點共線、線共點的一般證明方法及梅涅勞斯定理、塞瓦定理的應用

1、2012年高中數(shù)學競賽講座在本小節(jié)中包括點共線、線共點的一般證明方法及梅涅勞斯定理、塞瓦定理的應用。1點共線的證明點共線的通常證明方法是：通過鄰補角關系證明三點共線；證明兩點的連線必過第三點；證明三點組成的三角形面積為零等。n（n4）點共線可轉化為三點共線。例1如圖，設線段AB的中點為C,以AC和CB為對角線作平行四邊形AECDBFCG又作平行四邊形 CFHDCGKE求證：H, C, K 三點共線。證連AK DG HB由題意,AD ECKG知四邊形AKG是平行四邊形，于是AK DG 同樣可證AKHB四邊形AHBI是平行四邊形，其對角線 AB KH互相 平分。而C是AB中點，線段KH過C點，故K

2、, C, H三點共線。 例2 如圖所示，菱形ABC呼,/ A=120° ,已0為厶ABC外接圓，M 為其上一點，連接 MC交AB于 E, AM交 CB延長線于F。求證： D, E, F三點共線。證如圖，連AC DF DE因為M在'O上 ,則/ AMC60° 二/AB(=Z ACB有厶AM0A ACF得MC CF CFMA CA CD又因為/ AMCBAC所以 AM3A EAC得MC AC AD二 二 。MA AE AE所以 CF=AD，又/ BAD/BCD120。，知厶 CFEhCD AE ADE 所以/ ADE：/ DFB 因為 AD/ BC 所以/ AD=/ D

3、FB/ ADE 于是F, E, D三點共線。例3四邊形ABCD3接于圓，其邊 AB與DC的延長線交于點P, AD與BC的延長線交于點 Q由Q作該圓的兩條切線QE和QF切點分別為E，F(xiàn)。求證：P, E, F三點共線。證 如圖。連接PQ并在PQk取一點M使得B, C, M P四點共圓，連CM PF。設PF與圓的另一交點為E',并作QGL PF,垂足為G易如QE=QM QPW QB/PMC/ABC/PDQ從而C, D, Q M四點共圓，于是PM- P(=PC- PD 由，得PM- PQQM PCPC- Pt+QC- QB即 PQ=QC QBPC PD易知 PD- POPE - PF,又 QF

4、二QC QB 有PE - PF+QF二PD PGQC AB=PQ,即 PE - PF=PdQF。又PQ2-qF二pG gF=(pggf (PG-gf二PF(PG-GF ,從而 PE 二PG- GF=PG- GE，即 GF=GE，故 E 與 E重合。所以P, E, F三點共線。例4以圓0外一點P,引圓的兩條切線PA PB A, B為切點。割線PCD交圓0于C, D又由B作CD的平行線交圓0于E。若F為CD中點，求證：A，F(xiàn)，E三點共線。P證 如圖，連 AF, EF, OA OB OP BF, OF 延長FC交BE于 G。易女口 OA丄 AP OB± BPOF丄 CP 所以 P, A,

5、F , Q B五點共圓，有/ AF(=Z AOPZ POB/ PFB又因CD/ BE所以有/ PFB：/FBE / EF=Z FEB而FOG BE的垂直平分線,故 EF=FB, / FE母/ EBF所以/ AF(=Z EFD A, F, E三點共線2.線共點的證明證明線共點可用有關定理(如三角形的3條高線交于一點),或證 明第3條直線通過另外兩條直線的交點，也可轉化成點共線的問題給 予證明。例5 以厶ABC勺兩邊AB AC向外作正方形 ABDE ACFG ABC勺高為AH求證：AH BF, CD交于一點證 如圖。延長HA到M使 AM=BC 連 CM BM設CM與 BF交于點K。在厶 ACMHA

6、 BCF中,AC=CF, AM=BC/ MAC/ HAC180°/ HAC/ HCA90°, 并且/ BCF90。+/ HCA 因此/ BCF/ HAC1800/ MAC/BCF從而 MAQ BCF / ACM/ CFB所以/ MKF/ KCF/ KFC/ KC+/ MCF90°,即BF丄MC同理CD丄MB AH BF, CD MBC勺3條高線，故 AH BF,CD三線交于一點。例 6 設 PABC內(nèi)一點，/ APB-/ ACB/ APC-/ ABC 又設 D,E分別是 APBSAPC的內(nèi)心。證明：AP BD CE交于一點（ 證 如圖，過P向三邊作垂線，垂足分別為

7、 R S, T。連RS ST, RT設BD交AP于M CE交AP于N。NS<EIP、易知 P, R A, S; P, T , B, R;P, S, C, T分別四點共圓，貝S/ APB- / ACBZ PAG/ PBC二/ PRS/ PRT=/ SRT同理，/ APC-Z ABC/ RST由條件知/ SRT/ RST所以RT=ST。又 RT=PBsinB, ST=PCsinC所以 PBsinB=PCsinC 那么PB PCoAB AC由角平分線定理知AN AC AB AM二二二oNP PC PB MP故M N重合，即AP BD CE交于一點。例7O與Q外切于P點，QR為兩圓的公切線，其中

8、 Q R分別 為Q，®Q2上的切點，過Q且垂直于QQ勺直線與過R且垂 直于RQ的直線交于點I , IN垂直于QQ ,垂足為N, IN與QR 交于點M0證明：PM RQ, QQ三條直線交于一點。證 如圖，設RQ與QQ交于點Q連 MQ PQ因為/ QQM/QNM90。，所以Q Q, N, M四點共圓，有/IQM= / QQQ而/ IQQ=90° =/ RQQ所以/ IQM=Z QQQ,故厶QIWA QGD,得同理可證些=竺。RM MI因此QM QO1IMr因為QO RO,所以有O1O QO1OR RO2由，得 MQ QQ 又由于OP=OQ PO=RQOiOOiQOi P所以 O

9、R RO2 PO2即OP/ RO。從而MO QO/ RO/ OP故MO P三點共線，所以PM RO, QO三條直線相交于同一點。3.塞瓦定理、梅涅勞斯定理及其應用定理1（塞瓦（Ceva）定理）:設P, Q R分別是 ABC的BCCAAB邊上的點。若AP BQACF相交于一點M則BP CQ 空=1。PC QA RBP -CCQ SbmcQA S.amb證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有AR S 選mc BP S 蟲mb RB S BMC PC S AMC以上三式相乘，得聖d空=1PC QA RB定理2 （定理1的逆定理）:設P, Q R分別是 ABC勺BC CA AB上的點。若芝QA簽1，則AP

10、BQ CR交于一點證如圖，設AP與BQ交于M連CM交AB于R1而 BP CQ ARPC QA RB所以由定理1有BP CQ AR'PC QA R' BAR' ARR'B 一 RB 于是R與R重合，故AP BQ CR交于一點定理3 （梅涅勞斯（Menelaus）定理）:一條不經(jīng)過 ABC任 一頂點的直線和三角形三邊 BC CA AB或它們的延長線）分別交于P，Q R,則 證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有ARRBBPPCS.CPRCQS.crpQA S 'arp將以上三式相乘，得竺竺空"PC QA RB定理4 （定理3的逆定理）:設P, Q R分別

11、是 ABC的三邊BC CA AB或它們延長線上的3點。若BP CQ ARPC QA RB則P, Q R三點共線。定理4與定理2的證明方法類似。塞瓦定理和梅涅勞斯定理在證明三線共點和三點共線以及與之有關的題目中有著廣泛的應用。例8 如圖，在四邊形ABC中，對角線AC平分/ BAD在CD上取一點E, BE與AC相交于F,延長DF交BC于G 求證：/ GAC/ EAC證 如圖，連接BD交AC于 H,過點C作AB的平行線交AG的延長線于I ,過點C作AD的平行線交AE的延長線于J。對厶BCD用塞瓦定理，可得CG BH DE 1 GB HD EC因為AH是Z BAD的角平分線,由角平分線定理知里喘。HD

12、ADFBI代入式得CG ABGB ADDE =1EC因為 CI / AB CJ/ AD則 CG = CLGB ABDE AD。EC CJ代入式得CI AB AD 彳1 . AB AD CJ從而CI=CJo又由于/ ACI=180°-Z BAC180-Z DAC/ACJ所以 ACIA ACJ 故Z IAC=Z JAC 即Z GACZ EACABC兎一個平行四邊形，E是AB上的一點，F(xiàn)為CDh的一點。AF交ED于 G EC交FB于H。連接線段GH并延長交AD于 L,交 BC于 M 求證：DL=BM如圖，設直線LM與 BA的延長線交于點J,與DC的延長線交于占F C I八、在厶FAB中分別

13、使用梅涅勞斯定理，得EG DI CHGD IC HEAG FH BJGF HB JA因為AB/ CD所以從而DCEG AGGD 一 GFBJ 即 CD CIJA，CICH FHHE 一 HB AB AJ，故 CI=AJ.而 AJBM BJ DI DL MC - CI 一 AJ 一 LA且 BMMCBCAD=AL+LD 所以 BIMDL。例10在直線I的一側畫一個半圓T, C, D是T上的兩點，T上過C和D的切線分別交I于B和A，半圓的圓心在線段BA上, E是線段AC和BD的交點,F是I上的點，EF垂直I。求證:EF平分/ CFD相交于點T的圓心。H,連 OD由題意知Rt OAG Rt PAH于

14、是有AH _ HP AD DO類似地，Rt OC合RtA PHB則有BHHPBC COAH BHAH BC PD由CQDQ有=，從而. = 1.AD BCHB CP DA由塞瓦定理的逆定理知三條直線 AC BD PH相交于一點，即E在PH上，點H與F重合。因/ ODPZOCP90° 所以Q D, C, P四點共圓，直徑為OP又/ PFC90。，從而推得點F也在這個圓上，因此/ DFP/ DOPZ COP/ CFP所以EF平分/ CFD例11如圖，四邊形ABC內(nèi)接于圓，AB DC延長線交于E, AD BC延長線交于F,P為圓上任意一點，PEPF分別交圓于R, S.若對角線AC與BD相交

15、于T.求證：R T, S三點共線。先證兩個引理。引理1:ABCDEFi為圓內(nèi)接六邊形，若AD,FBEi, CFi交于一點，則有AB C1D1 E1F1BiG D1E1 F1A1=1.如圖，設AD, BE, CF1交于點Q根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)易 OABsOED,A OEQsAofe, OCDOAR,從而有A, B _ B1O E1F1 _ F1O C1D1 D1E1 DQ ' B1C1 BQ ' F1A1D1OF1OD1將上面二式相乘即得A1 B-i C1D1 E1 F-iB1C1 D1E1 R A引理2:圓內(nèi)接六邊形ABCDEFi，若滿足則其三條對角線 AD, BE, CF1

16、交于一點。該引理與定理2的證明方法類似，留給讀者例11之證明如圖，連接PD AS RC BRAP SD由厶 EBRA EPA FD3A FPA 知BR _ EB PA 一 EP 'PA FPDSFD兩式相乘，得BR EB FPDS EP FD又由 ECFbA EPD FPD FASECPDEPPD FPAS 一 FA式相乘，得CREC FPAS EP FA由，得腔些二里DS CR EC FDBR CD SA EBAF DCRC DS AB BAFD CE對厶EADS用梅涅勞斯定理，有EB AF DC ,1 BA FD CE由，得BR CD SA ,1. RC DS AB由引理2知BD

17、RS AC交于一點，所以T, S三點共線。1. 由矩形ABC的外接圓上任意一點M向它的兩對邊引垂線M/口 MP 向另兩邊延長線引垂線 MR MT證明：PR與QT垂直，且它們的 交點在矩形的一條對角線上。2. 在厶ABC的BC邊上任取一點P,作PD/ AC PE/ AB PR PE和以AB AC為直徑而在三角形外側所作的半圓的交點分別為D, E。求證：D, A, E三點共線。3. 一個圓和等腰三角形ABC的兩腰相切，切點是D, E,又和 ABC 的外接圓相切于F。求證： ABC勺內(nèi)心G和D, E在一條直線上。4. 設四邊形ABCD等腰梯形，把厶ABC繞點C旋轉某一角度變成 A B C'。

18、證明：線段A D BC和B C的中點在一條直線上。5. 四邊形ABC內(nèi)接于圓Q對角線AC與 BD相交于P。設三角形ABPBCP CDP和 DAP的外接圓圓心分別是Q, O, Q, Q。求證：0P Q1Q3 Q2Q4 三直線交于一點。6. 求證：過圓內(nèi)接四邊形各邊的中點向對邊所作的 4 條垂線交于一 點。7. ABC為銳角三角形，AH為BC邊上的高，以AH為直徑的圓分別 交AB AC于 M N M N與A不同。過A作直線I A垂直于MN類 似地作出直線l b與lc。證明：直線l A, Ib , Ic共點。8. 以厶ABC勺邊BC CA AB向外作正方形，A , B , C是正方形的邊 BC CA AB的對邊的中點。求證：直線 AA , BB , CC相交于一點。9. 過厶ABC的三邊中點D, E, F向內(nèi)切圓引切線，設所引的切線分 別與EF, FD DE交于I