電氣自動(dòng)化專升本自動(dòng)控制根軌跡專攻.

1、根軌跡法一、本章內(nèi)容提要 :1. 介紹了系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、 零點(diǎn)已知的條件下確定閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡法， 并 分析系統(tǒng)參量變化時(shí)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)位置的影響；2. 根據(jù)閉環(huán)特征方程得到相角條件和幅值條件由此推出繪制根軌跡的基本法則；3. 根軌跡繪制：常規(guī)根軌跡、參數(shù)根軌跡、零度根軌跡、時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡;4. 根軌跡法分析系統(tǒng)性能二、本章教學(xué)目的及要求 :1. 掌握根軌跡的基本概念；正確理解開環(huán)零極點(diǎn)、閉環(huán)零極點(diǎn)及根軌跡的含義；2. 掌握控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法；3. 正確繪制出不同參量變化對(duì)系統(tǒng)根軌跡圖4. 能夠運(yùn)用根軌跡法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析；5. 明確閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。三、

2、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 重點(diǎn)：根軌跡的繪制利用根軌跡分析控制系統(tǒng)2. 關(guān)鍵點(diǎn)：根軌跡方程，幅值條件，相角條件3. 難點(diǎn)：時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡的繪制四、本章學(xué)習(xí)方法通過(guò)具體習(xí)題練習(xí)掌握根軌跡繪制方法， 不要死記硬背各種繪制法則， 要多總結(jié)歸納 典型極、零點(diǎn)分布對(duì)根軌跡的大致圖形。§4-1根軌跡的基本概念本節(jié)重點(diǎn)：掌握根軌跡的基本概念本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的正確繪制.問(wèn)題的提出高階系統(tǒng)的平穩(wěn)性、快速性的分析以及暫態(tài)指標(biāo)的估算。引例X(S)Xc(s)Wk(s) =0sWb(s)KiS K1特征方程式：S+Ki=0 特征根：S= -Ki當(dāng)K1由0-x變化時(shí)，閉環(huán)特征根在 S平面上移動(dòng)的軌跡城根軌跡，不僅直觀

3、的表 示了 K變化時(shí)間閉環(huán)特征根的變化，還給出了參數(shù)時(shí)閉環(huán)特征根在 S平面上分布的影響 可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確定系統(tǒng)的品質(zhì)。圖4-1二階系統(tǒng)根軌跡-OOJ ( 3)(T0定義指當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù) K （通常由Kg或Ki表示）由零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)（系 統(tǒng)特征根）在S平面上變動(dòng)的軌跡。根軌跡是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)，求出閉環(huán)極點(diǎn)一般方法，是控制系統(tǒng)分析一種圖解方法。根軌跡法的依據(jù)（根軌跡方程）系統(tǒng)開環(huán)傳函：WggH (S zi)n姑(S Pj)KgN sD s圖4-2自動(dòng)控制系統(tǒng)緒構(gòu)圏閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式：mKg【S Zi -Ai+Wk （S） =0 或 w（ S） = -i ,即 nn

4、 （s+pj）2.依據(jù)條件 幅值條件：Wk s =1m(S Zi)nJ (S Pj)2 J相角條件：/ Wk(S)=± 180°( 1+2卩)， 卩=0, 1, 2開環(huán)有限零點(diǎn)到S的矢量長(zhǎng)度方程1開環(huán)極點(diǎn)到S的矢量長(zhǎng)度方程kgmEz (s+z) -Ez (s+pj)=Eai -Epj =土180 ：(1 + 2»)i=1j=1i=1j=1：i 開環(huán)有限零點(diǎn)到S的矢量幅角Bj 開環(huán)極點(diǎn)到S的矢量幅角3. 基本思想由相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置根據(jù)幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益,小結(jié):根軌跡的依據(jù)§ 4-2根軌跡的繪制法則本節(jié)重點(diǎn)：掌握根軌跡的繪制方

5、法本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的出射角和入射角，以及根軌跡和虛軸的交點(diǎn)一繪制常規(guī)根軌跡一般法則1. 起點(diǎn)(Kg =0)當(dāng)Kg =0閉環(huán)系統(tǒng)特征根即由開環(huán)系統(tǒng)特征方程式?jīng)Q定nN s 二Kgi【s Pi =0i T即閉環(huán)極點(diǎn)也就是開環(huán)極點(diǎn)，根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)。2. 終點(diǎn)(Kg = %)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式KgN(s)mg1 =1 N s 引【s Zi =0D(s)jm開環(huán)零點(diǎn)(有限，無(wú)限)為根軌跡終點(diǎn)。設(shè)N (S)為m階，有m個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)，還有n-m個(gè)無(wú)限零點(diǎn)3、根軌跡數(shù)與對(duì)稱性條數(shù)：開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，n條對(duì)稱性：對(duì)稱于實(shí)軸，特征根為實(shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸4、實(shí)軸上的根軌跡在S平面實(shí)軸上的線段上存

6、在根軌跡的條件是： 線段右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。5、分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)滿足:dS或 D s N s -N sD s =0由此求出的s =:.要代入Kg中，只有Kg為正時(shí)，二才是分離式會(huì)合點(diǎn)對(duì)于階次較高，可采用圖解法確定重根，在復(fù)平面若有分離點(diǎn)式會(huì)合點(diǎn)，必對(duì)稱于實(shí)軸6、漸近線（1）漸近線條數(shù)：n-m條，趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處分之的漸近線漸近線傾角一180 （1 2）n-m（ （2）漸近線交點(diǎn)： 伸向無(wú)窮遠(yuǎn)出與實(shí)軸交于一點(diǎn) 坐標(biāo)（-3，j0）nm' Pj 八 Zi p i m_ =n - m7、根軌跡出射角和入射角n m出射角：sc=180y J或飛廠180 -i:開環(huán)有限零點(diǎn)到

7、被測(cè)起點(diǎn)的矢量幅角。j :除被測(cè)起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)的矢量幅角nm -1入射角：sr T80j Ci）冃id&根軌跡與虛軸交點(diǎn)可用S=j代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)出現(xiàn)虛根，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。故可由此確定根軌跡與虛 軸的交點(diǎn)9、根軌跡的特性連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線。10、閉環(huán)極點(diǎn)特性(1) 當(dāng)n >m2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和等于開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和且為數(shù)nnI 丨 SjPj = an _1(2) 閉環(huán)極點(diǎn)之積和開環(huán)零、極點(diǎn)之間具有nnmIT Sj 訓(xùn)1 B Kg乙j 4j=1i 4當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)具有等于零的

8、極點(diǎn)時(shí)nmI 丨 Sj=Kg| Zij 1i呂即閉環(huán)極點(diǎn)之積與軌跡增益成正比11輔助定性依據(jù)(1) 對(duì)應(yīng)任一 Kg,閉環(huán)極點(diǎn)之和保持不變，即一些閉環(huán)極點(diǎn)向右移動(dòng)，另一些極點(diǎn)向 左移動(dòng)由此可以迅速確定根軌跡大致形狀。(2) 已求得閉環(huán)系統(tǒng)的某些極點(diǎn)，可以求出其他極點(diǎn)(3) I二側(cè)題例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)KWK(S)=bPKg二 3k1試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡草圖解: 1 + Wk s i=O，Wk(s)Kg(s I)3Kg系統(tǒng)特征方程式：1 * Wk(S)= 1 *Kg-0(S 丄)31、起點(diǎn)：R,2,3=-% (三重極點(diǎn))；終點(diǎn)：無(wú)開環(huán)零點(diǎn)2、實(shí)軸上根軌跡(-：:,-1/ T3、漸進(jìn)線A±180

9、（2卩 +1）“乜,傾角：60 ,_180二 0,13 0nm為 Pi 一壬 Zi1/與實(shí)軸交點(diǎn)：；：.-=旦 一 二 "1nm3“根軌跡三條分支，Kg = 0從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)Kg %,沿漸進(jìn)線趨向X4、分離點(diǎn)2-3 (S+1/ T = 0可得分離點(diǎn)S = - 1/ T5、根軌跡與虛軸交點(diǎn)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài) 特征方程式：s 1 . i亠Kg =0（jw j 七（jw 2；+3jw*Z2 +乂3 +Kg =03w _w j 1 2 -3wKg甞-w3 =0T1 3w2*Kg =0Kg 3解得:K = 3Kg =8小結(jié)：根軌跡的繪制二.常見(jiàn)的幾種根軌跡草圖§ 4-3參數(shù)根

10、軌跡及多回路系統(tǒng)根軌跡本節(jié)重點(diǎn)：參數(shù)根軌跡及多回路系統(tǒng)根軌跡本節(jié)難點(diǎn)：時(shí)滯根軌跡的確定一參數(shù)根軌跡(廣義根軌跡)1. 概念以不同于Kg (K1)的參數(shù)為參變量的根軌跡稱為參數(shù)或廣義根軌跡.用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)，如開環(huán)零，極點(diǎn)位置，時(shí)間常數(shù)或反饋參數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響2. 繪制方法Kg為可變參量時(shí)，特征方程mKgD (S+zj)1 嘰(S) =1=0Knn (s+Pj)j=1選其他參數(shù)時(shí)，引入等效傳遞函數(shù)概念把特征方程化為上述形式，以所選參量 a代替Kg位置:1+鑒 =0Q(s)可利用繪制常規(guī)根軌跡的各種規(guī)則進(jìn)行繪制。求：當(dāng)a由0x閉環(huán)系統(tǒng)特征根變動(dòng)的軌跡?解：21)系統(tǒng)特征方程

11、：S + aS + K1 = 0用不包含a的其余項(xiàng)去除方程兩邊，則有aSS2 K2)等效系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù):aS也稱原系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù):3)根軌跡繪制aSS2 K起點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn) j 一心；終點(diǎn)：開環(huán)零點(diǎn)0；分離點(diǎn):SK1a 二daS2 -K1dsS2=0分離點(diǎn)應(yīng)在S= - K，在負(fù)實(shí)軸上在分離點(diǎn)處 ：a =2yfK2v'Ki系統(tǒng)分析：隨著a增大，系統(tǒng)特性變化；即從 a=0時(shí)，無(wú)阻尼；E =0，等幅振蕩2Kva<M寸，過(guò)阻尼；E >1 單調(diào)上升0<a<2 .K1時(shí)， 欠阻尼0< E 1,衰減振蕩二多回路系統(tǒng)根軌跡根軌跡不僅適用于單回路系統(tǒng)，而且適用于多回路

12、系統(tǒng)例1系統(tǒng)如圖，試?yán)L制參數(shù)a的根軌跡X(S)K1tS(s+a)XC(s)as解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Wk s 二Xc sKiss 2Kis s 2 亠aKis系統(tǒng)特征方程s s 2 aKS 心=0iS S 2 Ki=0,aKis等效開環(huán)傳遞函數(shù)：Wk s二ss .2 Kl令Ki為不同的值，在a取不同參量時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)腶數(shù)值，系統(tǒng)具有較好的相對(duì)穩(wěn)定性 小結(jié)：參數(shù)根軌跡§ 4-4時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡本節(jié)重點(diǎn)：時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡本節(jié)難點(diǎn)：時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡繪制遲后系統(tǒng)i概念時(shí)滯元件的系統(tǒng)稱為時(shí)滯系統(tǒng)2. 處理方法(i)近似法在有些條件下,eTs可以近似處理，用eTs使用極不方便,_se_se1sA&#

13、174;2 A3Y = 1 _ is + (ts - Ctsf2!3!3_s彳學(xué)1 s + e _23e$21 s=s22只取前兩項(xiàng)：esa：1 s1-(2)規(guī)則法開環(huán)傳遞函數(shù)Wk s =KgN s *Ds考慮到-<TTe-CTT其中:-57.3 ._ sH閉環(huán)特征方程： s Pj Kgi【s Zi e_s =0 es ziKge-c幅值條件:s PjjW幅角條件：、 s Pi "xs z j =1 2_tM0時(shí)，相角條件取決于3，沿虛軸連續(xù)變化，對(duì)一定 Kg，不是有幾個(gè)特征根，而是無(wú)限多個(gè)特征根，相應(yīng)存在無(wú)限多條根軌跡二正反饋系統(tǒng)根軌跡（零度根軌跡）幅值條件相同零度等相角條件

14、繪制法則：與常規(guī)不同1、漸近線傾角180* 2k二二,k=0， ± 1， ± 2，n - m2、實(shí)軸上，其右方開環(huán)零，極點(diǎn)之和為偶數(shù)3、出射角mnmnxc = 'i一 jVyr -? ii 4yj丄4.正反饋與負(fù)反饋根軌跡比較J LJ i.廠. 丿一 ) c/- 丿/ Ji oLVj LF小結(jié)：時(shí)滯根軌跡§ 4-5根軌跡法分析控制系統(tǒng)應(yīng)用場(chǎng)合：1、確定閉環(huán)極、零點(diǎn)分布（試探法）2、參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響3、估算瞬態(tài)性能，穩(wěn)態(tài)性能4、設(shè)計(jì)系統(tǒng)，由性能參數(shù)一系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要有兩類：1、非最小相位系統(tǒng) 如:2、具有局部正反饋系統(tǒng)例G s 二K（s2 +2s+

15、4）s s 4 s 6 s21.4s 114<K<64 I不穩(wěn)定 K>195二瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)確定1、有B （閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)張角）超前量因 B =cos 1E2、由閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部調(diào)節(jié)時(shí)間3ts'n3、由性能指標(biāo)要求閉環(huán)（主導(dǎo)）極點(diǎn)大致位置4、由瞬態(tài)性能指標(biāo)開換系統(tǒng)放大系數(shù)或其他參數(shù)Kg例 Gk s =例ss 4 s 6若要求閉環(huán)系統(tǒng)等位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量w 18%，試確定Kg。解：分離點(diǎn)時(shí)Kg=17, Kg>240閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定由圖查得：BW60%做B =60度直線，交點(diǎn)A , B為滿足性能指標(biāo)要求的閉環(huán)子系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)：-Si,2 = T.2 一 2.1j

16、幅值條件：Kg = OA CA| DA = 438 吒 44Kg4* 61.83由特性刀Sj =刀Pj=常數(shù)s1 s2- 0 4 6-1.2-1.2+j2.1-j2.1+S3= -10S3= -10+2.4= -7.6S3為另一閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)極點(diǎn)小結(jié)：根軌跡分析第四章小結(jié)習(xí)題課例所示系統(tǒng)同時(shí)滿足下述條件，限用根軌跡法1、單位斜坡轉(zhuǎn)入下的穩(wěn)態(tài)誤差ess_2.252、階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)試確定K1的數(shù)值解：求K1應(yīng)滿足兩個(gè)條件：穩(wěn)定性，穩(wěn)定誤差;階躍響應(yīng)要求Wk(s)二K1s(s 3)2k19s(13s 1)2ess19K K19K1< 2.25校驗(yàn)K1 > 4時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性特征方程：D (S

17、) = S ( S+3) 2 + K1=032S3 +6S2 +9S+K1=oS319S26K1S1(6X 9-K1) /6S0K1 K1<54 4 < K1 V 54系統(tǒng)穩(wěn)定條件6X 9-KqO滿足誤差要求的Ki要求階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，必須保證閉環(huán)特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)，可由根軌跡法確定Ki值Wk s匕s（s +3 2（1） 開環(huán)極點(diǎn)：P仁0, P2，p3= -3dk1（2） 分離點(diǎn)：0ds3漸進(jìn)線180 1 25 1二-45 ,-135K(s +0.125)s 實(shí)軸上根軌跡(-0.125-5),( -20-50) s 5 s 20 s 50試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡解:1 開環(huán)極點(diǎn)，0, -5，

18、-20，-50零點(diǎn)：-0.1250 0 -5-20-50 - -0.125“ c18.844、確定分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)本題中，零點(diǎn)，極點(diǎn)之間距離相差很大，如零點(diǎn)一0.125與極點(diǎn)9之間進(jìn)相距0.125,而零點(diǎn)一0.125與極點(diǎn)一50之間卻相差49.875,故可做如下簡(jiǎn)化：在繪制原點(diǎn)附近的軌跡時(shí)，舍去遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)影響；在繪制遠(yuǎn)離原點(diǎn)的軌跡時(shí)，舍去零點(diǎn)和一個(gè)零極點(diǎn)影響確定會(huì)合點(diǎn)此時(shí)特征方程：S2 +Ks +0.125K=0ds-2ss 0.125 -s2(s+0.125 )解之Si= - 0.25會(huì)合點(diǎn);S2= 0重極點(diǎn)分離點(diǎn)ii）求遠(yuǎn)離原點(diǎn)的根軌跡和分離角略去原點(diǎn)附近的開環(huán)（零點(diǎn)-0.125和極點(diǎn)）

19、傳遞函數(shù)可化為：KS(S+5)(S+20)(S+50) 特征方程：S(S+5)(S+20)(S+50)+K=0K=-S(S+5)(S+20)(S+50)由ds=0dk2 24s 225s2700s 5000s s 5 s 20 s 50 2解之 Si= -2.26 , S2= -40.3難題分析:例1，非最小相位系統(tǒng) Wk S =Kg S 1SS-1 S2 4S 16試?yán)L制根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kg范圍解：1、起點(diǎn)：0, 1,此處有根號(hào)2、終點(diǎn)：-13、漸進(jìn)線 9 = ±60度 ± 180度, -c = -2/34、分離點(diǎn)dk1=0ds2323s +10s +21s +24s-16=0 S=0.45S 2=-2.55、交點(diǎn) S(S-1)(S2 +4