戴維南定理例題

1、第四章 電路定理u 重點(diǎn)：1、疊加定理2、戴維南定理和諾頓定理u 難點(diǎn)：1、熟練地運(yùn)用疊加定理、戴維南定理和諾頓定理分析計(jì)算電路。2、掌握特勒根定理和互易定理，理解這兩個(gè)定理在路分析中的意義。4-1 疊加定理網(wǎng)絡(luò)圖論與矩陣論、計(jì)算方法等構(gòu)成電路的計(jì)算機(jī)輔助分析的基礎(chǔ)。其中網(wǎng)絡(luò)圖論主要討論電路分析中的拓?fù)湟?guī)律性，從而便于電路方程的列寫。4.1.1 幾個(gè)概念1 線性電路Linear circuit由線性元件和獨(dú)立源組成的電路稱為線性電路。2激勵(lì)與響應(yīng)excitation and response在電路中，獨(dú)立源為電路的輸入，對電路起著“激勵(lì)”的作用，而其他元件的電壓與電流只是激勵(lì)引起的“響應(yīng)”。3

2、齊次性和可加性homogeneity property and additivity property“齊次性”又稱“比例性”，即激勵(lì)增大K倍，響應(yīng)也增大K倍；“可加性”意為激勵(lì)的和產(chǎn)生的響應(yīng)等于激勵(lì)分別產(chǎn)生的響應(yīng)的和?！熬€性”的含義即包含了齊次性和可加性。齊次性：可加性：4.1.2 疊加定理1定理內(nèi)容在線性電阻電路中，任一支路電流（電壓）都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生的電流（電壓）之疊加。此處的“線性電阻電路”，可以包含線性電阻、獨(dú)立源和線性受控源等元件。2定理的應(yīng)用方法將電路中的各個(gè)獨(dú)立源分別單獨(dú)列出，此時(shí)其他的電源置零獨(dú)立電壓源用短路線代替，獨(dú)立電流源用開路代替分別求取出各

3、獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流或電壓。計(jì)算時(shí)，電路中的電阻、受控源元件及其聯(lián)接結(jié)構(gòu)不變。4.1.3 關(guān)于定理的說明1 只適用于線性電路2 進(jìn)行疊加時(shí)，除去獨(dú)立源外的所有元件，包含獨(dú)立源的內(nèi)阻都不能改變。3 疊加時(shí)應(yīng)該注意參考方向與疊加時(shí)的符號4 功率的計(jì)算不能使用疊加定理4.1.4 例題1已知：電路如圖所示 4 求：及兩個(gè)獨(dú)立源和受控源分別產(chǎn)生的功率。解：根據(jù)疊加定理，電路中電壓源和電流源分別作用時(shí)的電路如圖（b）、（c）所示。圖（b）中，根據(jù)節(jié)點(diǎn)法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：解得：。圖（c）中，同樣也可根據(jù)節(jié)點(diǎn)法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：解得：。根據(jù)疊加

4、定理，對于獨(dú)立電壓源：，因此，獨(dú)立電壓源的功率對于獨(dú)立電流源：，因此，獨(dú)立電流源的功率對于受控源：，因此，受控源的功率從這個(gè)例題可以看出，使用疊加定理時(shí)，當(dāng)幾個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)的電路的分析應(yīng)該靈活地使用我們所學(xué)過的電路分析方法。2 已知：如圖所示的電路中，網(wǎng)絡(luò)N由線性電阻組成，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，。求：當(dāng)，時(shí)，？解：所求的電壓u可以看作是激勵(lì)和產(chǎn)生的響應(yīng)，利用線性電路的線性性質(zhì)，響應(yīng)u與激勵(lì)和之間為一次線性函數(shù)關(guān)系：根據(jù)已知條件，列寫聯(lián)立方程組，可以解出，由此當(dāng)，時(shí)，4-2 替代定理4.2.1 定理內(nèi)容給定任意一個(gè)線性電阻電路，其中第k條支路的電壓和電流已知，那么這條支路就可以用一個(gè)具有電壓等于

5、的獨(dú)立電壓源，或者一個(gè)具有電流等于的獨(dú)立電流源來代替，替代后的電路中的全部電壓和電流均將保持原值（即電路在改變前后，各支路電壓和電流均是唯一的）。4.2.2 關(guān)于定理的說明1 定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量；2 定理可以應(yīng)用于非線性電路；3 定理的證明略去，但可以根據(jù)“等效”的概念去理解。4.2.3 例題1 已知：如圖所示求：當(dāng)？解：圖（a）中：圖（b）中：由于對于外電路而言是等效的，因此，被劃開的支路的VCR應(yīng)相同：這樣，就可以在圖（a）中計(jì)算待求量。4-3 戴維南定理和諾頓定理4.3.1 戴維南定理一、定理內(nèi)容一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外

6、電路來說，可以用一個(gè)電壓源和電阻串聯(lián)的組合來等效置換，此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于一端口的全部獨(dú)立源置零后的輸入電阻。二、定理的證明疊加定理 三、定理的使用1 將所求支路劃出，余下部分成為一個(gè)一端口網(wǎng)絡(luò)；2 求出一端口網(wǎng)絡(luò)的端口開路電壓；3 將一端口網(wǎng)絡(luò)中的獨(dú)立源置零，求取其入端等效電阻；4 用實(shí)際電壓源模型代替原一端口網(wǎng)絡(luò)，對該簡單電路進(jìn)行計(jì)算，求出待求量。4.3.2 諾頓定理一、定理內(nèi)容一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說，可以用一個(gè)電流源和電阻并聯(lián)的組合來等效置換，此電流源的電流等于一端口的短路電流，而電阻等于一端口的全部獨(dú)立源置零后的輸入電阻。二、定

7、理的證明略。三、定理的使用與戴維南定理的用法相同。只是在第2點(diǎn)時(shí)變?yōu)榍笕∫欢丝诰W(wǎng)絡(luò)的短路電流。4.3.3 最大功率傳遞定理一、 定理內(nèi)容應(yīng)用T-N定理可以推出：由線性單口網(wǎng)絡(luò)傳遞給可變負(fù)載的功率為最大的條件是：負(fù)載應(yīng)該與戴維南（諾頓）等效電阻相等。設(shè)為變量，在任意瞬間，其獲得的功率為：這樣，原電路問題變?yōu)椋阂詾楹瘮?shù)，為變量，求取在變量為何值時(shí)，其功率為最值。因?yàn)闀r(shí)，而 因此，即為使功率為最大值時(shí)的條件。二、 說明1 該定理應(yīng)用于電源（或信號）的內(nèi)阻一定，而負(fù)載變化的情況。如果負(fù)載電阻一定，而內(nèi)阻可變的話，應(yīng)該是內(nèi)阻越小，負(fù)載獲得的功率越大，當(dāng)內(nèi)阻為零時(shí)，負(fù)載獲得的功率最大。2 線性一端口網(wǎng)絡(luò)獲

8、得最大功率時(shí)，功率的傳遞效率未必為50%。（即由等效電阻算得的功率并不等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率）4.3.4 關(guān)于這兩個(gè)定理的說明1 十分重要，常常用以簡化一個(gè)復(fù)雜電路中不需要進(jìn)行研究的有源部分，即將一個(gè)復(fù)雜電路中不需要進(jìn)行研究的有源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南或諾頓等效來代替，以利于其余部分的分析計(jì)算。2 如果外部電路為非線性電路，定理仍然適用。3 并非任何線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)都有戴維南或諾頓等效電路。如果一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)只能等效為一個(gè)理想電壓源，那么它就不具有諾頓等效電路；相同的，如果一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)只能等效為一個(gè)理想電流源，那么它就不具有戴維南等效電路。具體的說明可以參看有關(guān)參考文獻(xiàn)或資料。（問題：何時(shí)會出現(xiàn)這種

9、情況，可否舉出相應(yīng)的例子？）4 當(dāng)電路中存在受控源時(shí)使用這兩個(gè)定理要十分小心。外電路不能含有控制量在一端口網(wǎng)絡(luò)NS之中的受控源，但是控制量可以為端口電壓或電流。因?yàn)樵诘刃н^程中，受控量所在的支路已經(jīng)被消除，在計(jì)算外電路的電流電壓時(shí)就無法考慮這一受控源的作用了。4.3.5 例題一、 戴維南定理1已知：電路如圖所示求：負(fù)載上的電流I。解：實(shí)際上這是我們在電子測量中常常遇到的“電橋”電路?？梢苑治龀?，如果用前面的“支路法”、“回路法”或“節(jié)點(diǎn)法”計(jì)算負(fù)載電阻上流過的電流，都比較麻煩。而且這類問題只關(guān)系某一條支路的響應(yīng)，用前面的方法必然引入多余的電量。1 將負(fù)載電阻劃出電路如圖（b）所示2 求一端口網(wǎng)

10、絡(luò)的開路電壓（這一部分可能會遇到復(fù)雜電路，就可以用網(wǎng)孔法或節(jié)點(diǎn)法來解決）3 將一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨(dú)立電源置零，求其入端等效電阻置零后，一端口網(wǎng)絡(luò)的電路如圖（c）所示，。因此4 對于負(fù)載電阻而言，原電路等效為二、 諾頓定理1已知：電路如圖所示求：I。解：1將待求支路從原電路中劃開，如圖（a）2求將電路中的電源置零電壓源用短路線代替，電流源用開路代替，如圖（b）所示：3求應(yīng)用疊加定理。求取短路電流的電路如圖（c）所示。將它等效為圖（d）+圖（e）：在圖（d）中，在圖（e）中，所求支路為短路線，所以所以：。4原電路等效為：可以計(jì)算得出：5電路如圖，用戴維南定理求I及U解：（1）將所求支路劃出（2）求Uo

11、c 因?yàn)?，所以。而?）求Req 使用節(jié)點(diǎn)法：，解得 ，（4）戴維南等效對于非線性電阻而言，其外電路的戴維南等效如圖。這樣聯(lián)立非線性元件的伏安關(guān)系及外電路提供給非線性電阻的伏安關(guān)系，有以下方程而。4-4 特勒根定理特勒根定理（Tellegens theorem）是在克?；舴蚨傻幕A(chǔ)上發(fā)展起來的網(wǎng)絡(luò)定理。它與網(wǎng)絡(luò)元件的特性無關(guān)，對非線性參數(shù)以及時(shí)變參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)都適用。4.4.1 特勒根功率定理一、內(nèi)容在一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)N中，假設(shè)各個(gè)支路的電壓與支路電流分別為和，它們?nèi)￡P(guān)聯(lián)參考方向，則對任意時(shí)間t，有二、定理的證明本教材中給出了一個(gè)實(shí)際的例子進(jìn)行說明，有助于大家理解。證明的依據(jù)是克

12、?；舴蚨桑约半娐返墓?jié)點(diǎn)電壓與各個(gè)支路電壓的關(guān)系。具體的嚴(yán)格證明過程同學(xué)們可以參見相關(guān)參考文獻(xiàn)。三、意義在任意網(wǎng)絡(luò)N中，在任意瞬時(shí)t，各個(gè)支路吸收的功率的代數(shù)和恒等于零。也就是說，該定理實(shí)質(zhì)上是功率守恒的具體體現(xiàn)。4.4.2 特勒根擬功率定理一、內(nèi)容兩個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)N，它們由不同的元件組成，但它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同。假設(shè)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)的各個(gè)支路的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向，分別為、和、，則對任意時(shí)間t，有， 這個(gè)和式中的每一項(xiàng)，都僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)量，沒有實(shí)際物理意義，定義它為“擬功率”。三、 定理的證明類似于前面的證明方法。四、 意義有向圖相同的任意兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)N和在任意瞬時(shí)t，任意

13、網(wǎng)絡(luò)的支路電壓與另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的支路電流的乘積的代數(shù)和恒等于零。該定理實(shí)質(zhì)上是擬功率守恒的具體體現(xiàn)。而實(shí)際上，該定理并不一定要求式中的量為實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的電壓電流，只要它們滿足克?；舴蚨伞＃ㄔ摱ɡ砜梢詰?yīng)用證明正弦交流網(wǎng)絡(luò)中的平均功率和無功功率的守恒）五、例題1 已知：電路如圖所示，當(dāng)，時(shí)，測得，當(dāng)，時(shí)，測得，求：？解：設(shè)網(wǎng)絡(luò)N 中含有b條支路，由特勒根似功率定理：由于網(wǎng)絡(luò)N中得結(jié)構(gòu)與參數(shù)均不會變化，因此這樣就有：所以：4-5 互易定理（RECIPROCITY THEOREM）互易定理（Reciprocity theorem）可以直接由特勒根定理推導(dǎo)出來。同樣，它與網(wǎng)絡(luò)元件的特性也無關(guān)，該定理僅針對線

14、性網(wǎng)絡(luò)。4.5.1 定理的形式一4.5.2 定理的形式二4.5.3 定理的形式三4.5.4 定理的證明思路及有關(guān)說明一、 證明思路略去，希望同學(xué)們自學(xué)，有興趣的同學(xué)還可以進(jìn)一步研究。二、 說明該定理實(shí)質(zhì)上是表征了線性網(wǎng)絡(luò)的特性。在下冊的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和二端口網(wǎng)絡(luò)章節(jié)中，我們可以直接看到它的意義。4.5.5 例題1 已知：當(dāng)在11端加電壓源US，且22端短接時(shí)，當(dāng)在22端加電壓源US，且11端短接時(shí)，求：解：由互易定理可知： 所以： 2 已知：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，求：？根據(jù)特勒根似功率定理：而網(wǎng)絡(luò)N中的電路結(jié)構(gòu)與電路參數(shù)均不會變化，因此所以：得出：3 已知：電路如圖所示求：？(a) (b)根據(jù)互易定理的第三種形式：而圖（b）可以重畫如下：得出：，所以4-6 對偶定理對偶的規(guī)律在電路理論及其他領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。所謂對偶，是指電路方程或伏安關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式完全相同的電路或元件。在電路理論中，對偶的關(guān)系可能針對元件，可能針對