第一章《常用邏輯用語》章末總結(jié)

1、第一章 章末總結(jié)'-J 一I特稱奩題戀其真協(xié)判斷I點(diǎn)解知識(shí)點(diǎn)一四種命題間的關(guān)系命題是能夠判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句.一個(gè)命題與它的逆命題、否命題之間 的關(guān)系是不確定的， 與它的逆否命題的真假性相同， 兩個(gè)命題是等價(jià)的； 原命題的逆命題和 否命題也是互為逆否命題.例11判斷下列命題的真假.(1) 若x A U B，貝y x B的逆命題與逆否命題；若0<x<5，則|x 2|<3的否命題與逆否命題；設(shè)a、b為非零向量，如果 a丄b，貝U a b = 0的逆命題和否命題.知識(shí)點(diǎn)二充要條件及其應(yīng)用充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，綜合考察數(shù)學(xué)各部分知識(shí)，是高考

2、的熱點(diǎn)，判斷方法有以下幾種：(1) 定義法(2) 傳遞法：對(duì)于較復(fù)雜的關(guān)系，常用推出符號(hào)進(jìn)行傳遞，根據(jù)這些符號(hào)所組成的圖示就可以得出結(jié)論.互為逆否的兩個(gè)命題具有等價(jià)性，運(yùn)用這一原理，可將不易直接判斷的命題化為其逆否命題加以判斷.(3) 等價(jià)命題法：對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用 原命題與其逆否命題是等價(jià)命題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(4) 集合法：與邏輯有關(guān)的許多數(shù)學(xué)問題可以用范圍解兩個(gè)命題之間的關(guān)系，這時(shí)如果能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關(guān)系.【例2若p： 2<a<0,0<b<1; q：關(guān)于x的方程

3、x2 + ax+ b = 0有兩個(gè)小于1的正根， 則p是q的什么條件？例 3 設(shè) p：實(shí)數(shù) x 滿足 x2 4ax+ 3a2<0, a<0.q：實(shí)數(shù) x 滿足 x2 x 6w 0 或 x2 + 2x 8>0.且綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用 對(duì)于含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，利用真值表判定真假. 利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點(diǎn)之一. 【例4 判斷下列命題的真假.對(duì)于任意x,若x 3= 0，貝U x 3< 0;若 x= 3 或 x= 5，貝U (x 3)(x 6) = 0.1 【例51設(shè)

4、命題p：函數(shù)f(x)= lg ax2 x+花a的定義域?yàn)镽 ;命題q：不等式.：2x+ 1<1 + ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立.如果命題 p或q為真命題，命題 p且q為假命題，求實(shí)數(shù) a的 取值范圍.知識(shí)點(diǎn)四全稱命題與特稱命題全稱命題與特稱命題的判斷以及含一個(gè)量詞的命題的否定是高考的一個(gè)重點(diǎn)，多以客觀題出現(xiàn).全稱命題要對(duì)一個(gè)范圍內(nèi)的所有對(duì)象成立，要否定一個(gè)全稱命題， 只要找到一個(gè)反例就行特稱命題只要在給定范圍內(nèi)找到一個(gè)滿足條件的對(duì)象即可.全稱命題的否定是特稱命題，應(yīng)含存在量詞.特稱命題的否定是全稱命題，應(yīng)含全稱量詞.【例6 寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1) 3= 2;(2) 5>

5、;4 ；對(duì)任意實(shí)數(shù)x, x>0;(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù).【例7丨已知函數(shù)f(x) = x2 2x+ 5.(1)是否存在實(shí)數(shù) m,使不等式 m + f(x)>0對(duì)于任意x R恒成立，并說明理由. 若存在一個(gè)實(shí)數(shù)xo,使不等式m f(xo)>0成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.章末總結(jié)重點(diǎn)解讀例1 解 若x AU B，則x B是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若x B,則x A U B，為真命題. 0<x<5，2<x 2<3,二 Ow |x 2|<3 原命題為真，故其逆否命題為真.否命題：若 x< 0或x> 5，貝y |x 2|> 3.1

6、15例如當(dāng) x= 1,2 = 2<3.故否命題為假.原命題：a, b為非零向量, 逆命題：若a, b為非零向量, 否命題：設(shè)a, b為非零向量,a丄b? a b = 0為真命題. a b= 0? a丄b為真命題.a不垂直b? a b豐0也為真.1【例2|解 若a= 1, b= 2，貝U = a2 4b<0，關(guān)于x的方程x2 + ax+ b = 0無實(shí)根， 故pq.若關(guān)于x的方程x2 + ax+ b= 0有兩個(gè)小于1的正根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為xi、X2,且 0<X1W X2<1 ,貝V X1 + x2= a, X1X2= b.于是 0< a<2,0<b&l

7、t;1 , 即2<a<0,0<b<1,故 q? p. 所以，p是q的必要不充分條件.【例 3丨解 設(shè) A=x|p = x|x2 4ax+ 3a2<0, a<0 =x|3a<x<a, a<0. B= x|q = x|x2 x 6 w 0 或 x2 + 2x 8>0=x|x< 4 或 x> 2. 綈p是綈q的必要不充分條件, q是p的必要不充分條件.aw 4 亠 3a> 2 A B,：或，a<0a<02解得一3W a<0 或 aw 4.32 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一a, 4 U 3, 0 .例 4丨解(

8、1) / x 3= 0,有 x 3w 0，命題為真;(2) /當(dāng) x= 5 時(shí)，(x 3)(x 6)工 0,命題為假.1【例51解 p：由ax2 x+ 16a>0恒成立得a>0= 1 4X a x 磊<0q :由/2x+ 1<1 + ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立,t2 1令 t= .2x+ 1>1，則 x =-,-1<1 + at2 1 2 2(t 1)<a(t2 1)對(duì)一切 t>1 均成立.22<a(t+ 1)，a> ，a1.t+ 1t p或q為真，p且q為假，p與q 真一假.若p真q假，a>2且a<1不存在.若 p 假 q 真，貝U a< 2 且 a> 1 , 1 < a< 2.故a的取值范圍為 K a< 2.【例6解 (1)3工2,真命題；(2)5< 4,假命題;存在一個(gè)實(shí)數(shù)X, XW 0，真命題；(4)所有質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)，假命題.【例7 解 不等式m+ f(x)>0可化為m> f(x), 即 m> x2+ 2x 5= (x 1)2 4.要使m> (x 1)2 4對(duì)于任意x R恒成立，只需m> 4即可.故存在實(shí)數(shù) m,使不等式 m+ f(x)>0對(duì)于任意x R恒成立，此時(shí)，只需 m>