第4章(1)-線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性(共12頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第四章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性在現(xiàn)代控制理論中，能控性(Controllability)和能觀性(Observ-ability)是兩個重要的概念，它是卡爾曼(Kalman)在1960年提出的，是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計的設計基礎。能觀（測）性針對的是系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中的狀態(tài)的可觀測性，它反映系統(tǒng)的內部狀態(tài)x(t)（通常是不可以直接測量的）被系統(tǒng)的輸出量y(t)（通常是可以直接測量的）所反映的能力。能控性嚴格上說有兩種，一種是系統(tǒng)控制輸入u(t)對系統(tǒng)內部狀態(tài)x(t)的控制能力，另一種是控制輸入u(t)對系統(tǒng)輸出y(t)的控制能力。但是一般沒有特別指明時，指的都是狀態(tài)的

2、可控性。所以，系統(tǒng)的能控性和能觀性研究一般都是基于系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的。4-1 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義 對于單輸入n階線性定常連續(xù)系統(tǒng) 若存在一個分段連續(xù)的控制函數(shù)u(t)，能在有限的時間段 內把系統(tǒng)從時刻的初始狀態(tài)轉移到任意指定的終態(tài)，那么就稱系統(tǒng)在時刻的狀態(tài)是能控的；如果系統(tǒng)每一個狀態(tài)都能控，那么就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。反之，只要有一個狀態(tài)不可控，我們就稱系統(tǒng)不可控。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，為簡便計，可以假設，即時刻的任意初始狀態(tài)，在有限時間段轉移到零狀態(tài)（原點）。4-2線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判別4-2-1具有約旦標準型系統(tǒng)的能控性判別1 單輸入系統(tǒng)具有約旦標準型系統(tǒng) 即為n個互

3、異根 或 m個重根n-m個互異根例：分析下列系統(tǒng)的能控性（1） 解： 與無關，即不受控制為能控狀態(tài)該系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能控，因而為不能控系統(tǒng)。+（2）解：狀態(tài)完全能控+2具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： （1） 若令，上式可變換為約旦標準型 （）或 （）（2） 系統(tǒng)的線性變換不改變系統(tǒng)的能控性3一般系統(tǒng)的能控性判據(jù)(a)若系統(tǒng)矩陣A的特征值互異，則系統(tǒng)矩陣可變換為約旦標準型（對角線型），系統(tǒng)能控性的充分必要條件：控制矩陣的各行元素沒有全為0的。(b)若系統(tǒng)矩陣A的特征值有相同的，則系統(tǒng)矩陣可變換為約旦標準型,系統(tǒng)能控性的充分必要條件：(1) 中對應于相同特征值的部分，它與每個約旦塊

4、最后一行相對應的一行的元素沒有全為0的；(2) 中對應于互異根的部分，它的各行元素沒有全為0的。例1：判斷下列系統(tǒng)的能控性例2：有系統(tǒng)如下，判斷其是否能控解：將其變換成約旦型（1）先求其特征根特征根為 （2）再求變換矩陣根據(jù)， 變換矩陣T為 ： 因為最后一行元素為0，故系統(tǒng)是不能控的。4-2-2直接從A與B判別系統(tǒng)的能控性1 單輸入系統(tǒng) 其能控的充要條件為能控判別陣： 的秩等于（滿秩），即；否則，當時，系統(tǒng)為不能控的?！咀C】狀態(tài)方程的解為： 根據(jù)上述能控性定義，考慮時刻的狀態(tài)，有： 因為 其中 是線性無關的標量函數(shù)。 其中： 所以 對于任意給定的初始狀態(tài)x(0)，如果系統(tǒng)可控，那么都應該從上式

5、中求出一組值。根據(jù)線性代數(shù)知識，的系數(shù)矩陣 的秩應等于n，即：求出一組后，就可以求出一組分段連續(xù)的控制u(t)。例1：判別下列線性系統(tǒng)的可控性。 解： ，所以系統(tǒng)可控。例2：試分析下列系統(tǒng)的可控性。， 解： 所以，當，且時，,系統(tǒng)可控。所以當時系統(tǒng)可控，否則不可控。在單輸入系統(tǒng)中，根據(jù)A和b還可以從輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)陣確定系統(tǒng)能控性的充分必要條件對于系統(tǒng)，如果輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的傳遞函數(shù)（陣）沒有零極點對消，那么系統(tǒng)是能控的；否則，被消的極點就是不能控的模式，系統(tǒng)不能控的。例：已知 ，分析其能控性。解：u(t)對X(t)的傳遞函數(shù)為：因為發(fā)生零極點對消，所以是不能控的。實際上，

6、因為 ，所以系統(tǒng)是不能控的。2 多輸入系統(tǒng)對于多輸入n階連續(xù)定常系統(tǒng) 其中An×n階陣，Bn×r階陣，Ur維輸入。系統(tǒng)能控的充要條件為能控判別陣的秩等于n，即(證明略)例：試分析下列系統(tǒng)的能控性。 解：, 系統(tǒng)是不能控的。4-3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性4-3-1能觀性定義 系統(tǒng)方程為： 能觀性表示的是輸出y(t)反映狀態(tài)矢量x(t)的能力。 若對任意給定的輸入u(t)，總能在有限的時間段t0,tf內，根據(jù)系統(tǒng)觀測y(t)，能唯一地確定時刻t0的每一狀態(tài)x(t0)，那么稱系統(tǒng)在t0 時刻是狀態(tài)可觀測的。若系統(tǒng)在的每一狀態(tài)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱是能觀的。4-3-2線性定常系統(tǒng)能觀性的判別1 轉換成約旦標準型的判別方法 （1）A為對角線矩陣 系統(tǒng)能觀的充要條件：輸出矩陣C中必須沒有全為零的列。若第i列元素全為0，則與之響應的xi(t)為不能觀的。（2）