《選修11：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題》教案

1、.適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域蘇教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)1.恒成立問(wèn)題 2.存在性問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1. 能利用導(dǎo)數(shù)熟練解決恒成立問(wèn)題 2. 能利用導(dǎo)數(shù)熟練解決存在性問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)分辨恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)理解最大最小值成立【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個(gè)環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導(dǎo)入，比如講一個(gè)和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； 溫故知新，在知識(shí)體系中，從學(xué)生已有知識(shí)入手，揭示本節(jié)知識(shí)與舊知識(shí)的關(guān)系，幫學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在

2、局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)定義域上的函數(shù)值的比較(2)函數(shù)的極值不一定是最值，需對(duì)極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，或者考察函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值(4)可用函數(shù)的單調(diào)性求f(x)在區(qū)間上的最值，若f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)，若f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值二、知識(shí)講解考點(diǎn)1 恒成立問(wèn)題（1）恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：恒成立；（2）能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：能成立；（3）恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：在

3、M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值.（4）若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；（5）若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；考點(diǎn)2 存在性問(wèn)題（1）設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則（2）設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則。（3）設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則在上的值域M是在上的值域N的子集。即：MN。（4）設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則（5）設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則三 、例題精析類型一 恒成立問(wèn)題例題1已知函數(shù)，其中，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)

4、的取值范圍；【解析】由成立，只需滿足的最小值大于即可對(duì)求導(dǎo)，故在是增函數(shù)，所以的取值范圍是 【總結(jié)與反思】 在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值和最值往往都的聯(lián)立出現(xiàn)的，尤其是最值的求解過(guò)程中，一定會(huì)涉及到極值的求解部分，所以也可以說(shuō)：極值不一定是最值，但是最值一定是極值。例題2已知f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值2(1)求f(x)的解析式；(2)證明對(duì)任意x1、x2(1，1)，不等式f(x1)f(x2)4恒成立解：(1)由f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，知f(0)0，解得d0，所以f(x)ax3cx(a0)，f(x)3ax2c(a0)由當(dāng)x1時(shí)，f(x)取

5、得極值2，得f(1)ac2，且f(1)3ac0，解得a1，c3，所以f(x)x33x(2)令f(x)0，解得x1，或x1；令f(x)0，解得1x1，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1)內(nèi)為增函數(shù)，(1，1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，)內(nèi)為增函數(shù)故當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)的最大值是f(1)2，最小值是f(1)2，所以，對(duì)任意x1、x2(1，1)，|f(x1)f(x2)|2(2)4【總結(jié)與反思】 在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值和最值往往都的聯(lián)立出現(xiàn)的，尤其是最值的求解過(guò)程中，一定會(huì)涉及到極值的求解部分，所以也可以說(shuō)：極值不一定是最值，但是最值一定是極值。類型二 存在性問(wèn)題例題1已知，函數(shù)，設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍

6、【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，解，綜上，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即的取值范圍為?！究偨Y(jié)與反思】 本題主要考查含參數(shù)的單調(diào)性，在閉區(qū)間上通過(guò)單調(diào)性來(lái)求參數(shù)的取值范圍。例題2已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍【解析】因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.即能成立, 設(shè).由得, .于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是【總結(jié)與反思】本題主要考查含參數(shù)的單調(diào)性，在閉區(qū)間上通過(guò)單調(diào)性來(lái)求參數(shù)的取值范圍。四 、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)1.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .2. 設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值集合為 3. 若任意滿足的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_。 4.

7、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案與解析1. 【答案】 【解析】當(dāng)時(shí)，由得.2.【答案】【解析】由方程可得，對(duì)于任意的，可得，依題意得。3.【答案】【解析】由不等式可得，由線性規(guī)劃可得，由函數(shù)單調(diào)性得最大值為。xy034.【答案】【解析】畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)和在上的圖象如圖知當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)總有所以鞏固1. 不等式有解，則的取值范圍是 2. 已知兩函數(shù)，對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；3. 已知兩函數(shù)，存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；4. 已知兩函數(shù)，對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；5.已知兩函數(shù)，存在，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；答案與解析1. 【答案】【解析】原不等式有解有解，而，所以。2.【

8、答案】【解析】 設(shè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，故。令，得或。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，由，得。3.【答案】【解析】 據(jù)題意：存在，使成立，即為：在有解，故，知，于是得。4.【答案】【解析】 它與（1）問(wèn)雖然都是不等式恒成立問(wèn)題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：。 ，在區(qū)間上只有一個(gè)解。，即.5.【答案】【解析】存在，都有，等價(jià)于，由(3)得，拔高1.設(shè)函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若對(duì)任意的不等式成立，求a的取值范圍。2.設(shè) ，且 （ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求 與 的關(guān)

9、系；（2）若 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍；答案與解析1. 【答案】見(jiàn)解析.【解析】（）令得的單調(diào)遞增區(qū)間為 令得的單調(diào)遞減區(qū)間為 和 當(dāng) 時(shí)，極小值=當(dāng) 時(shí)，極小值= . （）由 ，得 .上是減函數(shù). 于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于又2. 【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1） 由題意得 而，所以（2）由 知 ，令，要使在其定義域 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 在 內(nèi)滿足： 或 恒成立. 當(dāng)時(shí)，所以在 內(nèi)為單調(diào)遞減，故； 當(dāng)時(shí)，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，只需，即 時(shí)， ， 在內(nèi)為單調(diào)遞增，故 適合題意. 綜上可得，或 .五 、課堂小結(jié)高考中對(duì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)上的應(yīng)用要求很高，而且每年都有考題

10、，用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性比較大，有難度，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要突破這個(gè)難關(guān)，提供綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。為了解決好下面的問(wèn)題，我們一定要學(xué)好導(dǎo)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)，掌握它的研究問(wèn)題的精髓，這樣有利于更好的研究函數(shù)，提高做題的質(zhì)量。本節(jié)課主要研究的內(nèi)容為：（1）函數(shù)中含參數(shù)的單調(diào)性與最值（2）函數(shù)中的最值問(wèn)題（3）用導(dǎo)數(shù)證明不等式六 、課后作業(yè)基礎(chǔ)1對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍。2存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)。3.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)求證：當(dāng)aln21且x0時(shí)，exx22a

11、x1.答案與解析1.【答案】見(jiàn)解析.【解析】不等式即,設(shè)，則在-2,2上恒大于0，故有：或2.【答案】見(jiàn)解析.【解析】設(shè)，由有解，又，解得。3.【答案】見(jiàn)解析.【解析】(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，)，f(x)在xln2處取得極小值，極小值為f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(

12、x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)aln21時(shí)，g(x)最小值為g(ln2)2(1ln2a)0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.鞏固1設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍2.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。3.設(shè)函數(shù)證明：當(dāng)時(shí)，；答案與解析1【答案】見(jiàn)解析.【解析】令，考慮到的定義域?yàn)?，故，進(jìn)而解得，即在上是單調(diào)減函數(shù)同理，在上是單調(diào)增函數(shù)由于在上是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng).又在上有最小值，所以.綜上，的取值范圍為2.【答案】見(jiàn)解析.【解析】當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增；且。當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，即當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)根。所以當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。3.【答案】見(jiàn)解析.【解析】當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，