4--4.4-《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固

1、44.4坐標(biāo)系與參數(shù)方程全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2. 了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3. 能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程.4. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.5. 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：向量的有關(guān)概念1極坐標(biāo)系平面內(nèi)的一條規(guī)定有單位長度的射線，為極點(diǎn)，為極軸，選定一個長度單位和角的正方向（通常取逆時(shí)針方向），這就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)平面上一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離稱為極徑，與軸的夾

2、角稱為極角，有序?qū)崝?shù)對就叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)。（1）一般情況下，不特別加以說明時(shí)表示非負(fù)數(shù)；當(dāng)時(shí)表示極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置這樣確定：作射線，使，在的反向延長線上取一點(diǎn)，使得，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)與點(diǎn)（）所表示的是同一個點(diǎn)，即角與的終邊是相同的。綜上所述，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)之間不是一一對應(yīng)而是一對多的對應(yīng)，即，, 均表示同一個點(diǎn).3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 當(dāng)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系在特定條件下（極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；極軸與軸正半軸重合；長度單位相同），平面上一個點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)有如下關(guān)系：直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：；極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：.此即在兩個坐標(biāo)系下，同一個點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間的互化關(guān)系.4. 直線

3、的極坐標(biāo)方程：（1）過極點(diǎn)傾斜角為的直線：或?qū)懗杉? （2）過垂直于極軸的直線：5. 圓的極坐標(biāo)方程：（1）以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓：. （2）若，以為直徑的圓：要點(diǎn)二：參數(shù)方程1. 概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù)：，并且對于的每一個允許值，方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡稱參數(shù)）. 相對于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。 要點(diǎn)三：常見曲線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程（1）經(jīng)過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）；其中參數(shù)的幾何意義：

4、，有，即表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離。（當(dāng)在上方時(shí)，在下方時(shí)，)。 （2）過定點(diǎn)，且其斜率為的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，為為常數(shù)，）； 其中的幾何意義為：若是直線上一點(diǎn)，則。2圓的參數(shù)方程（1）已知圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為：（是參數(shù)，）； 特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，其參數(shù)方程為（是參數(shù)）。 （2）參數(shù)的幾何意義為：由軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。 （3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圓的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn)，圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。3. 橢圓的參數(shù)方程（1）橢圓（）的參數(shù)方程（為參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心角。如

5、圖中，點(diǎn)對應(yīng)的角為（過作軸，交大圓即以為直徑的圓于），切不可認(rèn)為是。（3）從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成，為解決有關(guān)橢圓問題提供了一條新的途徑。4. 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線（,）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。 5. 拋物線的參數(shù)方程拋物線()的參數(shù)方程為（是參數(shù)）。參數(shù)的幾何意義為：拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，即?！镜湫屠}】類型一：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程例1在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_ ，關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_，【思路點(diǎn)撥】畫出極坐標(biāo)系，結(jié)合圖形容易確定?！窘馕觥克鼈円来问腔?；（）.示意圖

6、如下：【總結(jié)升華】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，抓住對稱點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的極徑與極角的聯(lián)系，同時(shí)應(yīng)注意點(diǎn)的極坐標(biāo)的多值性。舉一反三：【變式】已知點(diǎn)，則點(diǎn)（1）關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是_，（2）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_ ?！敬鸢浮?1) 由圖知：,，所以； (2) 直線即，所以或（）例2. 化下列極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線。 (1) ；(2) ；(3) ；(4) .【思路點(diǎn)撥】依據(jù)關(guān)系式，對已有方程進(jìn)行變形、配湊?！窘馕觥浚?）方程變形為, 或，即或， 故原方程表示圓心在原點(diǎn)半徑分別為1和4的兩個圓。(2) 變形得,即，故原方程表示直線。(3) 變形為, 即，整理得，故原方程表示中心在，焦點(diǎn)在x軸上

7、的雙曲線。（4）變形為, ,即,故原方程表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線?！究偨Y(jié)升華】極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是依據(jù)關(guān)系式，把極坐標(biāo)方程中的用、表示。舉一反三：【變式1】把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明它們是什么曲線.(1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即,故原方程表示是圓.(2), ， ，或，或故原方程表示圓和直線.(3)由，得即，整理得 故原方程表示拋物線. (4) 由得,，即故原方程表示圓.【變式2】圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程為_. 【答案】將代入方程得.例3. 求適合下列條件的直線的極坐標(biāo)方程：（1）過極點(diǎn)，傾斜角是；（2）過點(diǎn)，并且和極軸

8、垂直?！舅悸伏c(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合，利用圖形可知過極點(diǎn)傾斜角為的直線為.過點(diǎn)垂直于極軸的直線為；或者先寫出直角坐標(biāo)方程，然后再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程。【解析】（1）由圖知，所求的極坐標(biāo)方程為； （2）（方法一）由圖知，所求直線的方程為，即.（方法二）由圖知，所求直線的方程為，即.【總結(jié)升華】抓住圖形的幾何性質(zhì)，尋找動點(diǎn)的極徑與極角所滿足的條件，從而可以得到極坐標(biāo)方程.也可以先求出直角坐標(biāo)方程 運(yùn)用所得的方程形式，可以更簡捷地求解.舉一反三：【變式1】已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是_?！敬鸢浮浚骸＃ǚ椒ㄒ唬┌阎本€的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：，則原點(diǎn)（極點(diǎn)）到該直線的距離是；（方法二）直線是將

9、直線繞極點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到，易知，極點(diǎn)到直線的距離為。【變式2】解下列各題 （1）在極坐標(biāo)系中，以為圓心，半徑為1的圓的方程為_，平行于極軸的切線方程為_； （2）極坐標(biāo)系中，兩圓和的圓心距為_ ；（3）極坐標(biāo)系中圓的圓心為_?！敬鸢浮浚?）（方法一）設(shè)在圓上，則， 由余弦定理得 即，為圓的極坐標(biāo)方程。 其平行于極軸的切線方程為和。 （方法二）圓心的直角坐標(biāo)為，則符合條件的圓方程為，圓的極坐標(biāo)方程：整理得，即.又圓的平行于（軸）極軸的切線方程為：或，即和（2）（方法一）的圓心為，的圓心為，兩圓圓心距為.（方法二）圓即的圓心為，圓即的圓心為，兩圓圓心距為. （3）（方法一）令得，圓心為。（方法二

10、）圓即的圓心為，即.類型二：參數(shù)方程與普通方程互化例4把參數(shù)方程化為普通方程(1) (，為參數(shù))； （2） (，為參數(shù)）；（3）(,為參數(shù))； （4） (為參數(shù)).【思路點(diǎn)撥】（1）將第二個式子變形后，把第一個式子代入消參；（2）利用三角恒等式進(jìn)行消參；（3）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把用表示，反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參；（4）此題是（3）題的變式，僅僅是把換成而已，因而消參方法依舊，但需要注意、的范圍?！窘馕觥浚?），把代入得；又 , , 所求方程為：(,)(2),把代入得.又， ,. 所求方程為(,). (3) （法一）：,又，,

11、所求方程為(,).（法二）：由得,代入,（余略）.(4) 由 得, ,由得,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而.法一:，即（），故所求方程為（）法二: 由 得，代入得，即再將代入得，化簡得.【總結(jié)升華】1. 消參的方法主要有代入消參，加減消參，比值消參，平方消參，利用恒等式消參等。2.消參過程中應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出、的范圍.在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法.舉一反三：【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。（1）(t為參數(shù)) ； （2）（t為參數(shù)）.【答案】：（1）由得，代入化簡得., ,.故所求方程為（，）（2）兩個式子相除得，代入得，即. ，

12、故所求方程為().【變式2】（1）圓的半徑為_ ；（2）參數(shù)方程(表示的曲線為（ ）。 A、雙曲線一支，且過點(diǎn) B、拋物線的一部分，且過點(diǎn)C、雙曲線一支，且過點(diǎn) D、拋物線的一部分，且過點(diǎn)【答案】：（1）其中， 半徑為5。 （2），且，因而選B?！咀兪?】（1）直線: (t為參數(shù))的傾斜角為（ ）。A、 B、 C、 D、（2）為銳角，直線的傾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、【答案】：（1），相除得，傾斜角為，選C。（2），相除得， 傾角為，選C?！咀兪?】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為【答案】1【解析】先把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線距離公式.【

13、變式5】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),試求直線與曲線C的普通方程,并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】C解:直線的參數(shù)方程為 消去參數(shù)后得直線的普通方程為 同理得曲線C的普通方程為 聯(lián)立方程組解得它們公共點(diǎn)的坐標(biāo)為, 例5已知曲線的參數(shù)方程（、為常數(shù)）。 （1）當(dāng)為常數(shù)()，為參數(shù)()時(shí)，說明曲線的類型； （2）當(dāng)為常數(shù)且，為參數(shù)時(shí)，說明曲線的類型?！舅悸伏c(diǎn)撥】通過消參，化為普通方程，再做判斷。【解析】（1）方程可變形為（為參數(shù)，為常數(shù)）取兩式的平方和，得 曲線是以為圓心，為半徑的圓。 （2）方程變形為（為參數(shù)，為常數(shù)）, 兩式相除，可得，即,

14、 曲線是過點(diǎn)且斜率的直線。【總結(jié)升華】從本例可以看出：某曲線的參數(shù)方程形式完全相同，但選定不同的字母為參數(shù)，則表示的意義也不相同，表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時(shí)，一般應(yīng)標(biāo)明選定的字母參數(shù)。舉一反三：【變式】已知直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為 ，則點(diǎn)到直線的距離為 【答案】【解析】依題已知直線：和點(diǎn)可化為：和，所以點(diǎn)與直線的距離為【變式2】已知圓錐曲線方程為。（1）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。（2）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的離心率。【答案】（1）方程可化為 消去,得： 曲線是拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即為。 （2）方程化為，消去，得， 曲線為橢圓，其中，從而。類型三：其

15、他應(yīng)用例6橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為_.【思路點(diǎn)撥】由橢圓的對稱性知內(nèi)接矩形的各邊平行于兩軸，只需求出其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)就可以用來表示面積，再求出最大值?！窘馕觥吭O(shè)橢圓上第一象限的點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)點(diǎn).【總結(jié)升華】利用參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)知識可以較簡潔地解決問題。舉一反三：【變式1】求橢圓上的點(diǎn)到直線:的最小距離及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚涸O(shè)到的距離為，則 ， （當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號）。點(diǎn)到直線的最小距離為，此時(shí)點(diǎn)，即?！咀兪?】圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有_個.【答案】：已知圓方程為，設(shè)其參數(shù)方程為（）則圓上的點(diǎn)到直線的距離為，即或又 ，從而滿足要求的點(diǎn)一共有三個.【變式3】在平面直

16、角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為()求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；()設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值【答案】() ，；() 【解析】試題分析：()將圓的參數(shù)方程通過移項(xiàng)平方消去參數(shù)得 ，利用，將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；()利用點(diǎn)到直線距離公式求解試題解析：()消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為,由，得,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.()依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即解得【鞏固練習(xí)】1極坐標(biāo)方程所表示的曲線是（ ）。 A、雙曲線 B、橢圓 C、拋物線 D、圓2已知直線

17、的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是_。3曲線的極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程是（ ）。 A、x2+(y+2)2=4 B、x2+(y-2)2=4 C、(x-2)2+y2=4 D、(x+2)2+y2=44圓的圓心極坐標(biāo)和半徑是（ ）。 A、 B、 C、 D 、5.直線和直線=1的位置關(guān)系是（ ） A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、無法確定6.已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1，），那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為（ ） A、 B、 C、 D、7.直線的參數(shù)方程是，則過點(diǎn)（4，-1）且與平行的直線在y軸上的截距是 .8.直線的參數(shù)方程為，則直線的斜截式方程是 9.曲線x2-y=0的參數(shù)方程

18、是（ ）. A、 B、 C、 D、10設(shè)橢圓+=1內(nèi)接四邊形ABCD，其中A(4,0), C(0, 5)，求四邊形ABCD面積的最大值.11.點(diǎn)P位于第一象限且在橢圓上，O為原點(diǎn)，A(a,0),B(0,b)，求四邊形OAPB的面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).12.在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為,且點(diǎn)在直線上.(1)求的值及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)圓c的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),試判斷直線與圓的位置關(guān)系.13在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),試求直線與曲線C的普通方程,并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo).14. 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為（I）寫出C的直角坐標(biāo)方程；（II）為直線上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)15. 實(shí)數(shù)、滿足，求（1），（2）的取值范圍.16. 已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為.()把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;()求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,0<2).【