影院座位設(shè)計(jì)優(yōu)化模型

1、影院座位設(shè)計(jì)優(yōu)化模型下圖為影院的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，如果太大會(huì)使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過。(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方。(2) 求地板線傾角（一般不超過），使所有觀眾的平均滿意程度最大。(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀眾的滿意程度。影院座位設(shè)計(jì)優(yōu)化模型呂華軍 陳 霞 曹智芳摘 要：本文針對(duì)影院座位設(shè)計(jì)問題，利用三角形正切，建立了視角與仰角關(guān)于地板線傾角的數(shù)學(xué)模型。并通過、等軟件，利用求極值的方法解答了問題一，得當(dāng)傾角為時(shí)，最

2、佳座位在處。對(duì)于問題二，我們通過泛函分析等方法，將座位分成排，得出排與排之間的距離是，對(duì)每排觀眾的視角和仰角進(jìn)行求和，得出視角和仰角的平均值，從而取得平均滿意度，再通過求極值的方法算出當(dāng)為時(shí)，觀眾的平均滿意度最大。此外，在角不超過的前提下我們還對(duì)地板線的設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)（將第一排座位抬高），通過方程組（7）的解答，可得到最佳的地板線設(shè)計(jì)，進(jìn)一步提高觀眾的滿意度。我們還對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析，若越大，模型的精確度就越高。關(guān)鍵詞： 座位設(shè)計(jì) 仰角 視角 平均滿意度一、問題的重述下圖為影院的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到

3、屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，如果太大會(huì)使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過。(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方。(2) 求地板線傾角（一般不超過），使所有觀眾的平均滿意程度最大。(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀眾的滿意程度。二、模型假設(shè)1、 假設(shè)觀眾的座高是一致的；2、 影院排與排之間的距離相等；3、 觀眾的平均滿意度只取決于視角和仰角，其他因素忽略不計(jì)；4、 假設(shè)屏幕的長度與座位的排長相等；5、 把觀眾的眼睛看作一個(gè)點(diǎn)。三、變量與符號(hào)說明變量含 義單位視角（觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角）度仰角（觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角）度觀眾眼睛到屏幕下邊

4、緣視線與水平線的夾角度地板線傾角度屏幕高度米上邊緣距地面的高度米第一排與屏幕的水平距離米最后一排與屏幕的水平距離米觀眾平均座高米第排觀眾的視角度第排觀眾的仰角度 觀眾平均滿意程度座位的橫坐標(biāo)座位的縱坐標(biāo)四、模型建立根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)和圖形，運(yùn)用初等數(shù)學(xué)中三角形正切的知識(shí)，建立了視角和仰角的數(shù)學(xué)模型：五、模型的求解1、 問題一的解答在這個(gè)問題中，我們的目標(biāo)是當(dāng)?shù)匕寰€傾角時(shí)，求座位的最佳位置，而影響座位的因素主要取決于視角和仰角，越大越好，不超過，因此得目標(biāo)函數(shù)如下： 用軟件求出，所以，即最佳位置在處。2、 問題二的求解我們將影院座位平均分成份，可以算出排與排的距離為，其中第排座位的橫坐標(biāo)：。第排座

5、位的視角第排座位的仰角。我們的目標(biāo)是使觀眾的平均滿意度最高，而平均滿意度主要取決于視角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除以就得到，于是我們就得到下列關(guān)系式：我們?nèi)?，即影院共分?0排，得出當(dāng)時(shí)，觀眾的平均滿意度最大。3、 對(duì)于問題三的回答通過模型求出第一排的視角為，仰角為。我們通過仰角的降低來實(shí)現(xiàn)觀眾滿意程度的提高，即采取提高第一排的方式來降低觀眾的仰角，將地板線近似地看作以為交點(diǎn)的兩條直線，作直角坐標(biāo)系，假設(shè)為最后一排座位。（如上圖）： ： 求設(shè)計(jì)地板線形狀轉(zhuǎn)化為求直線、的方程式。若影院共有排位置，則任意兩排位置在橫坐標(biāo)上的間距，排位置為最低的那一排。令在排位置之前有排座

6、位，即各排座位為，令過點(diǎn)、的直線斜率為，由題意可得若要使排的觀眾不擋住排觀眾的視線，只要滿足即可，且可推得當(dāng)時(shí)可滿足。則 （1）令點(diǎn)，由直線過點(diǎn),，可得： （2）令在之后有排座位，令過的各直線斜率為，若要使前面的排座位不擋住排位置的視線，只要即可。又由、得，只要即可得。 由，各排間距得在直線上的第一排位置 即： （3） 由：，得： （4） 將（2）、（4）兩式代入（3），且綜合上述得： （5）題意中仰角，且在第三象限，得。不難得到，在處的仰角大于等于在處的仰角，也大于在處的仰角，即第一排（）的仰角大于其它任何一排的仰角，即可得： （6）綜合上述（1）、（5）、（6）式，得不等式組： （7）由該

7、不等式組可解得一個(gè)含有定量的最佳值，通過運(yùn)算即可得、的關(guān)系式。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣模型有以下優(yōu)點(diǎn)： 模型在建立過程中充分考慮到觀眾平均滿意度的特殊性（假設(shè)屏幕的長度與影院的寬度一致），即選取其中的一列，得出最佳地板線傾角；利用軟件編程進(jìn)行求解，所得結(jié)果誤差小；該模型簡單易懂，對(duì)生活有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義；模型有以下缺點(diǎn)：由于我們是將座位分成排，計(jì)算時(shí)取的值會(huì)造成一些誤差，但只要我們把的值取足夠大，誤差會(huì)更小。利用該模型我們可以設(shè)計(jì)家里電視機(jī)擺放的高度，看電視時(shí)的最佳座位；教室座位設(shè)計(jì)等等。參考文獻(xiàn)：1盧向南.應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)M.浙江大學(xué)出版社.2005.22蔡鎖章.數(shù)學(xué)建模原理與方法M.海洋出版社.200

8、0.63美 、 .離散事件系統(tǒng)模擬.清華大學(xué)出版社.1988.34馮德益 樓世博.模糊數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用.地震出版社.1983.7影院座位設(shè)計(jì)優(yōu)化模型下圖為影院的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，如果太大會(huì)使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過。(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方。(2) 求地板線傾角（一般不超過），使所有觀眾的平均滿意程度最大。(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀眾的滿意程度。影院座位設(shè)計(jì)優(yōu)化模型呂華軍 陳 霞 曹智芳摘 要：本文針對(duì)影院座位設(shè)計(jì)

9、問題，利用三角形正切，建立了視角與仰角關(guān)于地板線傾角的數(shù)學(xué)模型。并通過、等軟件，利用求極值的方法解答了問題一，得當(dāng)傾角為時(shí)，最佳座位在處。對(duì)于問題二，我們通過泛函分析等方法，將座位分成排，得出排與排之間的距離是，對(duì)每排觀眾的視角和仰角進(jìn)行求和，得出視角和仰角的平均值，從而取得平均滿意度，再通過求極值的方法算出當(dāng)為時(shí)，觀眾的平均滿意度最大。此外，在角不超過的前提下我們還對(duì)地板線的設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)（將第一排座位抬高），通過方程組（7）的解答，可得到最佳的地板線設(shè)計(jì)，進(jìn)一步提高觀眾的滿意度。我們還對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析，若越大，模型的精確度就越高。關(guān)鍵詞： 座位設(shè)計(jì) 仰角 視角 平均滿意度一、問題的重述下

10、圖為影院的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，如果太大會(huì)使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過。(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方。(2) 求地板線傾角（一般不超過），使所有觀眾的平均滿意程度最大。(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高觀眾的滿意程度。二、模型假設(shè)6、 假設(shè)觀眾的座高是一致的；7、 影院排與排之間的距離相等；8、 觀眾的平均滿意度只取決于視角和仰角，其他因素忽略不計(jì)；9、 假設(shè)屏幕的長度與座位的排長相等；10、 把觀眾的眼睛看作一個(gè)點(diǎn)。三、變量與符號(hào)

11、說明變量含 義單位視角（觀眾眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角）度仰角（觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角）度觀眾眼睛到屏幕下邊緣視線與水平線的夾角度地板線傾角度屏幕高度米上邊緣距地面的高度米第一排與屏幕的水平距離米最后一排與屏幕的水平距離米觀眾平均座高米第排觀眾的視角度第排觀眾的仰角度 觀眾平均滿意程度座位的橫坐標(biāo)座位的縱坐標(biāo)四、模型建立根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)和圖形，運(yùn)用初等數(shù)學(xué)中三角形正切的知識(shí)，建立了視角和仰角的數(shù)學(xué)模型：五、模型的求解4、 問題一的解答在這個(gè)問題中，我們的目標(biāo)是當(dāng)?shù)匕寰€傾角時(shí)，求座位的最佳位置，而影響座位的因素主要取決于視角和仰角，越大越好，不超過，因此得目標(biāo)函數(shù)如下： 用軟

12、件求出，所以，即最佳位置在處。5、 問題二的求解我們將影院座位平均分成份，可以算出排與排的距離為，其中第排座位的橫坐標(biāo)：。第排座位的視角第排座位的仰角。我們的目標(biāo)是使觀眾的平均滿意度最高，而平均滿意度主要取決于視角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除以就得到，于是我們就得到下列關(guān)系式：我們?nèi)?，即影院共分?0排，得出當(dāng)時(shí)，觀眾的平均滿意度最大。6、 對(duì)于問題三的回答通過模型求出第一排的視角為，仰角為。我們通過仰角的降低來實(shí)現(xiàn)觀眾滿意程度的提高，即采取提高第一排的方式來降低觀眾的仰角，將地板線近似地看作以為交點(diǎn)的兩條直線，作直角坐標(biāo)系，假設(shè)為最后一排座位。（如上圖）： ： 求設(shè)

13、計(jì)地板線形狀轉(zhuǎn)化為求直線、的方程式。若影院共有排位置，則任意兩排位置在橫坐標(biāo)上的間距，排位置為最低的那一排。令在排位置之前有排座位，即各排座位為，令過點(diǎn)、的直線斜率為，由題意可得若要使排的觀眾不擋住排觀眾的視線，只要滿足即可，且可推得當(dāng)時(shí)可滿足。則 （1）令點(diǎn)，由直線過點(diǎn),，可得： （2）令在之后有排座位，令過的各直線斜率為，若要使前面的排座位不擋住排位置的視線，只要即可。又由、得，只要即可得。 由，各排間距得在直線上的第一排位置 即： （3） 由：，得： （4） 將（2）、（4）兩式代入（3），且綜合上述得： （5）題意中仰角，且在第三象限，得。不難得到，在處的仰角大于等于在處的仰角，也大于在處的仰角，即第一排（）的仰角大于其它任何一排的仰角，即可得： （6）綜合上述（1）、（5）、（6）式，得不等式組： （7）由該不等式組可解得一個(gè)含有定量的最佳值，通過運(yùn)算即可得、的關(guān)系式。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣模型有以下優(yōu)點(diǎn)： 模型在建立過程中充分考慮到觀眾平均滿意度的特殊性（假設(shè)屏幕的長度與影院的寬度一致），即選取其中的一列，得出最佳地板線傾角；利用軟件編程進(jìn)行求解，所得結(jié)果誤差小；該模型簡單易懂，對(duì)生活有很強(qiáng)的指導(dǎo)