微積分函數(shù)的極限與連續(xù)

1、第一章 函數(shù)極限與連續(xù)一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求：1、理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像，掌握函數(shù)的表示方法。 2、了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 3、理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。 4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。 5、會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。 6、理解極限的概念，理解函數(shù)在極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。 7、掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。 8、掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 9、理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的

2、概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。 10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。 11、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。二、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：1數(shù)列的極限、函數(shù)的極限的概念2極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；3極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，利用兩個(gè)重要極限求極限；4無(wú)窮小的比較，用等價(jià)無(wú)窮小求極限；5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。三、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1數(shù)列極限的的深刻背景，函數(shù)極限的幾何意義；2兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用；3極限與無(wú)窮小的關(guān)系；4連續(xù)的實(shí)質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)

3、函數(shù)的性質(zhì)，用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。§1.1 函 數(shù)一、內(nèi)容要點(diǎn)基本概念集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對(duì)值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性:有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù),復(fù)合函數(shù),基本初等函數(shù)與初等函數(shù)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)本部分屬基本概念，對(duì)其中的每一個(gè)定義都應(yīng)加以仔細(xì)推敲，透徹理解和牢固其精神實(shí)質(zhì)，從而為學(xué)習(xí)本課程奠定好基礎(chǔ)。從實(shí)際問(wèn)題建立變量之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題的第一步，也是比較困難的一步，要注意這方面的訓(xùn)練，以便逐步培養(yǎng)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。一、 集合、常量與變量1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫(xiě)字母A、B、C等來(lái)表示，組成

4、集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個(gè)元素，就記aM（讀a屬于M）；若事物a不是集合M的一個(gè)元素，就記aM或aM（讀a不屬于M）；集合有時(shí)也簡(jiǎn)稱為集。注 1：若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無(wú)限集。2：集合的表示方法： 3：全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實(shí)數(shù)的集合記為R。以后不特別說(shuō)明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。 4：集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就稱A為B的子集，記為,或(讀B包含A)。 顯然：. 若,同時(shí),就稱A、B相等,記為A=B。 5：當(dāng)集合中的元素重復(fù)時(shí),重復(fù)的元素只算一次.如：1

5、,2,2,3=1,2,3。 6：不含任何元素的集稱為空集,記為,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。 7：區(qū)間：所有大于a、小于b的實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合,稱之為開(kāi)區(qū)間,記為(a,b),即(a,b)= 。 同理：a,b=為閉區(qū)間，和分別稱為左閉右開(kāi)、左開(kāi)右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開(kāi)區(qū)間。以上均成為有限區(qū)間，a、b分別稱為左、右端點(diǎn)。對(duì)無(wú)窮區(qū)間有：，在不特別要求下，有限區(qū)間、無(wú)限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用I表示。 8：鄰域：設(shè)a和為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0.集合稱為點(diǎn)a的鄰域，記為,a為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑，事實(shí)上，。同理：我們稱為a的去心鄰域，或a的空心鄰域。 9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容(如集合的運(yùn)算)在此不作

6、一一介紹了。2、常量與變量：在自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過(guò)程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量?！纠繑S同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均為變量。注1：常量與變量是相對(duì)而言的，同一量在不同場(chǎng)合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。 2：常量一般用a,b,c等字母表示，變量用x,y,u,t等字母表示，

7、常量a為一定值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如：表示可代表中的任一個(gè)數(shù)。二、 函數(shù)的概念【例】正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系為：，顯然當(dāng)確定了，也就確定了。這就是說(shuō)，同一過(guò)程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們?cè)谧裱骋灰?guī)律時(shí)相互聯(lián)系、相互約束著。定義：設(shè)和為兩個(gè)變量，為一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)每一個(gè)，按照一定的法則變量總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，就稱為的函數(shù)，記為.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域，叫做自變量，叫做因變量。 當(dāng)取數(shù)值時(shí)，依法則的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值。所有函數(shù)值組成的集合稱為函數(shù)的值域。注 1：函數(shù)通常還可用等表示。 2：約定：函數(shù)的定義域

8、就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的全體?！纠?】 的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?。【?】 的定義域?yàn)?，值域?yàn)??！纠?】 的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?。【?】 的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，從而顯然。 3、若對(duì)每一個(gè)，只有唯一的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，就稱函數(shù)為單值函數(shù)；若有不止一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。如：等。以后若不特別聲明，只討論單值函數(shù)。 4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學(xué)式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當(dāng)自變量在上取值，其函數(shù)值為；當(dāng)取0時(shí)，；當(dāng)在上取值時(shí)，其函數(shù)值為。（這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見(jiàn)，希望注意?。┍M管有幾個(gè)不同的

9、算式，但它們合起來(lái)只表示一個(gè)函數(shù)！ 5、對(duì)中任一固定的，依照法則有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)在坐標(biāo)平面上就確定了一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)取遍中的每一數(shù)時(shí)，便得到一個(gè)點(diǎn)集，我們稱之為函數(shù)的圖形。換言之，當(dāng)在中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡就是的圖形?！纠?】 書(shū)上的幾個(gè)例子。（同學(xué)們自己看）【例6】 例3的圖形如下圖三、 函數(shù)的幾種特性1、 函數(shù)的有界性：設(shè)在上有定義，若對(duì)，使得：，就稱在上有界，否則稱為無(wú)界。注：1、若對(duì)，使得，就稱在上有上(下)界。在上有界在上同時(shí)有上界和下界。2、在上無(wú)界也可這樣說(shuō)：對(duì)，總，使得?！纠?】 上段例1、3、4中的函數(shù)是有界的；例2中的函數(shù)是無(wú)界的，但有下界。2、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)

10、函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)，當(dāng)時(shí)總有：（1），就稱在上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式成立時(shí)，就稱在上嚴(yán)格單調(diào)遞增。（2），就稱在上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式成立時(shí)，就稱在上嚴(yán)格單調(diào)遞減。注：1、此處的定義與書(shū)上有區(qū)別，希望注意！2、 2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。3、 3、調(diào)遞增有時(shí)簡(jiǎn)稱單增、遞增或不減，其它也一樣?！纠?】 符號(hào)函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴(yán)格單調(diào)?！纠?】 在上是嚴(yán)格單減函數(shù)?！纠?0】 例3中的函數(shù)在定義域上不是單調(diào)的，但在上是嚴(yán)格單減的，在上是嚴(yán)格單增的。3、函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集，即若，有，(1) 若對(duì)，有恒成立，就稱為偶函數(shù)。(

11、2) 若對(duì)，有恒成立，就稱為奇函數(shù)。【例11】 ，,是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。 ，是非奇非偶函數(shù)?！纠?1】 是奇函數(shù)。注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。2、若是奇函數(shù)，且，則必有。3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。4、周期性：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，使得?duì)，有，且恒成立，就稱為周期函數(shù)，稱為的周期?！纠?2】 分別為周期為的周期函數(shù)，為周期為1的函數(shù)。注1：若為的周期，由定義知也都是的周期，故周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，通常說(shuō)的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？

12、）例如：，設(shè)有最小正周期。 2：周期函數(shù)在一每個(gè)周期（為任意數(shù)，為任意常數(shù)）上，有相同的形狀。四、 反函數(shù) 設(shè)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，因此，?duì)，必，使得，這樣的可能不止一個(gè)，若將當(dāng)作自變量，當(dāng)作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)，稱之為函數(shù)的反函數(shù)，而叫做直接函數(shù)。注1：反函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?2：由上討論知，即使為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對(duì)此問(wèn)題還作研究； 3：在習(xí)慣上往往用表示自變量，表示因變量，因此將中的與對(duì)換一下，的反函數(shù)就變成，事實(shí)上函數(shù)與是表示同一函數(shù)的，因?yàn)?，表示函?shù)關(guān)系的字母沒(méi)變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒(méi)什么關(guān)系。所以說(shuō)：若的反函數(shù)為，那么也是的反函數(shù)

13、，且后者較常用； 4：反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形是對(duì)稱于（證明很簡(jiǎn)單，大家自己看書(shū)）； 5：有些書(shū)上，對(duì)反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別?！纠?3】 函數(shù)的反函數(shù)分別為：或分別為。五 初等函數(shù)冪函數(shù)形如（為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡(jiǎn)單的討論：（1） 當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?；?） 當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?；?） 當(dāng)為其它有理數(shù)時(shí)，要視情況而定。【例1】 的定義域?yàn)椋?的定義域?yàn)椋?的定義域?yàn)?。?） 當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，規(guī)定其定義域?yàn)?，其圖形也很復(fù)雜，但不論取何值，圖形總過(guò)（1，1）點(diǎn)，當(dāng)>0時(shí)，還過(guò)（0，0）點(diǎn)。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)：形如的函數(shù)稱為指

14、數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋鋱D形總在軸上方，且過(guò)（0，1）點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增加的；（2）當(dāng)時(shí)，是單調(diào)減少的；以后我們經(jīng)常遇到這樣一個(gè)指數(shù)函數(shù)的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，與關(guān)于軸對(duì)稱。2、對(duì)數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記為為常數(shù)，,稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋汕懊娣春瘮?shù)的概念知：的圖形和的圖形是關(guān)于對(duì)稱的，從此，不難得的圖形，的圖形總在軸右方，且過(guò)（1，0）點(diǎn)（1） 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且在（0，1）為負(fù)，上為正；（2） 當(dāng)1時(shí)，單調(diào)遞減，且在（0，1）為正， 上為負(fù)；特別當(dāng)取時(shí)，函數(shù)記為，稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。三角函數(shù)與反三角函數(shù)1、 三角函數(shù)三角函數(shù)主要是：正弦函數(shù)：余弦函數(shù)：正切函數(shù)

15、：余切函數(shù)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個(gè)：正割和余割，其圖形在此不做討論了。2、 反三角函數(shù)：反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：反正弦函數(shù)：反余弦函數(shù)：反正切函數(shù)：反余切函數(shù)：顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個(gè)單值分支，叫做主值，選法如下：將限制在上，得一單值函數(shù)，記為，它就是所取主值函數(shù)，叫做主值區(qū)間，顯然，同理：將限制在上，得將限制在上，得將限制在上，得從圖中不難看出和是單調(diào)遞增的，和是單調(diào)遞減的。復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1、 復(fù)合函數(shù)設(shè)，定義域?yàn)椋x域

16、為，值域?yàn)椋?，這樣對(duì)于，由可算出函數(shù)值，所以，由又可算出其函數(shù)值，因此對(duì)于，有確定的值與之對(duì)應(yīng)，從而得一個(gè)以為自變量，為因變量的函數(shù)，我們稱之為以為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為，其中為中間變量?！纠?】 就是和復(fù)合而成； 就是和復(fù)合而成。注1：并非任何兩函數(shù)都可以復(fù)合的，例如：和不能復(fù)合； 和也不能復(fù)合。 2：復(fù)合可推廣到三個(gè)或更多的函數(shù)上去，如：就是復(fù)合成的。3：在函數(shù)復(fù)合中，未必都有、的形式，一般為和，這時(shí)候就要注意哪個(gè)為外函數(shù)，哪個(gè)為內(nèi)函數(shù)，從而復(fù)合后有和之分。2、初等函數(shù) 我們把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限

17、次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合后所得到的能用一個(gè)解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)?！纠?】 等都是初等函數(shù)。 本教材討論的主要都是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲正弦： 雙曲余弦： 雙曲正切： 反雙曲正弦： 反雙曲余弦： （多值函數(shù)取“+”號(hào)為主值） 反雙曲正切：由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)容就行了，其它的此外不細(xì)講了。 §1.2 數(shù)列的極限一、內(nèi)容要點(diǎn)（1）數(shù)列，數(shù)列極限的定義；（2）收斂的性質(zhì)：極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性、收斂數(shù)列的保號(hào)性、收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn) 數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義; 收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、

18、唯一性、子數(shù)列的收斂性.極限理論是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。極限概念比較抽象而且嚴(yán)謹(jǐn)，既是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。因此要逐字逐句地推敲務(wù)求領(lǐng)會(huì)它的精神實(shí)質(zhì)。主要內(nèi)容：定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為，由于全體自然數(shù)可以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對(duì)應(yīng)值也可以排成一列：，這就是最常見(jiàn)的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時(shí)也簡(jiǎn)記為或數(shù)列。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)?！纠?】 書(shū)上用圓內(nèi)接正邊形的面積來(lái)近似代替該圓的面積時(shí)，得到數(shù)列 （多邊形的面積數(shù)列）【例2】長(zhǎng)一尺的棒子，每天截去一半，無(wú)限制地進(jìn)行下去，那么剩下部分的長(zhǎng)構(gòu)成一數(shù)列： ，通項(xiàng)為?！纠?】 都是數(shù)列，其通項(xiàng)分別為。注：在

19、數(shù)軸上，數(shù)列的每項(xiàng)都相應(yīng)有點(diǎn)對(duì)應(yīng)它。如果將依次在數(shù)軸上描出點(diǎn)的位置，我們能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的位置的變化趨勢(shì)呢？顯然，是無(wú)限接近于0的；是無(wú)限增大的；的項(xiàng)是在1與兩點(diǎn)跳動(dòng)的，不接近于某一常數(shù)；無(wú)限接近常數(shù)1。對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)，最重要的是研究其在變化過(guò)程中無(wú)限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說(shuō)的數(shù)列的極限問(wèn)題。我們來(lái)觀察的情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)隨著的增大，無(wú)限制地接近1，亦即充分大時(shí)，與1可以任意地接近，即可以任意地小，換言之，當(dāng)充分大時(shí)可以小于預(yù)先給定的無(wú)論多么小的正數(shù)。例如，取，由，即從第101項(xiàng)開(kāi)始，以后的項(xiàng)都滿足不等式，或者說(shuō)，當(dāng)時(shí)，有。同理，若取，由，即從第10001項(xiàng)開(kāi)始，以后的項(xiàng)都滿足不

20、等式，或說(shuō)，當(dāng)時(shí)，有。一般地，不論給定的正數(shù)多么小，總存在一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。這就充分體現(xiàn)了當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，無(wú)限接近1這一事實(shí)。這個(gè)數(shù)“1”稱為當(dāng)時(shí)，的極限。定義：若對(duì)（不論多么?。?，總自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)都有成立，這是就稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為，或（）。如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的?！纠?】證明數(shù)列收斂于1。證明：對(duì)，要使得，只須，所以取，當(dāng)時(shí)，有，所以。注1：是衡量與的接近程度的，除要求為正以外，無(wú)任何限制。然而，盡管具有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它們也可代替） 2：是隨的變小而變大的，是的函數(shù)，即是依賴于的。在解題中，等于

21、多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，有就行了，而不必求最小的?！纠?】證明。證明：對(duì)，因?yàn)?因?yàn)?（此處不妨設(shè)，若，顯然有）所以要使得，只須就行了。 即有. 所以取 ，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛?，所以。注3：有時(shí)找比較困難，這時(shí)我們可把適當(dāng)?shù)刈冃巍⒎糯螅ㄇf(wàn)不可縮?。。?，若放大后小于，那么必有?！纠?】 設(shè)，證明的極限為0，即。證明：若，結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設(shè)，對(duì)，（因?yàn)樵叫≡胶?，不妨設(shè)），要使得，即，只須兩邊放對(duì)數(shù)后，成立就行了。因?yàn)?，所以，所?。 取，所以當(dāng)時(shí)，有成立。收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：定理1：（唯一性）數(shù)列不能收斂于兩個(gè)不同的極限。證明：設(shè)和為的任意兩個(gè)極限，下證。 由極限的定

22、義，對(duì)，必分別自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有(1) 當(dāng)時(shí)，有(2)令，當(dāng)時(shí)，（1），（2）同時(shí)成立?，F(xiàn)考慮： 由于均為常數(shù)，所以的極限只能有一個(gè)。注：本定理的證明方法很多，書(shū)上的證明自己看?！纠?】證明數(shù)列是發(fā)散的。證明：（反證法）假設(shè)收斂，由唯一性，設(shè)，按定義，對(duì)自然數(shù)，當(dāng) 時(shí)，考慮，而，總是一個(gè)“1”，一個(gè)“”，所以,所以矛盾， 所以 發(fā)散。定理2. （有界性）若數(shù)列收斂，那么它一定有界，即：對(duì)于數(shù)列 ，若正數(shù)，對(duì)一切，有。證明：設(shè)，由定義對(duì)自然數(shù)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，令，顯然對(duì)一切，。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列是有界的（），但函數(shù)收斂。此點(diǎn)希望注意！§1.3 函數(shù)的極限一、

23、內(nèi)容要點(diǎn)1 函數(shù)極限的定義：趨于有限值與無(wú)窮、單側(cè)極限；2 函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系；二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)極限概念比較抽象而且嚴(yán)謹(jǐn)，既是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。因此要逐字逐句地推敲務(wù)求領(lǐng)會(huì)它的精神實(shí)質(zhì)。同時(shí)還要注意與數(shù)列極限的定義與性質(zhì)加以區(qū)別。主要內(nèi)容：由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù)，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：1.自變量任意接近于有限值，或講趨向（于）（記）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的變化情況。2.當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大，或講趨向無(wú)窮大（記）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的變化情況。一、自變量趨

24、向有限值時(shí)函數(shù)的極限與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng)時(shí)，（為某常數(shù)），即當(dāng)時(shí)，與無(wú)限地接近，或說(shuō)可任意小，亦即對(duì)于預(yù)先任意給定的正整數(shù)（不論多么?。?，當(dāng)與充分接近時(shí)，可使得小于。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)，即定義1：如果對(duì)（不論它多么?。?，總，使得對(duì)于適合不等式 的一切所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足：，就稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為 ，或 （當(dāng)時(shí)）注1：“與充分接近”在定義中表現(xiàn)為：，有，即。顯然越小，與接近就越好，此與數(shù)列極限中的所起的作用是一樣的，它也依賴于。一般地，越小，相應(yīng)地也小一些。 2：定義中表示，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，有無(wú)限與在點(diǎn)（是否有）的定義無(wú)關(guān)（可以無(wú)定義，即使有定義，與值也無(wú)

25、關(guān)）。 3：幾何解釋：對(duì)，作兩條平行直線。由定義，對(duì)此。當(dāng)，且時(shí)，有。即函數(shù)的圖形夾在直線之間（可能除外）。換言之：當(dāng)時(shí)，。從圖中也可見(jiàn)不唯一！【例1】 證明 （為一常數(shù)）證明：對(duì)，可取任一正數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以?！纠?】 證明證明：對(duì)，要使得，只須， 所以取顯然當(dāng)時(shí)，有?！纠?】 證明 。證明：對(duì)，因?yàn)樗?此處，即考慮附近的情況，故不妨限制為，即，。因?yàn)椋?只須 ，即。?。◤膱D形中解釋），當(dāng)時(shí)，有。定理1：（保號(hào)性）設(shè)，（i） 若，則，當(dāng)時(shí)，。（ii） 若，必有。證明：（i）先證的情形。取，由定義，對(duì)此，當(dāng)時(shí)，即。 當(dāng)時(shí)，取，同理得證。 （ii）(反證法)若，由(i) 矛盾，所以。 當(dāng)時(shí)，類

26、似可證。注：(i)中的“”，“”不能改為“”，“”。 在(ii)中，若，未必有。在函數(shù)極限的定義中，是既從的左邊（即從小于的方向）趨于，也從的右邊（即從大于的方向）趨于。但有時(shí)只能或需要從的某一側(cè)趨于的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點(diǎn)處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義：定義2：對(duì)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有.這時(shí)就稱為當(dāng)時(shí)的左右極限，記為或。 或。定理2：?！纠?】，因?yàn)?，所以不存在?！纠?】設(shè)，求。 解：顯然 因?yàn)?，所以。二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義3：設(shè)當(dāng)時(shí)是有定義的，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，就稱為當(dāng)時(shí)的極限，記為或（當(dāng)時(shí)）。注1：設(shè)在上有定義，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，就稱為當(dāng)時(shí)的極限，記為，或（當(dāng)）（，

27、或（當(dāng)）。 2：。 3：若，就稱為的圖形的水平漸近線（若或，有類似的漸近線）?！纠?】 證明。證明：對(duì)，因?yàn)椋砸沟?，只須，故取，所以?dāng)時(shí)，有，所以。§1.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大一、內(nèi)容要點(diǎn) 1無(wú)窮小、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系2無(wú)窮大、無(wú)窮小與無(wú)窮大之間的關(guān)系二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系教學(xué)注意點(diǎn)： 無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的. （1） 無(wú)窮小（ 大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮??；（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.主要內(nèi)容：一、無(wú)窮小 若當(dāng)或時(shí)的極限

28、為零，就稱為當(dāng)或時(shí)的無(wú)窮小，即有定義1：對(duì)若，使得當(dāng)時(shí)，有成立，就稱為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小，記為。注1：除上兩種之外，還有的情形。2：無(wú)窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是0函數(shù)，由此得：0是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)?！纠?】 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)為無(wú)窮小；同理：，所以當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小，而，所以當(dāng)時(shí)不是無(wú)窮小。定理1：當(dāng)自變量在同一變化過(guò)程（或）中時(shí)：（i）具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無(wú)窮小之和，即：為的極限為無(wú)窮小。（ii）若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無(wú)窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限（證明在下一節(jié)）。二、無(wú)窮大 若當(dāng)或時(shí)，就稱為當(dāng)或時(shí)的無(wú)窮大

29、。定義2：若對(duì)，使得當(dāng)時(shí)，有，就稱當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大，記作:。注1：同理還有時(shí)的定義。 2：無(wú)窮大也不是一個(gè)數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 3：若或，按通常意義將，的極限不存在。【例2】 可證明，所以當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大。定理2：當(dāng)自變量在同一變化過(guò)程中時(shí)，（i）若為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小。（ii）若為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大。（證明自己看）§1.5 極限運(yùn)算法則一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 無(wú)窮小的運(yùn)算法則2. 極限的四則運(yùn)算法則3. 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：熟練掌握無(wú)窮小的運(yùn)算法則, 極限的四則運(yùn)算法則及其推論, 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,極限求法:a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b

30、.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.教學(xué)注意點(diǎn)：要注意定理的條件與結(jié)論,要注意定理的條件的充分與必要性等.主要內(nèi)容：由極限定義來(lái)求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來(lái)求極限。定理1：有限個(gè)無(wú)窮小的和仍為無(wú)窮小，即設(shè)（證明在后面）。注1：與都表示函數(shù)與，而不是常數(shù)。 2： “”下放沒(méi)標(biāo)自變量的變化過(guò)程，這說(shuō)明對(duì)及均成立，但須同一過(guò)程。定理2：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小，即設(shè)有界，。證明：證明時(shí)的情況，設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有界，即，當(dāng)時(shí)，有，又設(shè)為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小，即，故對(duì)，當(dāng)時(shí)，有 所以，即為無(wú)窮??；同理可證

31、時(shí)的情形。推論1：常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小，即若為常數(shù)，。推論2：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小，設(shè)。定理3：若，則存在，且。證明： 只證，過(guò)程為，對(duì)，當(dāng) 時(shí)，有，對(duì)此，當(dāng)時(shí)，有，取，當(dāng)時(shí)，有 所以。 其它情況類似可證。注1：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。 2：在本定理中，設(shè)，反之，若，其中，即證§1.5定理1。3：若令，即證定理1。定理4：若，則存在，且。證明：因?yàn)?，?#167;1.5定理1（i）（均為無(wú)窮?。?，記，由定理2的推論1.2及定理1為無(wú)窮小，再由§1.5定理1（iii）。推論1：（為常數(shù)）。推論2：（為正整數(shù)）。定理5：設(shè)，則。證明：設(shè)（為無(wú)窮?。?，考慮

32、差： 其分子為無(wú)窮小，分母，我們不難證明有界（詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)書(shū)上）為無(wú)窮小，記為，所以，由§1.5定理1（ii）。注：以上定理對(duì)數(shù)列亦成立。定理6：如果，且，則。【例1】。【例2】。推論1：設(shè)為一多項(xiàng)式，當(dāng)。推論2：設(shè)均為多項(xiàng)式，且，由定理5，?！纠?】?！纠?】（因?yàn)椋?。注：若，則不能用推論2來(lái)求極限，需采用其它手段?！纠?】求。解：當(dāng)時(shí)，分子、分母均趨于0，因?yàn)?，約去公因子，所以 ?！纠?】求。解：當(dāng)全沒(méi)有極限，故不能直接用定理3，但當(dāng)時(shí)，所以。【例7】求。解：當(dāng)時(shí)，故不能直接用定理5，又，考慮：， 由§1.5定理2（ii）。【例8】設(shè)為自然數(shù)，則 。證明：當(dāng)時(shí)，分子、分母

33、極限均不存在，故不能用§1.6定理5，先變形： 【例9】求。解：當(dāng)時(shí)，這是無(wú)窮多項(xiàng)相加，故不能用§1.6定理3，先變形： 原式。【例10】證明為的整數(shù)部分。證明：先考慮，因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，所以由§1.6定理2。§1.6 極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 極限存在準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有解原理，夾逼定理2. 兩個(gè)重要極限二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)熟練掌握利兩個(gè)重要極限求極限的方法主要內(nèi)容：準(zhǔn)則I：如果數(shù)列滿足下列條件：（i）對(duì);（ii）那么，數(shù)列的極限存在，且。證明：因?yàn)?，所以?duì)，當(dāng)時(shí)，有，即 ，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，即，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有， 即有：，即，所以 。

34、準(zhǔn)則I如果函數(shù)滿足下列條件：（i）當(dāng)時(shí)，有。（ii）當(dāng)時(shí)，有。那么當(dāng)時(shí)，的極限存在，且等于。作為準(zhǔn)則I的應(yīng)用，下面將證明第一個(gè)重要極限：。證明：作單位圓，如下圖：設(shè)為圓心角，并設(shè)見(jiàn)圖不難發(fā)現(xiàn)：，即：，即 ， （因?yàn)?，所以上不等式不改變方向?當(dāng)改變符號(hào)時(shí)，及1的值均不變，故對(duì)滿足的一切 ，有。 又因?yàn)椋?所以 而 ，證畢?！纠?】?！纠?】?！纠?】?！纠?】。準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限 如果數(shù)列滿足：，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列；若滿足：，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列；同理亦有嚴(yán)格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴(yán)格單減數(shù)列。 如果，使得：，就稱數(shù)列為有上界；若，使得：，就稱有下界。準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)上升，且有上

35、界的數(shù)列必有極限。準(zhǔn)則: 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。注1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。 2：準(zhǔn)則，可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。作為準(zhǔn)則的一個(gè)應(yīng)用，下面來(lái)證明極限是不存在的。先考慮取正整數(shù)時(shí)的情形：對(duì)于，有不等式：，即：，即：（i）現(xiàn)令，顯然，因?yàn)閷⑵浯?，所以，所以為單調(diào)數(shù)列。（ii）又令，所以 ，即對(duì)， 又對(duì)所以是有界的。由準(zhǔn)則或知 存在，并使用來(lái)表示，即注 1：關(guān)于此極限存在性的證明，書(shū)上有不同的方法，希望同學(xué)自己看！ 2：我們可證明：，具體在此不證明了，書(shū)上也有，由證明過(guò)程知：。 3：指數(shù)函數(shù)及自然對(duì)數(shù)中的底就是這個(gè)常數(shù)?！纠?】 【例2】 【

36、例3】 【例4】 Cauchy 極限存在準(zhǔn)則：數(shù)列收斂對(duì)，當(dāng)時(shí)，有 。注 1：此定理證明較繁，在此不證了。 2：本定理理論性較強(qiáng)，但不實(shí)用，故只須了解就行了。§1.7 無(wú)窮小的比較一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 無(wú)窮小的比2. 等價(jià)無(wú)窮小替換二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)無(wú)窮小的比較，反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較. 高(低)階無(wú)窮小; 等價(jià)無(wú)窮小; 無(wú)窮小的階.等價(jià)無(wú)窮小的代換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.主要內(nèi)容： 在§1、6中我們討論了無(wú)窮小的和、差、積的情況，對(duì)于其商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如： （為常數(shù)，為自然數(shù)）可見(jiàn)對(duì)于取不同數(shù)時(shí)

37、，與趨于0的速度不一樣，為此有必要對(duì)無(wú)窮小進(jìn)行比較或分類：定義：設(shè)與為在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，(i) 若，就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小，記為；(ii) 若，就說(shuō)是比低階的無(wú)窮??；(iii) 若，就說(shuō)是比同階的無(wú)窮??；(iv) 若，就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小，記為?！纠?】 當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，即；反之是的低階無(wú)窮??； 與是同階無(wú)窮小；與是等價(jià)無(wú)窮小，即。注 1：高階無(wú)窮小不具有等價(jià)代換性，即：，但，因?yàn)椴皇且粋€(gè)量，而是高階無(wú)窮小的記號(hào)； 2：顯然(iv)是(iii)的特殊情況； 3：等價(jià)無(wú)窮小具有傳遞性：即； 4：未必任意兩個(gè)無(wú)窮小量都可進(jìn)行比較，例如：當(dāng)時(shí)，與既非同階，又無(wú)高低階可比較，因?yàn)椴淮嬖冢?/p>

38、 5：對(duì)于無(wú)窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價(jià)無(wú)窮小可以簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，事實(shí)上，有：定理：若均為的同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且，及，那么。【例2】 求。解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以 。【例3】 求解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 所以 原式。7：在目前，常用當(dāng)時(shí)，等價(jià)無(wú)窮小有：；8：用等價(jià)無(wú)窮小代換適用于乘、除，對(duì)于加、減須謹(jǐn)慎！ §1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 函數(shù)的連續(xù)性2. 函數(shù)的間斷點(diǎn)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點(diǎn)的分類與判別;主要內(nèi)容：一、 函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，在實(shí)際問(wèn)題中普遍存在連續(xù)性問(wèn)題，從圖形上

39、看，函數(shù)的圖象連綿不斷。在數(shù)學(xué)上，我們有：定義 1：設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，若，就稱函數(shù)在 點(diǎn)處連續(xù)。注 1：在點(diǎn)連續(xù)，不僅要求在點(diǎn)有意義，存在，而且要，即極限值等于函數(shù)值。 2：若，就稱在點(diǎn)左連續(xù)。若，就稱在點(diǎn)右連續(xù)。 3：如果在區(qū)間上的每一點(diǎn)處都連續(xù)，就稱在上連續(xù)；并稱為上的連續(xù)函數(shù)；若包含端點(diǎn)，那么在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。定義1：設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，就稱在點(diǎn)連續(xù)。 下面再給出連續(xù)性定義的另一種形式：先介紹增量：變量由初值變到終值，終值與初值的差稱為的增量，記為，即；可正、可負(fù)、也可為零，這些取決于與的大小。 我們稱為自變量在點(diǎn)的增量，記為，即或；相

40、應(yīng)函數(shù)值差，稱為函數(shù)在點(diǎn)的增量，記為，即，即或，。定義1：設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，有，即，或，就稱在點(diǎn)連續(xù)。定理：在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)。【例1】 多項(xiàng)式函數(shù)在上是連續(xù)的；所以，有理函數(shù)在分母不等于零的點(diǎn)處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的。以上由§1.6【例2】的推論1、推論2即得。【例2】不難證明在上是連續(xù)的?！纠?】證明在點(diǎn)連續(xù)。證明：，又，所以由定理 在點(diǎn)連續(xù)； 或由前§1.4習(xí)題5知，所以 在點(diǎn)連續(xù)?！纠?】討論函數(shù) 在的連續(xù)性。解： ，因?yàn)椋栽摵瘮?shù)在點(diǎn)不連續(xù)，又因?yàn)?，所以為右連續(xù)函數(shù)。二、間斷點(diǎn) 簡(jiǎn)單地說(shuō)，若在點(diǎn)不連續(xù)，就稱為的間斷點(diǎn)，或不連續(xù)點(diǎn)，

41、為方便起見(jiàn)，在此要求的任一鄰域均含有的定義域中非的點(diǎn)。間斷點(diǎn)有下列三種情況：（1）在沒(méi)有定義；（2）不存在；（3）雖然不存在，也雖然在點(diǎn)有定義，但。種常見(jiàn)的間斷點(diǎn)類型：【例5】設(shè)，當(dāng)，即極限不存在，所以為的間斷點(diǎn)。因?yàn)?，所以為無(wú)窮間斷點(diǎn)?！纠?】在點(diǎn)無(wú)定義，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)值在與之間無(wú)限次地振蕩，而不超于某一定數(shù)，見(jiàn)書(shū)上圖，這種間斷點(diǎn)稱為振蕩間斷點(diǎn)。1. 均為振蕩間斷點(diǎn)。2、 不連續(xù)，連續(xù)?！纠?】 在點(diǎn)無(wú)定義，所以為其間斷點(diǎn)，又，所以若補(bǔ)充定義，那么函數(shù)在點(diǎn)就連續(xù)了。故這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)?！纠?】 例4的函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于的，這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。例如在處即

42、為跳躍間斷點(diǎn)。歸納：(1)，為無(wú)窮間斷點(diǎn)； (2)震蕩不存在，為震蕩間斷點(diǎn)； (3)，為可去間斷點(diǎn)； (4)，為跳躍間斷點(diǎn)。 如果在間斷點(diǎn)處的左右極限都存在，就稱為的第一類間斷點(diǎn)，顯然它包含(3)、(4)兩種情況；否則就稱為第二類間斷點(diǎn)。 §1.9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 四則運(yùn)算的連續(xù)性2. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3. 初等函數(shù)的連續(xù)性二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性的兩個(gè)意義：（1）極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;（2） 2. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);（定義區(qū)間與定義域的區(qū)別）3. 初等函數(shù)求極限的方法代入法主要內(nèi)容：一、 續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理1(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則)：若均在連續(xù)，則及（要求）都在連續(xù)。定理2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果在區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)。注1：亦為的反函數(shù)，如上知：在上有上述性質(zhì)。定理3：設(shè)當(dāng)時(shí)的極限存在且等