(教學(xué)設(shè)計(jì)3)高三數(shù)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)圓與方程

1、高三數(shù)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)圓與方程課題：圓與方程 課時(shí)安排： 2 課時(shí)一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：圓與方程了解確定圓的幾何要素（圓心和半徑、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)等）.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，能根據(jù)問題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行互化.能根據(jù)直線與圓的方程判斷其位置關(guān)系（相交、相切、相離）；能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系（外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含）.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.用代數(shù)方法處理幾何問題的思想體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，感受“形”與“數(shù)”的對立和統(tǒng)一；初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.二、復(fù)習(xí)重難點(diǎn)：圓的標(biāo)

2、準(zhǔn)方程和一般方程三、高考內(nèi)容及要求：內(nèi) 容要 求ABC平面解析幾何初步圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系四、知識(shí)回顧：1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：一般方程：.2、兩圓位置關(guān)系：外離：；外切：；相交：；內(nèi)切：；內(nèi)含：.五、課堂教學(xué)：問題導(dǎo)學(xué)一：我們在解決直線和圓相切時(shí)應(yīng)注意哪些要點(diǎn)？例1、基礎(chǔ)訓(xùn)練：求以為圓心，并且與直線相切的圓的方程.探究1：過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為 解：設(shè)直線方程為，即.圓方程可化為，圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，直線方程為或.探究2：已知直線與圓相切，則的值為 .解：圓的圓心為（1，0），半徑為1，解得或.練習(xí)鞏固：求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都

3、相切的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為，則，解得或，圓的方程為或.問題導(dǎo)學(xué)二：直線被圓所截弦長的處理策略是什么?關(guān)鍵是借助圓的什么性質(zhì)？例2、基礎(chǔ)訓(xùn)練：求直線被圓截得的弦的長.探究1：直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.探究2：設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長為，則 .解：由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得，解得.練習(xí)鞏固：已知圓，直線.（1）求證：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓截得的弦長最小時(shí)的方程.解：（1）直線恒過定點(diǎn)，且，點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓恒交于兩點(diǎn).（2）由平面幾何性質(zhì)可知，當(dāng)過圓

4、內(nèi)的定點(diǎn)的直線垂直于時(shí)，直線被圓截得的弦長最小，此時(shí)，所求直線的方程為即.問題導(dǎo)學(xué)三：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？例3、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.探究1：直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 解：依題意有，解得.，.探究2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，的取值范圍是.練習(xí)鞏固：若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例4、基礎(chǔ)訓(xùn)練：判斷圓與圓的位置關(guān)系，并畫出圖形.探究1：圓和圓的位置關(guān)系是 解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑

5、，.，兩圓相交.探究2：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是 .解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，或，或，解得或，或或，實(shí)數(shù)的取值集合是.練習(xí)鞏固：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.兩圓外切于點(diǎn)，所求圓的方程為.問題導(dǎo)學(xué)五：和圓相關(guān)的最值有哪些解決途徑，體現(xiàn)那些思想方法？例5、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.探究1：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.探究2：已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 .解：設(shè)，則.設(shè)

6、圓心為，則，的最小值為.練習(xí)鞏固：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.問題導(dǎo)學(xué)六：如何利用已知條件挖掘求圓的方程的重要信息？例6、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.探究1：已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于 解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡得，點(diǎn)的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所求面積為

7、.探究2：由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .解：設(shè).=600，=300.，化簡得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，化簡得.當(dāng)時(shí)，化簡得，整理得；當(dāng)時(shí)，化簡得.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.問題導(dǎo)學(xué)七：圓中動(dòng)點(diǎn)的變化，帶來求其軌跡方程的方法是什么？例7、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.探究1：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡方程是 解：設(shè).，.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即，點(diǎn)的軌跡方

8、程是.探究2：已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 .解：設(shè).是的平分線， .由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，的中點(diǎn)為.是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.直線經(jīng)過定點(diǎn)，化簡得.點(diǎn)的軌跡方程是.問題導(dǎo)學(xué)八：實(shí)際生活中我們又該如何利用所學(xué)的圓知識(shí)進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”，來解決問題？例8、基礎(chǔ)訓(xùn)練：某圓拱橋的水面跨度20，拱高4.現(xiàn)有一船寬10，水面以上高3，這條船能否從橋下通過？探究1：某圓拱橋的水面跨度是20，拱高為4.現(xiàn)有一船寬9，在水面以上部分高3，故通行無阻.近日水位暴漲了1.5，為此，必須加

9、重船載，降低船身.當(dāng)船身至少應(yīng)降低 時(shí)，船才能通過橋洞.（結(jié)果精確到0.01）解：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓拱所在圓的方程為.圓經(jīng)過點(diǎn)（10，0），（0，4），解得.圓的方程是. 令，得.故當(dāng)水位暴漲1.5后，船身至少應(yīng)降低，船才能通過橋洞.探究2：據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在城正東方300的海面處有一臺(tái)風(fēng)中心，正以每小時(shí)40的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約 ，臺(tái)風(fēng)將影響城，持續(xù)時(shí)間約為 .（結(jié)果精確到0.1）解：以為原點(diǎn)，正東方向所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡是，受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是.依題意有，解得.從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0，臺(tái)風(fēng)將影響城

10、，持續(xù)時(shí)間約為6.6.練習(xí)鞏固：有一種商品，、兩地均有出售，且兩地價(jià)格相同.某地區(qū)的居民從兩地購買此種商品后往回販運(yùn)時(shí)，單位距離的運(yùn)費(fèi)地是地的3倍.已知、兩地的距離是10，顧客購買這種商品選擇地或地的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用比較便宜.求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出在曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地點(diǎn).解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)是售貨區(qū)域分界線上的任意一點(diǎn)，單位距離的運(yùn)費(fèi)為元，則，化簡得.、兩地售貨區(qū)域的分界線是以為圓心，為半徑的圓.因此在曲線內(nèi)的居民選擇去地購貨，在曲線外的居民選擇去地購貨，在曲線上的居民去、兩地購貨均可.六、反思總結(jié)

11、：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程2、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的要點(diǎn)3、復(fù)習(xí)、學(xué)到哪些解決問題策略，掌握了哪些數(shù)學(xué)思想方法七、作業(yè)安排：配套專題練習(xí)八、教學(xué)反饋：問題導(dǎo)學(xué)法通過創(chuàng)設(shè)特定的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生在解決面臨的問題中，主動(dòng)獲取和運(yùn)用知識(shí)、技能；激發(fā)其學(xué)習(xí)主動(dòng)性、自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造性解決問題的能力的課堂教學(xué)方式.本教學(xué)方式的三個(gè)基本特征是：以問題的提出和解決為中心.即教學(xué)過程不是簡單的知識(shí)傳遞講解過程，而是根據(jù)課本知識(shí)要求和學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把教學(xué)問題問題化.問題的提出和解決貫穿教學(xué)過程.以發(fā)展學(xué)生運(yùn)用知識(shí)綜合解決問題能力和創(chuàng)新意識(shí)及學(xué)習(xí)能力為重點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生自主合作探索學(xué)習(xí)為關(guān)鍵.即教師是教學(xué)過程中問題情境的創(chuàng)設(shè)者，解決問題