微分幾何 陳維桓 講稿

1、目 錄第三章 曲面的第一基本形式27§ 3.1 正則參數(shù)曲面27一、參數(shù)曲面27二、參數(shù)變換28三、正則曲面29四、正則曲面的例子30§ 3.2 切平面和法線33一、曲面的切空間，切平面和法線33二、連續(xù)可微函數(shù)的等值面34三、微分的幾何意義35§ 3.3 第一基本形式35§ 3.4 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性38§ 3.5 保長對應(yīng)和保角對應(yīng)40一、曲面到曲面的連續(xù)可微映射40二、切映射40三、保長對應(yīng)(等距對應(yīng))42四、保角對應(yīng)(共形對應(yīng))44§ 3.6 可展曲面45第三章 曲面的第一基本形式本章內(nèi)容：曲面的定義，參數(shù)曲線網(wǎng)，切

2、平面，單位法向量，第一基本形式，正交參數(shù)網(wǎng)，等距對應(yīng)和共形對應(yīng)，可展曲面計(jì)劃學(xué)時：12學(xué)時，含習(xí)題課4學(xué)時. 難點(diǎn)：正交參數(shù)網(wǎng)的存在性，等距對應(yīng)和共形對應(yīng)§ 3.1 正則參數(shù)曲面一、參數(shù)曲面從平面的一個區(qū)域(region，即連通開集)到中的一個連續(xù)映射的象集稱為中的一個參數(shù)曲面(parameterized surface). 在中取定正交標(biāo)架，建立笛卡爾右手直角坐標(biāo)系. 則參數(shù)曲面可以通過參數(shù)(parameter)表示成參數(shù)方程 ， (1.1)或?qū)懗上蛄繀?shù)方程，. (1.2)為了使用微積分工具，本書中要求向量函數(shù)都是3次以上連續(xù)可微的. 圖3.1-曲線：讓固定，變化，向量的終點(diǎn)描出

3、的軌跡. -曲線，參數(shù)曲線網(wǎng). 直觀上，參數(shù)曲面就是將平面中的區(qū)域經(jīng)過伸縮、扭曲等連續(xù)變形后放到歐氏空間中的結(jié)果. 曲紋坐標(biāo)，即.一般來說，由(1.1)給出的連續(xù)映射并不能保證曲面上的點(diǎn)與該點(diǎn)的參數(shù)之間是一一對應(yīng)的. 為了使得曲紋坐標(biāo)能真正起到坐標(biāo)的作用，需要對參數(shù)曲面加上正則性條件. 定義 設(shè)為中的參數(shù)曲面. 如果在點(diǎn)，兩條參數(shù)曲線的切向量 ， (1.3)線性無關(guān)，即，則稱或是的正則點(diǎn)(regular point). 如果上每一點(diǎn)都是正則點(diǎn)，則稱是正則參數(shù)曲面.以下總假定是正則曲面. 在正則曲面上每一點(diǎn)，由于， (1.4)通過重新選取正交標(biāo)架，不妨設(shè).根據(jù)反函數(shù)定理，存在的鄰域，使得有連續(xù)可

4、微的反函數(shù)，即有.此時有的鄰域和同胚映射. 從而有連續(xù)映射. 于是在的鄰域內(nèi)可用參數(shù)方程表示為， (*) 或表示為一個二元函數(shù)的圖像，其中. (1.5)上式稱為曲面片的Monge形式，或稱為的顯式方程. 從(*)式可見是一一對應(yīng)，從而也是一一對應(yīng). 這說明正則性條件至少保證了局部是一一對應(yīng). 為了確定起見，以下約定正則曲面與其定義域之間總是一一對應(yīng)的，從而參數(shù)可以作為曲面上點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 反之，由顯式方程表示的曲面總是正則的：如果 ， (1.6)則，從而.二、參數(shù)變換曲面的定向(orientation)：對于曲面，規(guī)定所指的一側(cè)為的正側(cè).由于參數(shù)曲面的參數(shù)方程中，參數(shù)的選擇不是唯一的，在進(jìn)行參

5、數(shù)變換(transformation of parameter)時，要求參數(shù)變換 (1.8)滿足：(1) 是的3次以上連續(xù)可微函數(shù)；(2) 處處不為零. 這樣的參數(shù)變換稱為可允許的(compatible)參數(shù)變換. 當(dāng)時，稱為保持定向(preserve the orientation)的參數(shù)變換. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在新的參數(shù)下， .因此 . (1.10)上式說明在可允許的參數(shù)變換下，正則性保持不變；在保持定向的參數(shù)變換下，曲面片的正側(cè)保持不變. 三、正則曲面正則參數(shù)曲面在具體應(yīng)用總是十分方便，十分廣泛的. 但是有的曲面不能夠用一張正則參數(shù)曲面來表示，例如球面. 將與等同，賦予普通的度量

6、拓?fù)?，即以的?biāo)準(zhǔn)度量確定的拓?fù)?定義1.1 設(shè)是的一個子集，具有相對拓?fù)? 如果對任意一點(diǎn)，存在在中的一個鄰域(，其中是在中的鄰域)，和中的一個區(qū)域，以及同胚 ，使得是中一個正則參數(shù)曲面，則稱是中的一張正則曲面(regular surface)，簡稱曲面. 上述的鄰域和同胚的逆映射合在一起，將稱為該曲面的一個局部參數(shù)化(local parameterization)，或坐標(biāo)卡(coordinate chart). 注 的拓?fù)涫亲鳛榈淖蛹瘡恼T導(dǎo)的相對拓?fù)?，即作為的拓?fù)渥涌臻g的拓?fù)? 如果兩個局部參數(shù)化，滿足，那么正則參數(shù)曲面就有兩個參數(shù)表示和. 由此自然產(chǎn)生了參數(shù)變換.利用正則參數(shù)曲面的3次以上

7、連續(xù)可微性和正則性，可以證明上述參數(shù)變換是可允許的. 直觀上看，正則曲面是由一些正則參數(shù)曲面“粘合”而成的. 只有那些與參數(shù)的選擇無關(guān)的量才是曲面本身的幾何量. 如果一個正則曲面有一族保持定向的局部參數(shù)化(為指標(biāo)集)，使得構(gòu)成的開覆蓋，則稱該曲面是可定向的(orientable). 除非特別指出，本課程一般是研究正則參數(shù)曲面的幾何性質(zhì)，稱之為“局部微分幾何學(xué)”. 以下所說的“曲面”一般都是正則參數(shù)曲面，包括習(xí)題中出現(xiàn)的“曲面”.四、正則曲面的例子圖3.2例1.1 圓柱面(cylinder) ，. (1.15)其中.當(dāng)時，圓柱面上少了一條直線.如果取，上面的直線在參數(shù)曲面上，但是又少了一條直線.

8、 顯然是任意階連續(xù)可微的. 又，.所以圓柱面是正則曲面. 圓柱面也可以用一個坐標(biāo)卡表示：，.所以圓柱面是可定向的. 圖3.3例1.2 球面(sphere) ，參數(shù)方程為，. (1.16)其中. 由于，所以球面是正則曲面.問題：球面至少需要幾個坐標(biāo)卡才能將它覆蓋？(參見習(xí)題2)圖3.4例1.3 旋轉(zhuǎn)面(revolution surface) 設(shè)是平面上一條曲線，其中. 將繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面參數(shù)方程為 ，. (1.18)旋轉(zhuǎn)面上的u-曲線稱為緯線圓，v-曲線稱為經(jīng)線. 因?yàn)?，所以?dāng)是正則曲線，并且時，是正則曲面. 圖3.5例1.4 正螺面(hericoid) 設(shè)兩條直線和垂直相交. 將直線一方面

9、繞作勻速轉(zhuǎn)動，同時沿作勻速滑動，的運(yùn)動軌跡叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直線為x軸，為z軸，建立右手直角坐標(biāo)系. 則正螺面的參數(shù)方程為，. (1.19)由，可知正螺面是正則曲面. 例1.5 直紋面(ruled surface) 簡單來說，直紋面就是由單參數(shù)直線族構(gòu)成的曲面. 設(shè) ()是一條空間正則曲線. 在上對應(yīng)于參數(shù)的每一點(diǎn)有一條直線，其方向向量為. 這條直線的參數(shù)方程可以寫成.讓在區(qū)間內(nèi)變動，所有這些直線就拼成一個曲面，稱為直紋面. 它的參數(shù)方程為，. (1.20)曲線稱為該直紋面的準(zhǔn)線(directrix)，而這個單參數(shù)直線族中的每一條直線都稱為直紋面的一條直母線(generati

10、ng line)，也就是直紋面的-曲線. 為了保證直紋面的正則性，要求. (1.21)因?yàn)橹蹦妇€的方向向量，通過參數(shù)變換，可設(shè). 再通過選取新的準(zhǔn)線，其中是待定的函數(shù)，使得直母線處處與準(zhǔn)線垂直相交，即. 因?yàn)?，只須取即?1. 當(dāng)為常向量時，所有的直母線互相平行，直紋面稱為柱面(cylindrical surface). 2. 當(dāng)所有的直母線都經(jīng)過一個定點(diǎn)時，直紋面稱為錐面(cone). 3. 當(dāng)時，稱為切線曲面(tangent surface)，由準(zhǔn)線的所有切線構(gòu)成. 這3種直紋面有共同的特征，在§3.6還要進(jìn)一步討論. 課外作業(yè)：習(xí)題2，5§ 3.2 切平面和法線一、曲

11、面的切空間，切平面和法線設(shè)是中一個正則曲面，是曲面上點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 設(shè)是上任意一個固定點(diǎn). 則上過點(diǎn)的一條可微(參數(shù))曲線可以表示為， (2.2)其中 (2.1)是中一條可微曲線(不一定是正則曲線)，滿足，. 因此，正是點(diǎn)的位置向量. 曲線在點(diǎn)的切向量為. (2.3)圖3.1定義2.1 曲面上過點(diǎn)的任意一條連續(xù)可微曲線在該點(diǎn)的切向量稱為曲面在點(diǎn)的一個切向量(tangent vector). 命題 曲面在點(diǎn)的切向量全體記為，它是一個2維實(shí)向量空間，是的一個基. 事實(shí)上，稱為曲面在點(diǎn)的切空間(tangent space). 證明 記. 由(2.3)可見. 反之，對任意，令. 則是過的可微曲線，并且

12、.所以. 因此，從而.顯然按照向量的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個向量空間. 由于線性無關(guān)，它們構(gòu)成的基. 在空間中，經(jīng)過點(diǎn)，以兩個不共線向量為方向向量的平面稱為曲面在點(diǎn)的切平面(tangent plane). 切平面的參數(shù)方程為，. (2.6)它的單位法向量(unit normal vector)為 . (2.7)經(jīng)過點(diǎn)且垂直于在點(diǎn)的切平面的直線稱為曲面在點(diǎn)的法線(normal line). 它的參數(shù)方程為，. (2.8)曲面在點(diǎn)的切空間、切平面、法線這三個概念都是與參數(shù)選擇無關(guān)的幾何概念. (為什么？)曲面上的自然標(biāo)架：. 圖3.6二、連續(xù)可微函數(shù)的等值面設(shè)是一個區(qū)域，是定義在上的連續(xù)可微函數(shù). 對于

13、一個常數(shù)，集合稱為函數(shù)的等值面. 如果在的每一點(diǎn)，都有， (2.9)則等值面是一個正則曲面. 事實(shí)上，設(shè)在，有，則方程 (2.10)在點(diǎn)的鄰近確定了一個隱函數(shù)，使得，. 于是等值面局部地可以用參數(shù)方程表示為 . (2.11)由于，等值面是正則曲面. 在等值面上每一點(diǎn)，梯度向量是一個法向量，即是與切平面垂直的向量.事實(shí)上，由(2.11)可得切空間的基底. 由(2.10)兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù)并注意，得，即有，.三、微分的幾何意義設(shè)曲面的參數(shù)方程為. 微分得到 . (2.13)將看作4個獨(dú)立的變量，則對于(2.13)中的不同取值，就得到不同的切向量.有時也用比值來表示曲面上的一個切方向. 自然，這時要

14、求不能全為0. 變量是切向量關(guān)于切空間的基底的分量，因此是向量空間上的線性函數(shù)，即(對偶空間). 事實(shí)上，按照定義.同理，. 注. 由于切空間的自然基底一般不是單位正交的，在把看作切向量在這個基底下的分量計(jì)算內(nèi)積時，不能將它當(dāng)作笛卡爾坐標(biāo)系下的分量來進(jìn)行運(yùn)算，而應(yīng)當(dāng)顧及自然基底的度量系數(shù)(參看下一節(jié)). 課外作業(yè)：習(xí)題1，3，5. § 3.3 第一基本形式設(shè)是中一個正則參數(shù)曲面. 則 (3.1)是曲面上任意一點(diǎn)處的切向量，這個向量作為中的向量可以計(jì)算它的長度. 令， ，. (3.2)這三個函數(shù)稱為曲面的第一類基本量. 而矩陣 (3.3)稱為切空間(關(guān)于基底)的度量矩陣(metric

15、matrix). 由于的度量是正定的，這是一個正定矩陣. 事實(shí)上，它的2個順序主子式均：，. (Lagrange 恒等式)利用第一類基本量的定義，有.這是一個關(guān)于變量的二次型，稱為曲面的第一基本形式(first fundamental form)，記為 . (3.4)對曲面作可允許的參數(shù)變換 ， (3.5)并記. 則由微分形式的不變性得. (*)記參數(shù)變換(3.5)的Jacobi矩陣為. (3.10)則有， (3.7, 3.9). (3.8)因此在新的參數(shù)下，度量矩陣成為， (3.12)從而第一類基本量之間的關(guān)系為 (3.13)在新的參數(shù)下，第一基本形式保持不變：. 因此第一基本形式與參數(shù)選擇

16、無關(guān)，也與的標(biāo)架選擇無關(guān)，是一個幾何量. 其實(shí)，這一結(jié)論也可由微分形式不變性，也就是(*)式直接得到：. 如果和是處的兩個切向量，則它們的內(nèi)積為 . (3.15)因此切向量的長度為 . (3.16)兩個切向量和之間的夾角滿足. (3.17)它們相互正交的充分必要條件是 . (3.18)定理3.1 在參數(shù)曲面上，參數(shù)曲線網(wǎng)是正交曲線網(wǎng). 對于參數(shù)曲面上的一條曲線，它的弧長為. (3.21)定義 稱為曲面, 的面積元素，稱 (3.18)為曲面的面積. 命題 曲面上曲線的弧長，曲面的面積元素以及曲面的面積都是幾何量. 證明 假設(shè)參數(shù)變換為，其中.則在新參數(shù)下，的參數(shù)方程與原參數(shù)方程之間滿足.1. 曲

17、線的參數(shù)方程由變成了.所以.2. 由(3.12)可見，在新參數(shù)下，第一類基本量滿足.其中是的逆映射的Jacobi行列式. 另一方面根據(jù)二重積分的變量代換公式，.所以在新參數(shù)下的面積元素.3. 根據(jù)二重積分的變量代換公式，有. 例1 求旋轉(zhuǎn)面的第一基本形式. 解 ，. 所以，.這說明在旋轉(zhuǎn)面上，經(jīng)線和緯線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 第一基本形式為. (3.24)這說明在旋轉(zhuǎn)面上經(jīng)線(v-曲線)和緯線(u-曲線)構(gòu)成正交參數(shù)曲線網(wǎng). 例2 求曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程.解 設(shè)正則參數(shù)曲面的第一基本形式是.再設(shè)二等分角軌線的切向量為.由題意，它與u-曲線的夾角要等于它與v-曲線的夾角，而u-曲線

18、的切方向?yàn)?，v-曲線的切方向?yàn)?，所?將和代入上式，得，即.由于，即，所以上式可化簡為， (3.25)或等價地，參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程為. 注 求解一階常微分方程初值問題，()得到的解是曲面上過點(diǎn)的一條曲線，在的每一點(diǎn)，切方向與該點(diǎn)處的兩條參數(shù)曲線的切方向夾角相等. 固定，讓初始條件變動，就得到2族這樣的曲線，它們就是參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線. 課外作業(yè)：習(xí)題2，5，8§ 3.4 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性在正交參數(shù)曲線網(wǎng)下，第一基本形式比較簡單：. 問題：曲面上是否存在正交參數(shù)曲線網(wǎng)？引理 設(shè)是定義在區(qū)域上的連續(xù)可微的1次微分形式，且處處不為零. 則對于任意一點(diǎn)，在的

19、某個鄰域內(nèi)存在積分因子，即有定義在上的非零連續(xù)可微函數(shù)，使得是某個定義在上的連續(xù)可微函數(shù)的全微分：. 引理的證明見附錄§1定理1.2. 定理4.1 假定在曲面上有兩個處處線性無關(guān)的、連續(xù)可微的切向量場, . 則對每一點(diǎn)，必有點(diǎn)的一個鄰域，使得在上存在新的參數(shù)，滿足，. 分析：設(shè)，. (4.2)則由線性無關(guān)可知. (4.3)如果這樣的可允許參數(shù)變換存在，則應(yīng)有函數(shù)使得， (4.5)即有. (4.7)在上述等式兩邊取逆矩陣得. (4.8)因此逆參數(shù)變換應(yīng)滿足 (4.9)定理4.1的證明：考慮兩個1次微分形式，. (4.10)由引理可知存在積分因子使得是全微分，即有函數(shù)，使得 (4.11)

20、由此可見. (4.12)因?yàn)椋瑓?shù)變換是可允許的. 在新的參數(shù)下， 同理有. 注 滿足條件的新參數(shù)僅是局部存在的，并且不能使得. 定理4.2 在曲面上每一點(diǎn)，有點(diǎn)的一個鄰域，使得在上存在新的參數(shù)，滿足.證明. 取向量場. 則線性無關(guān)，且. 注 在曲面上，令 ，. 則是曲面上的單位正交切向量場，稱為的Schmidt正交化. 課外作業(yè)：習(xí)題1，3§ 3.5 保長對應(yīng)和保角對應(yīng)一、曲面到曲面的連續(xù)可微映射設(shè)有兩個曲面和. 因?yàn)榍嫔系狞c(diǎn)與它的參數(shù)(曲紋坐標(biāo))是一一對應(yīng)的，從曲面到曲面的映射可以通過它們的參數(shù)表示出來，即有映射使得，或. 將映射通過它們的參數(shù)用兩個函數(shù)表示出來，則有 (5.1

21、)如果(5.1)中的兩個函數(shù)都是連續(xù)可微的，則稱映射是連續(xù)可微的. 這一概念在曲面的可允許參數(shù)變換下保持不變，因此與這兩個曲面的參數(shù)取法無關(guān). 以下總假定映射有足夠的連續(xù)可微性. 二、切映射設(shè)兩個曲面的參數(shù)方程分別為和，. 映射是連續(xù)可微的，它的參數(shù)表示為，其中 . (5.1)則對每一點(diǎn)，可以通過下面的方法定義一個線性映射，其中 . (5.9)上面定義的映射稱為由連續(xù)可微映射誘導(dǎo)的切映射. 由上面的定義可見切映射把映為.在(5.9)中令，可知在切映射下的象是. (5.9)由于每個切向量都是上的某一過點(diǎn)的曲線， (5.2)在點(diǎn)的切向量：，其中為點(diǎn)的曲紋坐標(biāo)，且，(見(2.3)式)，切映射也可以用

22、另一種方法來定義：將上的曲線映為上的曲線，. (5.3)定義為在處的切向量，即 (5.5) . (5.4)在(5.3)中分別取和，可得. (5.7)因此切映射在自然基下的矩陣恰好是映射的Jacobi矩陣. 由此可知在點(diǎn)切映射是線性同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)映射(5.1)的Jacobi行列式.定理5.1 設(shè)映射是(3次以上)連續(xù)可微的. 如果在點(diǎn)切映射是線性同構(gòu)，則分別有點(diǎn)的鄰域和點(diǎn)的鄰域，以及上的參數(shù)系和，使得映射的參數(shù)表示為，其中. 這種參數(shù)系稱為映射的適用參數(shù)系. 證明 設(shè)的參數(shù)方程分別為和，的參數(shù)表示為.由條件，. 設(shè)點(diǎn)的曲紋坐標(biāo)為，點(diǎn)的曲紋坐標(biāo)為. 由于是連續(xù)的，存在在中的鄰域，使得在上，且在

23、上有連續(xù)可微的反函數(shù)，其中是在中的鄰域. 在上對曲面作參數(shù)變換. 在上對曲面作參數(shù)變換. 則在新的參數(shù)下，的參數(shù)表示為. 三、保長對應(yīng)(等距對應(yīng))設(shè)是連續(xù)可微映射，和分別是的曲紋坐標(biāo). 的參數(shù)表示為.因?yàn)椋瑢τ谇嫔系娜我庖粋€二次微分式， (5.11)我們可定義曲面上的一個二次微分式， (5.12)其中，. (5.15)其中作為復(fù)合函數(shù)，是的函數(shù)，即(5.13)二次微分式稱為上的二次微分式經(jīng)過映射拉回(pull back)到上的二次微分式. 簡單來說，就是將代入(5.11)右端而得. 例 曲面上的第一基本形式是一個二次微分式. 拉回到上，由于，上式可以簡單地寫成 (*)定義5.1設(shè)映射是3次以

24、上連續(xù)可微的. 如果對每一點(diǎn)，切映射都保持切向量的長度，即，.則稱是從到的保長對應(yīng)(correspondence preserving length)，或稱等距對應(yīng)(isometry). 注1. 保持向量長度的線性映射一定保持內(nèi)積，因此若是等距對應(yīng)，則有，. 反之，保持內(nèi)積的線性映射也一定保持向量的長度. 而且，保長對應(yīng)也保持連續(xù)可微曲線的弧長，即有. 注2. 保持內(nèi)積的線性映射必定是線性同構(gòu). 因此對于保長對應(yīng)，在每一點(diǎn)，切映射都是線性同構(gòu)，從而局部地是微分同胚，存在適用參數(shù)系. 由(5.9)可知.利用(*)得到，其中是的第一基本形式. 于是有定理5.2設(shè)映射是3次以上連續(xù)可微的. 則是等距

25、對應(yīng)的充分必要條件是，即在對應(yīng)點(diǎn)，成立 . (5.20)將上式按矩陣乘法算出來，可以得到類似于(5.13)的等式. 如果已知2個曲面，是否存在等距對應(yīng)？這相當(dāng)于已知(5.20)中的函數(shù)，求解未知函數(shù)，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非線性一階偏微分方程組，一般來說求解非常困難. 利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到定理5.3 曲面和之間存在保長對應(yīng)的充分必要條件是，可以在和上選取適當(dāng)?shù)南嗤瑓?shù)系，使得在這個參數(shù)系下和有相同的第一基本形式. 例5.1 證明：螺旋面: ，與單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 ，之間可以建立等距對應(yīng). 證明 計(jì)算得到和的第一基本形式分別為，.對作參數(shù)變換，這是

26、可允許參數(shù)變換. 則.對作參數(shù)變換. 則.等距對應(yīng)的參數(shù)表示為. 四、保角對應(yīng)(共形對應(yīng))定義5.2設(shè)映射是三次以上連續(xù)可微的一一對應(yīng). 如果， (5.22)其中，則稱是從到的保角對應(yīng)，或稱共形對應(yīng)(conformal correspondence).注 對于保角對應(yīng)，在每一點(diǎn)，切映射都是線性同構(gòu)，否則無意義. 因此可以選取適用參數(shù)系使得映射就是具有相同參數(shù)的點(diǎn)之間的對應(yīng). 引理 設(shè)是兩個歐氏空間(即帶有內(nèi)積的實(shí)向量空間)，是線性同構(gòu). 如果保持向量之間的夾角：，則，使得 . (1)反之，若，使得(1)成立，則保持向量之間的夾角. 證明 取的單位正交基. 因?yàn)槭峭瑯?gòu)，是的基，且兩兩正交. 令，

27、 ， .則是的單位正交基，且， . (2)對于，由條件，有，所以.這說明. 于是對，有，從而(1)成立. 反之，設(shè)(1)成立. 則，, . (3)從而對任意兩個非零向量，有. 推論 設(shè)映射是三次以上連續(xù)可微的一一對應(yīng). 則是保角對應(yīng)的充分必要條件是存在上的正的連續(xù)函數(shù)，使得， (5.22)其中是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 當(dāng)函數(shù)時，其實(shí)就是保長對應(yīng). 像前面一樣，條件(5.22)等價于， (5.23)即有.所以在適用參數(shù)系下，保角對應(yīng)的條件(5.22)就簡化為. (5.24)綜上所述，我們就有下面的定理. 定理5.4設(shè)映射是三次以上連續(xù)可微的一一對應(yīng). 則是保角對應(yīng)的充分必要條件是存在上的正的連續(xù)函數(shù)，使

28、得， (5.23)其中，分別是，的第一基本形式. 定理5.5 任意正則參數(shù)曲面必局部共形于平面，即上任意一點(diǎn)都有一個鄰域可以與平面上的一個區(qū)域建立共形對應(yīng). 由此可知任意兩個正則參數(shù)曲面都可以建立局部共形對應(yīng). 推論 任意正則曲面上均存在局部的等溫坐標(biāo)系，即，局部地可選取參數(shù)使得，其中是局部定義的函數(shù). 定理5.5的證明從略. 但是上面的推論是非常重要的，是研究參數(shù)曲面常用的方法. 例5.2 球面的Mercator投影課外作業(yè)：習(xí)題1§ 3.6 可展曲面本節(jié)研究一類特殊的直紋面，它們都能夠與平面建立局部的等距對應(yīng). 圖19考慮下面的三種直紋面：1. 柱面，其中是常向量，.2. 錐面，

29、其中是常向量，.3. 切線曲面，其中，.它們的單位法向量分別是 1. ；2. ；3. .這說明這三種直紋面有相同的特點(diǎn)：沿著一條直母線切平面相互重合. 定義6.1 設(shè)為直紋面. 如果它的切平面沿每一條直母線是不變的，則稱為可展曲面. 定理6.1 設(shè)直紋面的方程為. 則是可展曲面的充要條件是 . (6.1)證明 因?yàn)椋?.由定義，是可展曲面的充要條件是：對，沿著直母線，向量具有固定方向. 由第一章定理2，這等價于，即 ，也就是 . 用二重外積公式將上式左端展開，得. 所以上式等價于 這就是(6.1). 注1 如果直紋面上有2族不同的直母線，那么只能是單葉雙曲面，雙曲拋物面或平面. 單葉雙曲面，參數(shù)方程為 .雙曲拋物面，參數(shù)方程為.注2 條件(6.1)與準(zhǔn)線取法無關(guān)，也與直母線方向向量的長度無關(guān). 定理6.2 局部來說，可展曲面只有柱面、錐面和切線曲面這三類. 證明 設(shè)是可展曲面. 則是直紋面. 選取直母線的方向向量為單位向量，并且準(zhǔn)線處處與直母線垂直，即的參數(shù)方程為，其中