定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用——求體積.

1、4.2 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用(二 )復(fù)習(xí)：（1） 求曲邊梯形面積的方法是什么？（2） 定積分的幾何意義是什么？（3） 微積分基本定理是什么？引入：我們前面學(xué)習(xí)了定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用求面積。求體積問題也是定積分的一個(gè)重要應(yīng)用。下面我們介紹一些簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1. 簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算問題：設(shè)由連續(xù)曲線yf (x) 和直線 xa ， xb 及 x軸圍成的平面圖形（如圖甲）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V ，如何求 V ？分析：在區(qū)間a, b內(nèi)插入n1 個(gè)分點(diǎn)，使ax0x1x2xn 1xnb ，把曲線yf ( x) （ axb ）分割成n個(gè)垂直于x 軸的“小長條”，如圖甲所示。設(shè)第i 個(gè)“小長條

2、”的寬是xixixi1， i1,2, n。這個(gè)“小長條” 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)厚度是xi 的小圓片，如圖乙所示。當(dāng)xi 很小時(shí)，第i 個(gè)小圓片近似于底面半徑為yif ( xi ) 的小圓柱。因此，第i 個(gè)小圓臺(tái)的體積Vi 近似為 Vif 2( xi ) xi該幾何體的體積 V 等于所有小圓柱的體積和：V f 2 ( x1 ) x1f 2 (x2 ) x2f 2 (xn )xn 這個(gè)問題就是積分問題，則有：bf 2 ( x)dxb2 (x)dxVfaa歸納：設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 yf (x) 和直線 x a ， xb 及 x軸圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)Vb而成，則所得到的幾何體的體積為f 2

3、 (x)dxa2.利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積（1） 找準(zhǔn)被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2） 分清端點(diǎn)（3） 確定幾何體的構(gòu)造（4） 利用定積分進(jìn)行體積計(jì)算3.一個(gè)以 y 軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積若求繞 y 軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積， 則積分變量變?yōu)?y ，其公式為 Vb2 (y)dyga類型一：求簡(jiǎn)單幾何體的體積例 1：給定一個(gè)邊長為 a 的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，求它的體積思路：由旋轉(zhuǎn)體體積的求法知，先建立平面直角坐標(biāo)系，寫出正方形旋轉(zhuǎn)軸對(duì)邊的方程，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩邊所在的直線為 x, y 軸建立如

4、圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖 BC : ya 。則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱的體積為：a2dxa2 x |0aa3Va0規(guī)律方法：求旋轉(zhuǎn)體的體積，應(yīng)先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為f ( x) 。確定積分上、下限a,b ，則體積 Vb2 ( x)dxfa：如圖所示，給定直角邊為a 的等腰直角三角形，繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的練習(xí) 1體積。解：形成的幾何體的體積為一圓柱的體積減去一圓錐的體積。Va2 ay 2dya 3 1y |3a02 a3a033類型二：求組合型幾何體的體積例 2：如圖，求由拋物線y28x( y0) 與直線 xy60及 y0 所圍成的圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積。

5、思路：解答本題可先由解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)。再把組合體分開來求體積。y28x( y0)x2解：解方程組得：x y 60y4y28x 與直線 xy 60 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,4)所求幾何體的體積為：V( 8x) 2 dx(6x)2 dx 1664112260233規(guī)律方法：解決組合體的體積問題，關(guān)鍵是對(duì)其構(gòu)造進(jìn)行剖析，分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差，然后，分別利用定積分求其體積。練習(xí) 2：求由直線 y2x ，直線 x1 與 x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：旋轉(zhuǎn)體的體積：V12 dx4(2 x)03類型三：有關(guān)體積的綜合問題：例 3：求由曲線 y1 x2與 y2x 所圍成的平面

6、圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。2思路： 解題的關(guān)鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫出草圖確定被積函數(shù)的邊界確定積分上、下限用定積分表示體積求定積分解：曲線y1 x2 與y2x所圍成的平面圖形如圖所示：2設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為V根據(jù)圖像可以看出V 等于曲線y2x，直線x2 與 x軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V1 ）減去曲線 y1 x2 直線 x2 與 x軸圍成的平面圖形繞 x軸2旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V2 ）2( 2x) 2 dx 221 x2 |02V10xdx2402V221x22x4 dx1 x5 |028dx20240455V V1V2

7、481255反思：結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題是解決此類問題的一般方法。練習(xí) 3：求由 yx1 ， y2x2 以及 y 軸圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。9yx1x3解：由2得：x2y2y94 x4dxV(x1)dx3513008110誤區(qū)警示：忽略了對(duì)變量的討論而致錯(cuò)例：已知曲線yx2 ，y1和直線y0 ，xa(a0) 。試用a 表示該四條曲線圍成的平x面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。思路： 掌握對(duì)定積分的幾何意義，不要忽視了對(duì)變量a 的討論。yx2x1解：由1得1yxy由示意圖可知：要對(duì) a 與 1 的關(guān)系進(jìn)行討論：當(dāng)0a 1 時(shí)， Vaa4dxa5(x2 )2 dxx005當(dāng) a1a1時(shí)， V(x2 )2 dx01126dxx5 aa5