第一節(jié)坐標(biāo)系

1、第一節(jié)坐標(biāo)系【最新考綱】,了解坐標(biāo)系的作用.了霹臣平而瓦聞空標(biāo)廉忡軸變換作用下平而陽奉的受化情撫.亂了解板坐標(biāo)的基 本旣念*令柱槻坐標(biāo)系申用擾坐標(biāo)劉莎點(diǎn)的位豐+能進(jìn)荷接世標(biāo)和直旬坐標(biāo)的互ft. 3.能在征坐標(biāo)索中紿出簡單圖飛表示的 皈坐掾方桎.夯實(shí)雙基 I基礎(chǔ)梳理1. 平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P（x, y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換x'=入 X 入 >0 ,© ：,/ n的作用下，點(diǎn)P（x, y）對應(yīng)到點(diǎn)P（xly =亙，y （>0y），稱©為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.2. 極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)（1）極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)

2、取一個(gè)定點(diǎn)0（極點(diǎn)），自極點(diǎn)0引一條射線0x（極軸）;再選定一個(gè)長度單位，一個(gè)角度單位（通常 取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo) 系.0M的長度p和從Ox到0M的角度0來刻畫，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對（p 0 ）稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).其中p稱為點(diǎn)M的極徑，0稱為點(diǎn)M的極角.3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(廠極坐標(biāo)(互化jr=pcos 02 2 2 P 工十了公式(jf = sin 0tan 0=丄(丁工0)文4.圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為 廠的圓圓心為0,0),半徑為F的圓°Q)-p=2rcos Q(2 2 )圓心為(心于)，半

3、徑為廠的圓0Xp 2rsin 05.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線I過極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為a則直線I的極坐標(biāo)方程是0= a p R).(2) 直線I過點(diǎn)M(a , 0)且垂直于極軸，則直線I的極坐標(biāo)方程為pcos_0 = a.直線過m b, n且平行于極軸，則直線|的極坐標(biāo)方程為psin B= b.學(xué)情自測1. (質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“"”，錯(cuò)誤的打 “X” )(1) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系.()(2) 若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1 , - 3)，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是 (nF，- 3 J()(3) 在極坐標(biāo)系

4、中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的.()(4) 極坐標(biāo)方程0= n (戸0)表示的曲線是一條直線.()答案： X (2)V (3)V (4)X2. 若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y= 1-x(0<x< 1)的極坐標(biāo)方程為()-1"，八，兀A. p =, 0w 0 w石cos 0 + sin 021anB p =, 0 w 0 wp cos 0 + sin 04nC. p = cos 0 + sin 0 , 0w 0 w _p = cos 0 + sin0w解析：丁y = 1 x(0wxw 1), a sin 0=1 pcos0(0w pc

5、os 0w 1)；np=(0< 0< o).sin 0+cos 02答案：A3. （2015湖南卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為p= 2sin9，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為解析：由 p= 2sin 0,得 p= 2 psin 0.二曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+ y2 2y= 0.答案：x2 + y2 2y= 0.4.（2015廣東卷）已知直線I的極坐標(biāo)方程為2psin點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A 2 2,則點(diǎn)A到直線I的距離為解析：由2 ein號sin 0 號cos0= 2,/y x= 1.7n,得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（2, 2）.點(diǎn)

6、A到直線I的距離d=|2+ ； 1|= J答案：522=cos 0 禾口5 .在極坐標(biāo)系中曲線Ci和C2的方程分別為ein2 0psin 0 = 1以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線 Ci和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 解析：由 psin2 B=cos B,得 psin2 0=pcos 0,-y2 = x,由 psin B-1,得 y= 1,y2 = x由，解得x= y= 1,a交點(diǎn)為（1, 1）.y= 1答案：（1, 1）名師微博通法領(lǐng)悟-一種區(qū)別平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一.兩種方法1. 確定極坐標(biāo)方程的四要素極點(diǎn)、極

7、軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可.2. 直角坐標(biāo)（x, y）化為極坐標(biāo)（p 0 ）的步驟（1）運(yùn)用 p=x2+ y2, tan 0 = X（x 0）;在0, 2n ）內(nèi)由tan 0 = x（xz0）求0時(shí)，由直角坐標(biāo)的符號 特征判斷點(diǎn)所在的象限（即0的終邊位置）.兩點(diǎn)注意進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，1. 注意p, 0的取值范圍及其影響.2. 重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用.M效提! h & Un1. （2017西安質(zhì)檢）在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)2,石到直線i 6pin % -6 j= 1 的距離./X解：點(diǎn)2,上化為直角坐標(biāo)為（3, 1）,j '6丿

8、' 冗、 3i'直線 ein Q = 1 化為 prsin 0cos 0 = 1,i 6丿22丿得乎y-2x= 1,即直線的方程為x 3y+ 2= 0,故點(diǎn)（3 , 1）到直線x 3 y + 2 = 0的距離d =| 3X 1 3X 1 + 2|12 +( 3) 21.2 .在極坐標(biāo)系下，已知圓 *=¥O: p= cos 0 + sin 0 和直線 I:（1）求圓O和直線I的直角坐標(biāo)方程；當(dāng)0 （0, n ）時(shí)，求直線I與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo). 解：（1）圓 0: p= cos 0 4sin 0,即 p2= pcos 0+psin 0, 圓0的直角坐標(biāo)方程為：x2

9、+ y2 = x+ y,即 x2 + y2 x y= 0,直線 I: psin 0n = ¥，即卩 ein 0pcos 0=1,i 4丿2則直線I的直角坐標(biāo)方程為：y x= 1,即x y+1 = 0.x2 + y2 x y= 0,x= 0,由得lx y+1 = 0,ly= 1,/ 、,n故直線I與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為1 .J，2.丿3. （2015安徽卷改編）在極坐標(biāo)系中，求圓p= 8sin B上的點(diǎn)到n 直線0= 3（樂R）距離的最大值.解：圓p= 8sin 0化為直角坐標(biāo)方程為x2+ y2 8y= 0,即x2 + （y24）2 = 16.直線0= 3（樂R）化為直角坐標(biāo)方程為

10、y= 3x,結(jié)合圖形知圓上的點(diǎn)到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的 距離再加上半徑.圓心（0, 4）到直線y = 73x的距離為/ 22= 2,又圓的V （衍）2+12半徑r = 4,所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為 6.4 . （2016太原調(diào)研）在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為 P2 =3n1 + 2sin2 0，點(diǎn) R（22, 4）.（1）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo) 系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為 直角坐標(biāo)；設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形 PQRS周長的最小值，及此時(shí) P點(diǎn)的直角坐標(biāo).解：(1)

11、v x= pcos 0,y= psin 0,2曲線C的直角坐標(biāo)方程為:+ y2= 1,點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(2, 2).(2)設(shè) P( 3cos 0,sin 0,根據(jù)題意可得 |PQ|= 2- 3cos 0,|QR|=2sin 0,JPQ |+ |QR|= 4 2sin ( + 60 °,當(dāng)0= 30°時(shí)，|PQ| + |QR|取最小值2,二矩形PQRS周長的最小值為4,31此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2, 2).,n5.在極坐標(biāo)系中，已知圓 C的圓心C 3 ，半徑r = 3.<3丿(1) 求圓C的極坐標(biāo)方程；(2) 若點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在0Q的延長線上，且OQ = 2 QP, 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解：設(shè)M(p ,0)是圓C上任意一點(diǎn).n在厶OCM中，/COM = 03，由余弦定理得3/ 、|CM|2= |OM|2 + |OC|2 2|OM| |OC|cos 0n ,<3丿/ 、n化簡得 p= 6cos 0_ .<3丿設(shè)點(diǎn) QS , 0i), P( p 0),由 oQ = 2QP，得 oQ = 3oP ,2P= 3 P， 0 = 0，代入圓C的方程，得/ 、nI0 6,即 p= 9cosn=6cos6.從極點(diǎn)O作直線與另一直線I: pcos 0 = 4相交于點(diǎn)M，在OM 上取一點(diǎn) P,使 OM OP = 12.（1）