌道貫穿。未

20、發(fā)生軌道貫穿時(shí)，原子實(shí)的有效電荷數(shù)是1，原子的能級(jí)與氫原子能級(jí)很接近；價(jià)電子處在軌道貫穿時(shí)，原子實(shí)的有效電荷數(shù)大于1，導(dǎo)致其能量較氫原子小，即相應(yīng)的能級(jí)低。軌道貫穿只能發(fā)生在偏心率大的軌道，所以它的l值一定是較小的。4. 堿金屬雙線（堿金屬原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，是在無(wú)外場(chǎng)情況下的譜線分裂）如用分辨率很高的儀器觀察堿金屬原子的光譜，會(huì)發(fā)現(xiàn)每一條譜線是由二至三條線組成，這稱為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。主線系和二輔系的譜線由兩條組成，一輔系和柏格曼系的譜線由三條組成。第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 9 頁(yè) 共 13 頁(yè)1）定性分析 ：堿金屬元素的原子光譜各線系的波數(shù)均可表示為兩波譜項(xiàng)之差，其活動(dòng)項(xiàng)與躍遷的初態(tài)對(duì)應(yīng)，固

21、定項(xiàng)與躍遷的末態(tài)對(duì)應(yīng)。這些譜線都有雙線結(jié)構(gòu)，說(shuō)明與躍遷的初態(tài)和末態(tài)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)能級(jí)中至少有一個(gè)存在“分裂” 。堿金屬雙線的存在，是提出電子自旋假設(shè)的根據(jù)之一。電子自旋角動(dòng)量s 只有兩個(gè)取向，必然導(dǎo)致對(duì)應(yīng)于一個(gè)軌道角動(dòng)量將會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)狀態(tài)。如：11/ 2 (2S1/ 2 )l 0j 01/ 2 (不可能之狀態(tài) )2l 113/2 (2P3/2)j 11/ 2 (2P1/2 )2什么樣的能級(jí)結(jié)構(gòu)才會(huì)產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)呢？以下結(jié)合較為簡(jiǎn)單的鋰的第二輔線系作定性分析。二輔系的譜線隨波數(shù)增加，雙線間距保持不變，可推想雙線是由同一原因引起的。鋰的第二輔線系是由 ns2p 躍遷產(chǎn)生的。 假設(shè)各 S 能級(jí)為單層能級(jí)，

22、但 2P 能級(jí)為雙層能級(jí)， 這樣的能級(jí)結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生光譜的雙線結(jié)構(gòu)，其波數(shù)差決定于2P 能級(jí)分裂的大小，故雙線間隔不變。如進(jìn)一步假設(shè)所有P 能級(jí)都是雙層的，且雙層能級(jí)間的間隔隨n 的增大而漸減，則可解釋主線系的雙線結(jié)構(gòu)。 假設(shè)諸D 能級(jí)至少是雙層的，如右圖示，諸D 能級(jí)向 2P雙層能級(jí)躍遷， 可產(chǎn)生 4 條譜線（如右圖示）。但實(shí)際上只觀察到3 條譜線，意味著這種躍遷還應(yīng)遵循另外的選擇定則（后面介紹） 。2）自旋軌道相互作用（定量分析）以上假設(shè)雖能解釋堿金屬光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，但沒(méi)有說(shuō)明能級(jí)為何會(huì)分裂。以下將證明，能級(jí)的多重結(jié)構(gòu)是由電子的自旋磁矩和軌道磁矩的相互作用引起的。據(jù)運(yùn)動(dòng)相對(duì)性， 價(jià)電子繞原子實(shí)

23、的運(yùn)動(dòng)可看成是原子實(shí)以同樣的速率v 沿相反方向繞電子運(yùn)動(dòng)。首先在電子靜止的坐標(biāo)系中考慮。原子實(shí)的有效電荷數(shù)為Z ，它繞電子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在電子處產(chǎn)生的磁場(chǎng) B 與電子自旋磁矩s 的相互作用稱為 自旋軌道相互作用。引起的 “附加能量” 稱為 自旋軌道耦合能 （即電子內(nèi)稟磁矩在磁場(chǎng)作用下具有的勢(shì)能）： UsB 。據(jù)畢薩定律， B0Zer v ，而電子自旋磁矩為ses ，（其中自旋角動(dòng)量s 在空間4r 3me第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 10 頁(yè) 共 13 頁(yè)任意方向上的投影只能取兩個(gè)值：sz1）2考慮到12，并將2lr mevZkemeZkec0e和代入，可得：B3 r v3 lEm c?E0 rE0 r0

24、0利用 ss(s 1) gsB , ss( s1) ，有：sgsB s所以有： UZg s KeB s lE0 r 3上式是在電子靜止坐標(biāo)系中得到的，而我們需要的是原子實(shí)靜止的坐標(biāo)系，由于相對(duì)論效應(yīng)，這兩個(gè)坐標(biāo)系不等效。1926 年托馬斯通過(guò)相對(duì)論坐標(biāo)變換，得到了相對(duì)于原子實(shí)靜止的坐標(biāo)系的附加能量為上式的一半，因此正確結(jié)果應(yīng)為：U1 Zg sKe B s l2 E0 r 3考慮到 gs 2, E0 me c2 , Be，則得到自旋 - 軌道耦合能： UZKe23s l2me22r2mec3. 精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距以下通過(guò)精確計(jì)算考察精細(xì)結(jié)構(gòu)的裂距。因要與實(shí)驗(yàn)值相比較，則要求得出相關(guān)的平均值。jsl可得

25、 s l1( j 2s2l 2 )1 j ( j 1) s(s 1) l (l 1) 2由s2l 2j 22s l2211 l2 , ( jl1)對(duì)于單電子可知其為雙能級(jí)，jl22（當(dāng)，有 s l1 (l 1) 2 ,( j1 )2l22與氫原子半徑相關(guān)的13 也必須求其平均值， 由 P.131所給結(jié)論知： ( 13 )33l (lZ 3rra1 n1/ 2)(l 1)a12，則 (1Z 3，只有在 n 很大時(shí)才與上式一致 若考慮到玻爾理論，有 rnr3 )n63Za1至此可得出電子自旋- 軌道耦合能為： U(Z)4E0j ( j1)l (l1)3 / 4 ,l04n3l (l11)(l2第四

26、章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 11 頁(yè) 共 13 頁(yè)U( Z)4E01; j l1 ,l02n3( 2l1)(l1)2所以，單電子的自旋 - 軌道耦合能 和差值分別為：U(Z)4E01; j l102n3(2l1)l,l2U(Z) 4E02n3l (l1)在單電子原子能譜中，起主導(dǎo)作用的靜電作用給出能譜的粗結(jié)構(gòu)，能量數(shù)量級(jí)為2 E0（ 12 E013.6eV ）；而自旋軌道作用所給出的能量差引起的精細(xì)結(jié)構(gòu)數(shù)量級(jí)為4 E0，是粗結(jié)構(gòu)2的2 倍， 這也是將稱為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的原因。由所得U 的結(jié)果知，雙線分裂間距（ or 精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距）隨Z 的增大而急劇增加，隨主量子數(shù)n 的增加而減少，這些結(jié)論與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符

27、。此外，Z 越大，裂距越大，所以堿金屬原子譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)比氫原子容易觀察到 。U(Z)4E0也可寫(xiě)成UZ 47.2510 4 eV 或者Z 45.84cm 12n3l (l1)n3l (l 1)n3l (l 1)例：氫原子2P 的分裂。按上式可得U14(11)7.2510 4 eV4.5310 5 eV ，231或者23145.84cm10.365cm1。這些都是與實(shí)驗(yàn)相符的精確結(jié)果。1(11)4. 單電子原子輻射的躍遷的選擇規(guī)則（可用量子力學(xué)導(dǎo)出） ：l1j0,1 4-5 塞曼效應(yīng) （塞曼：荷蘭物理學(xué)家）1. 正常塞曼效應(yīng)（ 1896）：置于強(qiáng)磁場(chǎng)中的光源的譜線會(huì)分裂為幾條（均為偏振的）的現(xiàn)

28、象。具有磁矩為（主要是體系中的電子的貢獻(xiàn)）的體系在外磁場(chǎng)B （方向沿 z 軸）中的勢(shì)能為：UBz Bmg B B式中 g 為朗德因子，在 z 方向的投影zmg B 。（為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，所有量均略去足標(biāo)J）考慮一個(gè)原子在E2E1 間的躍遷。無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)，h 0E2E1有外磁場(chǎng)時(shí)，hE2 E1(E2m2 g 2 B B) (E1m1 g1 B B) h 0(m2 g2m1 g1 ) B B當(dāng)體系的自旋為0 時(shí)， g2 g1 1，則： hh0( m2m1 )B B第四章原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)第 12 頁(yè) 共 13 頁(yè)B BeeBB4 me02me依選擇規(guī)則 m m2m1得： hh 00001eeBB BB2me4

29、 me以上結(jié)果表明，在外磁場(chǎng)中的一條譜線（0 ）將分為等間隔的三條，間隔值為eB 。這與實(shí)4 me際觀察所得結(jié)果相符。故稱為正常塞曼效應(yīng)。從以上的推導(dǎo)知此問(wèn)題無(wú)量子效應(yīng)，洛倫茲就用經(jīng)典方法算出正常塞曼效應(yīng)的結(jié)果。鑒此原因，將eB 稱為洛侖茲單位 。這樣一來(lái)， 正常塞曼效應(yīng)的3 條譜線的頻率間隔正好是一個(gè)洛倫茲單位。4 me洛倫茲單位的物理意義：在沒(méi)有自旋的情況下，一個(gè)經(jīng)典的原子體系的拉摩頻率L 。（拉摩：英國(guó)物理學(xué)家，曾提出物質(zhì)中電子的以太結(jié)構(gòu)理論，即原子中運(yùn)動(dòng)電子在磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)理論）LeBde14B(GHz )關(guān)于L的推導(dǎo)：由經(jīng)典表示的dtLB4 me24 meBe B2me式中是拉摩進(jìn)動(dòng)的角速度。上式表明，外加1T 的磁場(chǎng)而引起的分裂是14 109 Hz 。塞曼效應(yīng)的應(yīng)用之一：導(dǎo)出電子的荷質(zhì)比eme波長(zhǎng)已知的譜線在外磁場(chǎng)B 作用下產(chǎn)生正常塞曼效應(yīng)，測(cè)出分裂譜線的波長(zhǎng)差。由于分EB Bhce裂的能量間隔相等，故hcE2BE2 me由上式導(dǎo)出的e與 1897 年湯姆孫實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)值相符。me這也證明在分析塞曼效應(yīng)時(shí)所作的那些假設(shè)是成立的。*2. 塞曼效應(yīng)的偏振特性在電磁學(xué)中， 沿 z 方向傳播的電