微積分下冊主要知識點匯總

1、一、第一換元積分法(湊微分法).二、常用湊微分公式 三、第二換元法 ,注: 以上幾例所使用的均為三角代換, 三角代換的目的是化掉根式, 其一般規(guī)律如下: 當(dāng)被積函數(shù)中含有a) 可令 b) 可令 c) 可令 當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時, 常采用倒代換. 四、積分表續(xù)4.3分部積分法分部積分公式： (3.1) (3.2)分部積分法實質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(或微分)的逆運算. 一般地, 下列類型的被積函數(shù)常考慮應(yīng)用分部積分法(其中m, n都是正整數(shù)).5.1定積分的概念5.2定積分的性質(zhì)兩點補充規(guī)定：(a) 當(dāng)時, (b) 當(dāng)時, .性質(zhì)1 性質(zhì)2 (k為常數(shù)).性質(zhì)3 .性質(zhì)4 性質(zhì)5 若

2、在區(qū)間上有 則 推論1 若在區(qū)間上 則 推論2 性質(zhì)6 (估值定理)設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值,則性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上至少存在一個點, 使5.3微積分的基本公式一、引例 二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：定理2 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)就是在上的一個原函數(shù). 三、牛頓萊布尼茲公式定理3 若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù),則. (3.6)公式(3.4)稱為牛頓萊布尼茨公式.5.4定積分的換元法積分法和分部積分法一、定積分換元積分法定理1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件：（1） 且；（2）在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有. (4.1)公式(4.

3、1)稱為定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似. 但是,在應(yīng)用定積分的換元公式時應(yīng)注意以下兩點：（1）用把變量x換成新變量t時, 積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限,且上限對應(yīng)于上限,下限對應(yīng)于下限；（2） 求出的一個原函數(shù)后,不必象計算不定積分那樣再把變換成原變量x的函數(shù),而只要把新變量t的上、下限分別代入然后相減就行了.二、定積分的分部積分法 或 5.5廣義積分一、無窮限的廣義積分 二、無界函數(shù)的廣義積分5.6定積分的幾何應(yīng)用一、微元法定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個步驟把所求的量表示為定積分的形式. 可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量

4、（總量）表示為定積分的方法微元法，這個方法的主要步驟如下： (1) 由分割寫出微元 根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，例如為積分變量，并確定它的變化區(qū)間，任取的一個區(qū)間微元，求出相應(yīng)于這個區(qū)間微元上部分量的近似值，即求出所求總量的微元 ； (2) 由微元寫出積分 根據(jù)寫出表示總量的定積分微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學(xué)與經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用. 應(yīng)用微元法解決實際問題時，應(yīng)注意如下兩點： (1) 所求總量關(guān)于區(qū)間應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間分成許多部分區(qū)間, 則相應(yīng)地分成許多部分量, 而等于所有部分量之和. 這一要求是由定積分概念本身所決

5、定的; (2) 使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量的近似表達(dá)式，即使得. 在通常情況下，要檢驗是否為的高階無窮小并非易事，因此，在實際應(yīng)用要注意的合理性.二、平面圖形的面積（1）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 （2）極坐標(biāo)系下平面圖形的面積曲邊扇形的面積微元 所求曲邊扇形的面積 三、旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體. 這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.旋轉(zhuǎn)體的體積微元 所求旋轉(zhuǎn)體的體積 四、平行截面面積為已知的立體的體積：如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.體積微元 所求立體的體積 5.7積分在經(jīng)濟分析的應(yīng)

6、用6.1空間解析幾何簡介一、空間直角坐標(biāo)系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標(biāo)系，并通過平面直角坐標(biāo)系，把平面上的點與有序數(shù)組(即點的坐標(biāo))對應(yīng)起來. 同樣，為了把空間的任一點與有序數(shù)組對應(yīng)起來，我們來建立空間直角坐標(biāo)系.過空間一定點O, 作三條相互垂直的數(shù)軸， 依次記為軸（橫軸）、軸（縱軸）、軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系（圖6-1-1）. 空間直角坐標(biāo)系有右手系和左手系兩種. 我們通常采用右手系. 二、空間兩點間的距離三曲面及其方程定義1在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面上任一點坐標(biāo)都滿足方程，而不在曲面S上的任何點的坐標(biāo)都不滿足該方程，則方程稱為曲面S的方程, 而曲

7、面S就稱為方程的圖形空間曲面研究的兩個基本問題是:(1) 已知曲面上的點所滿足的幾何條件，建立曲面的方程;(2) 已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面. 可以證明空間中任一平面都可以用三元一次方程 (1.3)來表示，反之亦然. 其中、是不全為零常數(shù). 方程(1.3)稱為平面的一般方程.柱面定義2 平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線所形成的軌跡稱為柱面. 這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線, 動直線稱為柱面的母線.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交線（即截痕），通過綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)來認(rèn)識曲

8、面形狀的全貌. 這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為截痕法. 橢球面 (1.4)橢圓拋物面 （）雙曲拋物面 ( 與同號) 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 二次錐面 6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念：內(nèi)點、外點、邊界點、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域 二、二元函數(shù)的概念定義1 設(shè)D是平面上的一個非空點集，如果對于內(nèi)的任一點，按照某種法則，都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)值記為，即，其中x，y稱為自變量， z稱為因變量. 點集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù). 當(dāng)時, n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). 二元函數(shù)的幾何意義 三、二元函

9、數(shù)的極限定義2 設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點無限趨于點時，函數(shù)無限趨于一個常數(shù)，則稱A為函數(shù)當(dāng) 時的極限. 記為.或 （）也記作 或 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運算法則，在此不再詳述. 為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限. 四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3 設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果,則稱在點處連續(xù). 如果函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱函數(shù)在處間斷. 與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算和復(fù)合運算后仍為二元連續(xù)函數(shù). 由和的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù). 一切二元初等函數(shù)在其定

10、義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域. 利用這個結(jié)論，當(dāng)要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點的極限時，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理. 下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 若在D上取得兩個不同的函數(shù)值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)

11、數(shù)的定義及其計算法定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)y 固定在而x在處有增量時, 相應(yīng)地函數(shù)有增量如果存在, 則稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù), 記為例如，有.類似地，函數(shù)在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)為,記為上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時, 只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來計算之. 二、關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補充以下幾點說明：（1）對一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)可看作函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 但偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體. （2）與一元函數(shù)類似，對于分段函數(shù)在分段點的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求.（3）在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道，如果函數(shù)

12、在某點存在導(dǎo)數(shù)，則它在該點必定連續(xù). 但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 例如，二元函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)為但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點處不連續(xù).三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為，是該曲面上一點，過點作平面，截此曲面得一條曲線，其方程為則偏導(dǎo)數(shù)表示上述曲線在點處的切線對軸正向的斜率（圖6-3-1）. 同理，偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對y軸正向的斜率. 四、偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義設(shè)某產(chǎn)品的需求量 其中p為該產(chǎn)品的價格, y為消費者收入.記需求量Q對于價格p、消費者收入y的偏改變量分別為和 易見，表示Q對價格p由p變到的平均變化率. 而表示當(dāng)價格為p、

13、消費者收入為y時, Q對于p的變化率. 稱為需求Q對價格p的偏彈性.同理，表示Q對收入y由y變到的平均變化率. 而表示當(dāng)價格p、消費者收入為y時, Q對于y的變化率. 稱為需求Q對收入y的偏彈性.五、科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 在商業(yè)與經(jīng)濟中經(jīng)?？紤]的一個生產(chǎn)模型是科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) ，其中是由個人力單位和個資本單位生產(chǎn)處的產(chǎn)品數(shù)量（資本是機器、場地、生產(chǎn)工具和其它用品的成本）。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。六、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)則在內(nèi)和都是、的函數(shù). 如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

14、：其中第二、第三兩個偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù). 類似地，可以定義三階、四階、階偏導(dǎo)數(shù). 我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 則在該區(qū)域內(nèi)有.6.4全微分一、微分的定義定義1 如果函數(shù)在點的全增量可以表示為 (4.2)其中A,B不依賴于而僅與x, y有關(guān),則稱函數(shù)在點可微分, 稱為函數(shù)在點的全微分, 記為 即. (4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件) 如果函數(shù)在點處可微分, 則該函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)必存在, 且在點處的全微分. (4.4)我們知道，一元函數(shù)在某點可導(dǎo)是在該點可微

15、的充分必要條件. 但對于多元函數(shù)則不然. 定理1 的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件. 由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因為函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況. 但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性. 一般地，我們有：定理2 (充分條件) 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù), 則函數(shù)在該點處可微分. 三、微分的計算習(xí)慣上，常將自變量的增量、分別記為、，并分別稱為自變量的微分. 這樣，函數(shù)的全微分就表為 (4.5)上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及

16、三元以上的多元函數(shù)中去. 例如，三元函數(shù)的全微分可表為 (4.6) 四、全微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù), 且都較小時, 則根據(jù)全微分定義，有即 由，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計算公式 (4.7)6.5復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法 1復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù),構(gòu)成復(fù)合函數(shù) （5.1）公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù). 2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形 設(shè)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) (5.3) (5.4)3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3 如果函數(shù)在點具有對及對的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則

17、復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 (5.7) (5.8)注：這里與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把函數(shù)中的及看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù). 與也有類似的區(qū)別. 在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號:這里下標(biāo)1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)，同理有 等等. 二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的全微分形式不變性. 以二元函數(shù)為例，設(shè), 是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有由此可見，盡管現(xiàn)在的u、v是中間變量，但全微分與、是自變量時的表達(dá)式在形式上完全一致. 這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性. 適當(dāng)應(yīng)用這個性質(zhì)，

18、會收到很好的效果. 三、 隱函數(shù)微分法 在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程 (5.11)來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法. 這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并通過多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足 并有 (5.12)定理5 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 它滿足條件,并有 (5.14)6.6多元函數(shù)的極值及求

19、法一、二元函數(shù)極值的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義, 對于該鄰域內(nèi)異于的任意一點, 如果則稱函數(shù)在有極大值；如果則稱函數(shù)在有極小值; 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理1 (必要條件) 設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點處有極值, 則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 (6.1)與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.定理2 (充分條件) 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令(1) 當(dāng)時，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時有極小值；時有極大值；(2) 當(dāng)時，函數(shù)在處沒有極值;(3) 當(dāng)時，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值.

20、根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組 求出的所有駐點；第二步 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點處A、 B、 C的值，并根據(jù)的符號判定駐點是否為極值點. 最后求出函數(shù)在極值點處的極值.二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)的最大值和最小值的一般步驟為: （1）求函數(shù)在內(nèi)所有駐點處的函數(shù)值; （2）求在的邊界上的最大值和最小值; （3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值, 最小者即為最小值.在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)的最大值（最小值）一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的

21、函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（最小值）. 三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值. 但在實際問題中，常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題. 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題.于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù);(2) 由方程組解出, 其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點.注：拉格朗日乘數(shù)

22、法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點是否為極值點, 還需要加以討論. 不過在實際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形:四、數(shù)學(xué)建模舉例6.7 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念定義1 設(shè)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù). 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 其中表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個上任取一點, 作乘積并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 這和式的極限存在, 則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分, 記為 即 (7.2)其中稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式, 稱為面積微元, 和稱為積分變量,稱為積分區(qū)域, 并稱為積分和.對二重積分定義的說明:(1) 如果二重積分存在，則稱函數(shù)在區(qū)域上是可積的. 可以證明，如果函數(shù)區(qū)域上連續(xù)，則在區(qū)域上是可積的. 今后，我們總假定被積函數(shù)在積分區(qū)域上是連續(xù)的;(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)在區(qū)域上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法