彎曲變形分析

1、第六章 彎曲變形分析梁是機(jī)械與工程結(jié)構(gòu)中最常見的構(gòu)件。本章內(nèi)容包括梁的內(nèi)力、平面彎曲中橫截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分布規(guī)律，以及梁的變形計(jì)算。6.1 梁的內(nèi)力 梁的概念圖63 梁的約束 圖64 三類靜定梁當(dāng)桿件受到矢量方向垂直于軸線的外力或外力偶作用時(shí)，其軸線將由直線變?yōu)榍€，如圖61(a)。以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲，凡是以彎曲變形為主的桿件，工程上稱為梁，如車輛的輪軸、房屋的梁及橋梁等。在分析計(jì)算中，通常用梁的軸線代表梁，如圖61(b)。圖61 梁 圖62 對(duì)稱彎曲在工程實(shí)際中，大多數(shù)梁都具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面；而外力也作用在該對(duì)稱面內(nèi)。在這種情況下，梁的變形對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，且變形后

2、的軸線也在對(duì)稱面內(nèi)，即所謂的對(duì)稱彎曲，如圖62。它是彎曲問題中最基本、最常見的情況。本章只討論梁的對(duì)稱彎曲。圖63表示了梁的三種常見約束形式及相應(yīng)的約束力：可動(dòng)鉸支座(圖63(a)，固定鉸支座(圖63(b)和(平面)固定端約束(圖63(c)。在以上三種約束方式下，有三種常見的梁形式，如圖64所示。圖64(a)為簡支梁，兩端分別為固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座；圖64(b)為懸臂梁，一端固定端約束，一端自由；圖64(b)為外伸梁，它是具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡支梁。這三種梁都是靜定梁。圖65 梁的外載荷作用在梁上的外載荷，常見的有集中力偶(圖65(a)、分布載荷(圖65(b)和集中力(圖65(c)。在實(shí)

3、際問題中，為常數(shù)的均布載荷較為常見。 梁的剪力與彎矩在4.2中已經(jīng)介紹了求桿件內(nèi)力的通用方法，即截面法。具體到梁，其內(nèi)力分量為剪力和彎矩，規(guī)定當(dāng)剪力相對(duì)于橫截面的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針為正，使桿件發(fā)生上凹下凸的彎矩為正，如圖45(b)和(c)。例61：如圖66所示懸臂梁，受均布載荷，在點(diǎn)處受矩為的力偶作用，試?yán)L梁的剪力圖與彎矩圖。圖66 例61圖解：設(shè)固定端的約束力和約束力偶為和，則由平衡方程，以桿件左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為分界面，將梁分為和兩段。對(duì)段中的截面，剪力方程和彎矩方程分別為同樣，可得到段中的剪力方程和彎矩方程根據(jù)得到的剪力方程和彎矩方程，繪出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖，如圖66(b)和(c)。再次看到

4、，在處作用有集中力偶，所以彎矩圖在點(diǎn)有突變，突變值正好等于集中力偶值。 剪力、彎矩和載荷集度的微分關(guān)系圖67 剪力、彎矩與載荷集中度的微分關(guān)系現(xiàn)研究剪力、彎矩和分布載荷集度之間的微分關(guān)系。首先討論梁上無集中載荷的情況。如圖67(a)所示梁，受分布載荷作用。規(guī)定軸水平向由，分布載荷向上為正。為研究剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，用坐標(biāo)分別為與的橫截面從梁中切取一段來進(jìn)行分析，如圖67(b)。微段左右截面上的剪力和彎矩分別為、和、，它們和微段上的分布載荷一起組成平衡力系，豎直方向的平衡方程為 (61)式(61)就是剪力和分布載荷之間的微分關(guān)系。對(duì)右截面形心取矩，略去高階無窮小后，得 (62)式(62

5、)是彎矩和剪力之間的微分關(guān)系。將式(61)帶入式(62)，得到彎矩和分布載荷之間的微分關(guān)系 (63)圖68 集中載荷的影響 圖69 例62圖現(xiàn)討論微段上作用有集中載荷的情況，如圖68所示。容易證明，在集中力作用處，左右兩側(cè)的彎矩相同，而剪力則發(fā)生突變，其突變量等于(圖68(a)，且彎矩圖出現(xiàn)尖點(diǎn)；在集中力偶作用處，其左右兩側(cè)的剪力相同，而彎矩發(fā)生突變，其突變量等于，(圖68(b)。利用剪力、彎矩和分布載荷之間的微分關(guān)系，可以對(duì)剪力圖和彎矩圖的形態(tài)作直觀的判斷。具體說；1.、和的函數(shù)階次依次升高一階；的箭頭“頂”在的凸出一側(cè)；2.在的截面上，取極值；3.對(duì)只有集中載荷作用的梁，其剪力圖和彎矩圖一

6、定是由分段直線構(gòu)成的。例62：外伸梁承受載荷如圖69(a)所示，試作出梁的剪力圖和彎矩圖。解：由平衡方程和，求得、處的約束力分別為將整個(gè)梁分為、和三段。先討論剪力圖。段無外載荷，因此剪力為常值；和都受均布載荷作用，剪力圖為斜直線，但因?yàn)樘幍募屑s束力，因此剪力圖發(fā)生突變。由截面法可計(jì)算出、和處的剪力依次為據(jù)此繪出剪力圖69(b)。注意到在點(diǎn)和點(diǎn)剪力為零，此處彎矩取極值。對(duì)彎矩圖，依據(jù)剪力和彎矩微分關(guān)系，段彎矩圖為斜直線，段和段為拋物線，其極值點(diǎn)分別為和。在點(diǎn)出彎矩圖有突變。同樣由截面法計(jì)算各關(guān)鍵截面處的彎矩圖由此繪出彎矩圖69(c)。6.2 彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力圖610 橫截面上的正應(yīng)力和切

7、應(yīng)力 圖611 純彎曲在一般情況下，梁的橫截面上存在著正應(yīng)力和切應(yīng)力。正應(yīng)力向橫截面形心簡化將產(chǎn)生彎矩，而切應(yīng)力的簡化結(jié)果產(chǎn)生剪力，如圖610。若梁內(nèi)各橫截面的剪力為零而彎矩為常量，即為純彎曲狀態(tài)，如圖611中的段。這時(shí)，梁的橫截面上只存在正應(yīng)力?，F(xiàn)在討論梁在對(duì)稱純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力。 彎曲試驗(yàn)和變形特點(diǎn)和前面研究拉(壓)桿及軸的方法一樣，要解決梁橫截面上的應(yīng)力分布，首先應(yīng)該了解梁彎曲變形的特征，并作出合理的簡化。圖612 彎曲變形試驗(yàn)如圖612(a)，取一根對(duì)稱截面梁，在其表面畫上縱線和橫線。然后，在梁兩端的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)一對(duì)外力偶，使梁處于純彎曲狀態(tài)。從試驗(yàn)中觀察到：1.橫線仍保持直且仍與

8、縱線正交，只是橫線間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；2.縱線變?yōu)榍€，上面的縱線縮短，下面的縱線伸長。根據(jù)上述現(xiàn)象，對(duì)梁內(nèi)變形作如下假設(shè)：1.平面假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面且仍與軸線正交，只是橫截面間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；2.單向受力假設(shè)：各縱向“纖維” 之間無擠壓或拉伸作用。圖613 彎曲變形分析根據(jù)平面假設(shè)，梁變形后橫截面上沒有切應(yīng)變，也就沒有切應(yīng)力。梁上部“纖維”受壓；下部“纖維”受拉，由變形的連續(xù)性可知，其間必有一層縱向“纖維”的長度不變，即中性層。顯然，中性層的曲率與彎矩和橫截面性質(zhì)有關(guān)，對(duì)處于純彎曲狀態(tài)的等直梁，中性層上的縱向線段變成圓弧。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，如圖613(a)。通常，取梁橫截面的

9、對(duì)稱軸為軸，中性軸為軸，梁軸線為軸，三者構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖613(b)所示。概括地說，在純彎曲條件下，所有橫截面仍保持平面，只是繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而縱向“纖維”則均處于單向受力狀態(tài)。 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力一般公式在對(duì)彎曲變形作出合理的簡化后，即可通過對(duì)變形、物理和靜力學(xué)三方面的綜合分析，建立彎曲正應(yīng)力公式。如圖613(c)，在梁中切取長為的微段。設(shè)變形后中性層上縱向線段的曲率半徑為，微段兩端橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為。因此，微段上任一縱向線段的原長為；距中性層為的任一縱向線段變形后長度為。由此可得線段的縱向應(yīng)變?yōu)樯鲜奖砻鳎瑱M截面上各點(diǎn)正應(yīng)變與其距中性層的距離成正比。負(fù)號(hào)表示在正彎矩作用下，中性層以上()

10、縱向線段縮短()。由于假設(shè)各縱向“纖維”處于單向受力狀態(tài)，因此，當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，由胡克定律可得出橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律為 (64)圖614 彎曲正應(yīng)力 圖615 彎曲正應(yīng)力的簡化式(64)表明，橫截面上正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化，沿梁寬度均勻分布，而中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零，如圖614。目前為止，尚不能應(yīng)用式(64)求橫截面上的正應(yīng)力，因?yàn)橹行暂S的位置和中性層曲率半徑均為未知。為求此二未知量，還需利用應(yīng)力和內(nèi)力間的靜力學(xué)關(guān)系。如圖615，橫截面上正應(yīng)力的合力形成軸力，由于軸力為零積分為橫截面關(guān)于軸的靜矩。上式表明橫截面對(duì)中性軸的靜矩等于零，即中性軸通過截面的形心，由此

11、確定出中性軸的位置。所有正應(yīng)力對(duì)軸矩之和即為橫截面上的彎矩，即積分為橫截面關(guān)于軸的慣性矩。于是 (65)式(65)為以曲率表示的彎曲變形公式。是梁變形后的曲率，它與成反比。稱為梁的截面抗彎剛度，簡稱抗彎剛度。將式(65)代入式(64)，即得橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力計(jì)算公式 (66)式(66)表明，橫截面上的最大拉、壓應(yīng)力分別發(fā)生在離中性軸的最遠(yuǎn)處。以表示最遠(yuǎn)處到中性軸的距離，則 (67)比值稱為抗彎截面模量。式(66)是矩形截面梁在純彎曲的情況下建立的。當(dāng)橫截面上有剪力時(shí)，由于存在切應(yīng)力，其橫截面將發(fā)生翹曲；同時(shí)梁上橫向力的作用，還會(huì)引起縱向“纖維”的側(cè)向擠壓。但精確彈性理論分析表明，應(yīng)用式(

12、66)計(jì)算非矩形截面的細(xì)長梁在非純彎曲下的彎曲正應(yīng)力，結(jié)果仍具有足夠的精確度。因此也將式(66)稱為彎曲正應(yīng)力的一般公式。 截面的靜矩和慣性矩與截面的面積、極慣性矩一樣，靜矩和慣性矩也只與截面的形狀與尺寸有關(guān)。這些與截面形狀與尺寸有關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。圖616 截面的靜矩 圖617 截面的慣性矩如圖616，任意截面的面積為，在任一坐標(biāo)系內(nèi)，定義截面對(duì)軸和軸的靜矩 (67)由上述定義可看出，同一截面在不同坐標(biāo)系下的靜矩可正可負(fù)，亦可為零，其量綱為長度的三次方。截面形心的位置坐標(biāo)按下式確定 (68)比較式(68)和(123b)可知，均質(zhì)等厚薄板的重心與該板平面的形心重合。因此，可用求

13、重心的方法來求截面的形心。若某坐標(biāo)軸通過截面之形心，則稱該軸為截面的形心軸。根據(jù)式(68)，截面對(duì)形心軸之靜矩為零；反之亦然。此外，若某一軸為截面的對(duì)稱軸，則該軸為截面的形心軸。如圖617，定義截面對(duì)軸和軸的慣性矩 (69)截面的慣性矩恒為正，其量綱為長度的四次方。不難計(jì)算，圖618(a)中的矩形截面關(guān)于對(duì)稱軸和的慣性矩分別為 (610) (a) (b) (c)圖618 簡單截面的慣性矩而圖618(b)中直徑為的圓截面關(guān)于任意圓心軸慣性矩為 (611)對(duì)圖618(c)中外徑為、內(nèi)外徑之比為的圓環(huán)形截面，有 (612)平行移軸定理反映了截面對(duì)一組平行軸的慣性矩的定量關(guān)系。設(shè)截面面積為，軸為形心軸

14、，軸與軸平行，為兩軸之距離，截面關(guān)于兩軸的慣性矩分別為和。根據(jù)平行移軸定理，知， (613)即在一組平行軸中，截面對(duì)形心軸的慣性矩為最小值。在工程中經(jīng)常會(huì)遇到一些形狀復(fù)雜的截面，這些截面通?？煽闯墒怯扇舾珊唵谓孛嫠M成的。對(duì)于這種組合截面，根據(jù)靜矩和慣性矩的定義，組合截面對(duì)某一軸的靜矩(或慣性矩)應(yīng)等于各部分對(duì)同一軸的靜矩(或慣性矩)之和。例63：如圖619所示一T字形截面，尺寸如圖，試計(jì)算該截面對(duì)中性軸的慣性矩。解：設(shè)截面形心到頂邊的距離為，取頂邊軸作參考軸。截面由兩個(gè)矩形組合而成，其面積和形心坐標(biāo)分別為由此計(jì)算出整個(gè)截面的中性軸的位置根據(jù)慣性矩的平行移軸定理，可求得截面對(duì)中性軸的慣性矩圖6

15、19 例63圖 圖620 例64圖例64：如圖620(a)所示一外伸梁，截面形狀和尺寸同例63。梁承受均布載荷，集度。試求梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：彎矩如圖620(b)，截面處彎矩取極值，；在截面有最大負(fù)彎矩，。在此二截面上都有可能出現(xiàn)最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。截面的上邊緣有最大壓應(yīng)力，下邊緣有最大拉應(yīng)力，即截面的上邊緣有最大拉應(yīng)力，下邊緣有最拉壓應(yīng)力，即因此，梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣，其值為；最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣，其值為6.3 彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力工程上大多數(shù)梁主要承受橫向載荷，這時(shí)梁橫截面上作用有剪力。相應(yīng)地，橫截面上除正應(yīng)力外，還存在切應(yīng)力。研究截面上的切應(yīng)力分布要比正

16、應(yīng)力復(fù)雜得多。需根據(jù)截面具體形狀對(duì)切應(yīng)力的分布適當(dāng)?shù)刈鞒鲆恍┘僭O(shè)，然后應(yīng)用局部平衡的方法，得出近似的公式。下面只介紹等截面直梁在對(duì)稱彎曲情形下，幾種常見截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式。 矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力如圖621(a)，寬為、高為的矩形截面，截面上沿軸作用有剪力。假設(shè)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力的方向均平行于剪力且沿截面寬度均勻分布?？蓪?dǎo)出橫截面上距中性軸為的各點(diǎn)處切應(yīng)力的近似計(jì)算公式 (614)代表處橫線外側(cè)的橫截面對(duì)中性軸的靜矩，對(duì)矩形截面將上式及代入式(614)，得 (615)圖621 矩形截面上切應(yīng)力 圖622 矩例65圖可見，矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力沿截面高度成拋物線分布(圖621(b)。最大

17、切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處() (616)即最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的1.5倍。精確分析表明，當(dāng)時(shí)，此解答的誤差極?。划?dāng)，誤差約為。例65：如圖622所示矩形截面梁，自由端受鉛垂載荷作用。試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力，并比較其大小。解：梁中各截面的剪力均相等，最大彎矩發(fā)生在固定端截面處。根據(jù)式(67)和(610)，梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力為根據(jù)式(616)，梁內(nèi)的最大彎曲切應(yīng)力為最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力的比值為因此，對(duì)跨度遠(yuǎn)大于截面高度的細(xì)長梁，梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力。這個(gè)結(jié)論對(duì)細(xì)長的非薄壁梁也是成立的，即最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力比值的數(shù)量級(jí)約等于梁的跨高比。 工字形截

18、面梁的彎曲切應(yīng)力如圖623(a)，工字形截面由上、下兩翼緣及中間的腹板組成。由于翼緣和腹板都是狹長矩形，因此可以假設(shè)：腹板(或翼緣)上各點(diǎn)的切應(yīng)力都平行于腹板(或翼緣)側(cè)邊，且沿厚度均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，可導(dǎo)出工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力公式圖623 工字形截面切應(yīng)力 圖624 圓截面切應(yīng)力 (617)式中，為腹板(或翼緣)的厚度，為處橫線外側(cè)的橫截面(包括腹板和翼緣)。容易驗(yàn)證，對(duì)腹板上各點(diǎn)，也是關(guān)于的二次函數(shù)，因此腹板上的彎曲切應(yīng)力沿腹板高度呈拋物線分布，如圖623(b)所示。最大切應(yīng)力同樣發(fā)生在中性軸上，其值取決于，對(duì)于工字型鋼，該比值可直接由型鋼表查得。觀察圖623(b)，腹板上最大切應(yīng)

19、力和最小切應(yīng)力相差甚小，當(dāng)腹板厚度遠(yuǎn)小于翼緣寬度時(shí)，這種現(xiàn)象更為明顯。因此，腹板上切應(yīng)力可近似看成是均勻分布的。翼緣上的切應(yīng)力值小于腹板上的切應(yīng)力。在腹板和翼緣的交接處，切應(yīng)力分布比較復(fù)雜，該處的切應(yīng)力通常取為按腹板計(jì)算的結(jié)果，即圖622(b)中的，并以此作為強(qiáng)度較核的依據(jù)。 園形截面的彎曲切應(yīng)力彈性理論分析表明，對(duì)圖623(a)中的圓截面梁，在與中性軸平行的弦線上，兩端的切應(yīng)力沿圓周的切線，內(nèi)部各點(diǎn)的切應(yīng)力方向并不相同；但是圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點(diǎn)的切應(yīng)力都近似平行于剪力。這樣，仍可利用式(614)計(jì)算截面上的最大彎曲切應(yīng)力式中，為圓截面的直徑，為圖623(b

20、)中的半圓形截面對(duì)中性軸的靜矩，其值為由此可得到圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力 (618)與精確解相比，式(618)的誤差約為。6.4 彎曲強(qiáng)度條件及應(yīng)用如前所述，在一般情況下，梁內(nèi)同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力，因此需要同時(shí)考慮這兩種應(yīng)力的強(qiáng)度條件。 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由式(67)可知，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而此處的切應(yīng)力為零或很小。因而可以處理成單向受力狀態(tài)，建立起彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 (619)上述強(qiáng)度條件僅適用于許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力相同的材料。如果材料的拉壓性能不同，如鑄鐵等脆性材料，則應(yīng)按拉伸與壓縮分別進(jìn)行強(qiáng)度校核。例66：如圖625(a)所示簡支梁用工字鋼制成

21、。若負(fù)載，。試選擇工字鋼型號(hào)。解：圖625(b)和(c)分別是梁的剪力圖和彎矩圖。梁內(nèi)最大彎矩為，按正應(yīng)力條件選擇截面由此可得截面抗彎模量圖625 例65圖查型鋼表可知，20a工字鋼的，故選擇20a工字鋼。由式(619)可知，欲提高梁的強(qiáng)度，應(yīng)提高截面抗彎模量或降低梁中最大彎矩。主要措施有：圖626 約束方式對(duì)彎矩的影響1.選用合理的截面形狀。合理的截面形狀，能夠用較小的截面面積而獲得較大的截面抗彎模量。為此，應(yīng)盡可能將材料布置在遠(yuǎn)離中性軸的位置，以獲得更大的慣性矩形或截面抗彎模量。另外，此外，設(shè)計(jì)截面形狀時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。例如，對(duì)抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的脆性材料，最好將中性軸設(shè)計(jì)成偏于截

22、面的受拉區(qū)域，使得拉、壓應(yīng)力的最大值同時(shí)接近其許用值。2.合理安排梁的約束與加載方式。合理地安排結(jié)構(gòu)的約束位置和載荷施加方式，能在很大程度上降低最大彎矩值。例如圖626(a)所示的承受均布載荷的，梁中最大彎矩值為。若結(jié)構(gòu)允許，將兩端的約束各向內(nèi)移動(dòng)(圖626(b)，則最大彎矩值為，僅為前者的。還可以通過改變加載方式，例如將集中載荷(圖625(a)換成分布載荷(圖626(a)，以及將梁制成靜不定梁，對(duì)于提高梁強(qiáng)度都會(huì)起到顯著作用。 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力的最大值通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，而此處正應(yīng)力為零，是純剪切應(yīng)力狀態(tài)，相應(yīng)的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 (620)式(620)中，為中性軸一側(cè)截面

23、的靜矩；表示矩形截面寬度或工字形截面腹板厚度或圓截面徑。例65指出，對(duì)細(xì)長的非薄壁梁，彎曲正應(yīng)力是主要因素，通常只需要按彎曲正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核就即可；而對(duì)短粗梁和薄壁梁，還應(yīng)考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。還應(yīng)指出，對(duì)某些截面上的特定點(diǎn)，如工字形截面梁的腹板和翼緣的交界處，彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力都具有相當(dāng)大的數(shù)值；當(dāng)梁同時(shí)承擔(dān)多種載荷時(shí)也會(huì)出現(xiàn)這種情況。而基于單向應(yīng)力狀態(tài)建立強(qiáng)度條件式(619)和(620)，將不再適用在正應(yīng)力和切應(yīng)力聯(lián)合作用下的強(qiáng)度問題。例67：在例66中，設(shè)材料的許用切應(yīng)力是，試校核例66中所選定的工字鋼的剪切強(qiáng)度。解：圖625(b)是梁的剪力圖，梁內(nèi)最大剪力為，例66已根據(jù)彎曲正

24、應(yīng)力強(qiáng)度條件選定20a工字鋼。根據(jù)型鋼表，對(duì)20a工字鋼按彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件20a工字鋼的剪切強(qiáng)度可見，選擇20a工字鋼作梁，將同時(shí)滿足彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。6.5 梁的彎曲變形在解決了梁橫截面上應(yīng)力分布及梁的強(qiáng)度問題之后，現(xiàn)在研究梁的變形。此處主要研究梁在對(duì)稱彎曲下由彎矩引起的變形?？梢宰C明，剪力對(duì)細(xì)長梁的變形可忽略不計(jì)。 撓曲線近似微分方程圖627 撓度和轉(zhuǎn)角梁變形的主要特征是梁軸線變成了曲線，該曲線稱為撓曲線。在發(fā)生對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲線與外力的作用平面重合或平行，是一條光滑平坦的平面曲線。如圖627，沿變形前的梁軸線選取軸，豎直向上為軸。梁橫截面的形心沿軸的橫向線位移，稱為橫截面

25、的撓度，表示為。任一截面的撓度是截面位置的函數(shù)，稱為撓曲線方程， (621)根據(jù)平面假設(shè)，橫截面變形后仍然保持平面，且仍垂直于變形后的軸線。因此，任一橫截面的轉(zhuǎn)角就是該處撓曲線的切線與軸的夾角，以表示。在小變形假設(shè)下， (622)式(622)就是轉(zhuǎn)角方程。在工程實(shí)際中，梁的轉(zhuǎn)角一般不會(huì)超過0.0175弧度或1度，所以式(622)完全能滿足工程上的要求。應(yīng)當(dāng)指出，梁軸線彎成曲線后，在方向也會(huì)產(chǎn)生軸向變形。但細(xì)長梁在小變形條件下，其軸向變形與撓度相比屬于高階微量，一般可略去不計(jì)。在研究梁橫截面上的正應(yīng)力分布時(shí)，已得到純彎曲狀態(tài)下用中性層曲率表示的彎曲變形公式 (65)如果忽略剪力對(duì)變形的影響，上式

26、也適用于一般非純彎曲。由高等數(shù)學(xué)知，撓曲線的曲率為在小變形條件下，梁的轉(zhuǎn)角很小，因此曲率可近似為 (623)將式(623)帶入式(65)，即可得到撓曲線近似微分方程 (624)式(624)適用于對(duì)稱彎曲梁，且在線彈性范圍和小變形的條件下適用。 積分法求撓曲線及轉(zhuǎn)角方程將撓曲線近似微分方程(624)積分兩次，即可得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 (625) (626)式(625)和(626)中、為積分常數(shù)，可利用梁的位移邊界條件來確定。例如，在固定端處，橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角均為零；在鉸鏈支座處，橫截面處的撓度為零。若梁的彎矩方程為分段函數(shù)，則應(yīng)對(duì)式(624)分段積分，此時(shí)將出現(xiàn)多對(duì)積分常數(shù)。為確定這些常數(shù)，除

27、利用位移邊界條件外，還應(yīng)利用在相鄰梁的交接處撓度和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件。下面舉例說明積分常數(shù)的確定以及撓度和轉(zhuǎn)角的計(jì)算。圖628 例68圖例68：如圖628(a)所示一長為、抗彎剛度為的懸壁梁，在自由端受矩為的集中力偶作用，試求此梁的撓度方程為轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和轉(zhuǎn)角。解：如圖628建立坐標(biāo)系，容易得出任意截面上的彎矩為帶入式(624)，得撓曲線近似微分方程將上述方程積分兩次，得 (a) (b)如前所述，懸臂梁的位移邊界條件是固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都等于零，即。將上述邊界條件應(yīng)用于式(a)和(b)，得由此得到自由端受集中力偶作用的懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程 (c)以及撓曲線方程 (d)圖629 例69圖此梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角均發(fā)生在自由端截面即處，分別為例69：如圖629所示一