授課提綱-運(yùn)動(dòng)學(xué)ppt課件

1、第第5 5章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 矢量法矢量法 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法 自然弧坐標(biāo)自然弧坐標(biāo))法法 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 運(yùn)動(dòng)學(xué)：運(yùn)動(dòng)學(xué)： 以幾何觀點(diǎn)以幾何觀點(diǎn)( (幾何公理幾何公理) )研究物體的運(yùn)研究物體的運(yùn)動(dòng)動(dòng)( (軌跡軌跡, ,速度和加速度速度和加速度), ), 不考慮物體運(yùn)動(dòng)的原因不考慮物體運(yùn)動(dòng)的原因. .5-1 5-1 運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念固定參考系固定參考系: : 一般采用固連于地球上的坐標(biāo)系為一般采用固連于地球上的坐標(biāo)系為參考系參考系, ,稱為固定參考系稱為固定參考系. .時(shí)間時(shí)間: : 瞬時(shí)和時(shí)間間隔瞬時(shí)和時(shí)間間隔瞬時(shí)瞬時(shí)時(shí)間間隔時(shí)間間隔t1tt2 t參照物參照物-

2、參考體參考體-參考坐標(biāo)系參考坐標(biāo)系-參考系參考系 對(duì)任何物體運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)的。對(duì)任何物體運(yùn)動(dòng)的描述都是相對(duì)的。剛體：可看作由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的組成的不變形的幾剛體：可看作由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的組成的不變形的幾何體。何體。點(diǎn)：就是指不計(jì)其形狀、大小、只在空間占有確點(diǎn)：就是指不計(jì)其形狀、大小、只在空間占有確定位置的幾何點(diǎn)定位置的幾何點(diǎn)5-2 5-2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及 動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度 一一 矢徑法矢徑法OMr 1.點(diǎn)的矢徑運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)的矢徑運(yùn)動(dòng)方程 trr設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M 沿任一空間曲沿任一空間曲線運(yùn)動(dòng)，選空間某確定線運(yùn)動(dòng)，選空間某確定點(diǎn)點(diǎn)O作為原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的作為原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的位

3、置可由如下的矢徑位置可由如下的矢徑來(lái)表示：來(lái)表示：oMrrr rr = r (t)PPPxzyO運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程位矢端圖位矢端圖2.點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度(定義）：定義）：trddtadd22ddtr3.點(diǎn)的加速度定義）：點(diǎn)的加速度定義）：速度速度(velocity) (velocity) 速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。指向與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致；指向與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致；速度的方向沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線；速度的方向沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線；點(diǎn)在點(diǎn)在t t瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的力學(xué)量。瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的力學(xué)量。加速度加速度(acceleration) (acceleration) 加速度大小等

4、于矢量加速度大小等于矢量a a的模。的模。加速度的方向?yàn)榧铀俣鹊姆较驗(yàn)?v v的極限方向的極限方向( (指向與軌跡曲線的凹向一致指向與軌跡曲線的凹向一致) ) 描述點(diǎn)在描述點(diǎn)在t t瞬時(shí)速度大小和方向瞬時(shí)速度大小和方向變化率的力學(xué)量。變化率的力學(xué)量。小結(jié)小結(jié)二二 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M 在空間運(yùn)動(dòng)，它在空間任一瞬時(shí)的位置也可用在空間運(yùn)動(dòng)，它在空間任一瞬時(shí)的位置也可用一個(gè)固體的直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)一個(gè)固體的直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)x, y, z來(lái)確定：來(lái)確定：1. 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程程 tfx1 tfy2 tfz3)(kji解析式zyxrOMrz(t)y(t) x(t)z yx2.

5、點(diǎn)的速度：點(diǎn)的速度：kjizyxrtrddkzj yi xkddjddiddtztytx222zyxzyxvvvvkjizyxvvvvOMrz yxz(t)y(t) x(t)0kjitadd222zyxaaaakjizyx3. 點(diǎn)的加速度：點(diǎn)的加速度：kddjddiddtttazyxkddjddidtdttzyxkjizyxaaaaOMrz yxz(t)y(t) x(t)例例 橢圓規(guī)的曲柄橢圓規(guī)的曲柄OC 可繞定軸可繞定軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)C 與與規(guī)尺規(guī)尺AB 的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，而規(guī)尺的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B 兩端分別兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)。在相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)。

6、taMClBCACOC,：已已知知求：求：1.M 1.M 點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；的運(yùn)動(dòng)方程； 2. 2. 軌跡；軌跡；3. 3. 速度；速度；4. 4. 加速度。加速度。解：點(diǎn)解：點(diǎn)M(x,y)作曲線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系作曲線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系xoy運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程talCMOCxcos)(cos)(talAMysin)(sin消去消去t, t, 得軌跡得軌跡1)(2222alyalx）速度速度talxvxsin talyvycos)( talaltalvvvx2cos2sin)() i ,cos(22talaltalvvvy2cos2cos)() j ,cos(22talalvvvyx2cos22222加速

7、度加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx24224222sin(cos）talal2cos222talaltalaaax2cos2cos)() i ,cos(22talaltalaaay2cos2sin)() j ,cos(22例：半徑為例：半徑為r的圓輪放在粗糙的水平面上，輪的圓輪放在粗糙的水平面上，輪心心A以勻速以勻速v0前進(jìn)，求輪緣上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)前進(jìn)，求輪緣上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。律。v0 AOMxyDBCv0 AOM解：在輪緣上任取一點(diǎn)M （不能是特殊點(diǎn)）；xy 找一固定點(diǎn)O建立直角坐 標(biāo)，標(biāo)出M點(diǎn)的位置坐標(biāo)；DBC 純粹用幾何方法找出該坐標(biāo)的長(zhǎng)

8、度， 最終表為時(shí)間t的函數(shù)-即為運(yùn)動(dòng)方程。x=OC=OB-CBy=MC=AB-AD=vot-rsin=r-rcosrtvrtv00sinrtvrr0cos速度、加速度請(qǐng)同學(xué)們做。rBMrtvsin0例例 已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：點(diǎn)的速度和加速度及運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑求：點(diǎn)的速度和加速度及運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。解：由點(diǎn)解：由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，得的運(yùn)動(dòng)方程，得txatxvxx4sin32,4cos8 tyatyvyy4cos32,4sin8 0, 4zazvzz 222222232,80smsmzyxzyxaaaavvvv

9、從而2smdd32, 0aatvan而m5 . 22nav故三三 自然法自然法設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M 沿已知的軌跡曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軌跡上任選一點(diǎn)沿已知的軌跡曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軌跡上任選一點(diǎn)O作為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)作為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，則動(dòng)點(diǎn)的某一側(cè)為正向，則動(dòng)點(diǎn)M 的位的位置標(biāo)量置標(biāo)量-弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)s來(lái)表示，來(lái)表示，s將隨時(shí)間而變，并可以將隨時(shí)間而變，并可以表示為時(shí)間表示為時(shí)間t 的單值連續(xù)函數(shù)：的單值連續(xù)函數(shù)： tss 1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程Ms(+)(-)O自然坐標(biāo)軸自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)副法線單位矢量副法線單位矢量nb2. 自然軸系自然軸系n主法向單位矢量主法向單位矢量切向單

10、位矢量切向單位矢量M軌跡軌跡曲率圓曲率圓ff()nbCff s s 1lim0s曲率和曲率半徑曲率和曲率半徑(定義定義)sdds0limMnb tss 單位切向量單位切向量0limsddss rrM Msvo r rr3. 速度速度vtstssrtrvdddddddd4. 加速度加速度 點(diǎn)的速度在切線軸上的投影等于點(diǎn)的速度在切線軸上的投影等于弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)?；∽鴺?biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。avvtsstdddddddd?1vs 122sinlim0ndd0limdd2sin2lim0單位法向量單位法向量指向曲率中心垂直，與法向量n1nsnssddddddddnt2ddttttaddddd)(d

11、dd)(2反映速度方向的改變na)(dd反映速度大小的改變ta22naaa0baaanannta2ddnaaa指向曲率中心nastva dd 切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的變化率；表示速度矢量大小的變化率；2van 法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的變化率；表示速度矢量方向的變化率；0ba即即 abb=0,abb=0,表明加速度表明加速度 a a在副法線方向沒有分量；在副法線方向沒有分量；還表明速度矢量還表明速度矢量v v和加速度矢量和加速度矢量a a都位于密切面內(nèi)。都位于密切面內(nèi)。 1. 矢徑法矢徑法 trrtrdd22ddddtrta2. 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法tfx1tfy2t

12、fz3kddjddiddtztytxkddjddiddtttazyx3. 自然法自然法tsvtrvddddnta2dd tss 描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三種方法比較描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三種方法比較 矢量法結(jié)果簡(jiǎn)明，具有概括性，且與坐標(biāo)選擇矢量法結(jié)果簡(jiǎn)明，具有概括性，且與坐標(biāo)選擇 無(wú)關(guān)。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題需將矢量及其導(dǎo)無(wú)關(guān)。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題需將矢量及其導(dǎo) 數(shù)表示成標(biāo)量及其導(dǎo)數(shù)的形式。數(shù)表示成標(biāo)量及其導(dǎo)數(shù)的形式。 直角坐標(biāo)法實(shí)際問(wèn)題中，一種廣泛應(yīng)用的方法。直角坐標(biāo)法實(shí)際問(wèn)題中，一種廣泛應(yīng)用的方法。 弧坐標(biāo)法應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)軌跡已知的情形，其最大特弧坐標(biāo)法應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)軌跡已知的情形，其最大特 點(diǎn)是將速度矢量大小的變化率和方向變點(diǎn)是將速度

13、矢量大小的變化率和方向變 化率區(qū)分開來(lái)，使得數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義化率區(qū)分開來(lái)，使得數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義 更加清晰。更加清晰。例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖,求滑塊B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、速度及加速度。oBArlt 解： 分析要求點(diǎn)的軌跡若為直線運(yùn)動(dòng)，則建立直線軸x，取一固定點(diǎn)作為原點(diǎn)，將要求點(diǎn)置于坐標(biāo)軸上任意位置不要放在特殊位置），標(biāo)出動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置坐標(biāo)x，純粹用幾何方法找出x的長(zhǎng)度，并表成時(shí)間t 的函數(shù)，即為運(yùn)動(dòng)方程。xx動(dòng)畫動(dòng)畫 x = rcost+ lcos而 tlrsinsin2)sin(1costlrltrx例：桿例：桿ABAB繞繞A A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，撥動(dòng)套在固定圓環(huán)上的小環(huán)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，撥動(dòng)套在固定圓環(huán)上的小環(huán)

14、M M，知：知：R R， = = t t（ 為常數(shù)為常數(shù) ）分別用直角坐標(biāo)法和）分別用直角坐標(biāo)法和自然軸法求：自然軸法求：M M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度。R RM MA AO O B B2 2 解：建立坐標(biāo)系如圖解：建立坐標(biāo)系如圖x xy y那么那么vx = 2vx = 2 Rcos2 Rcos2t tvy = -2vy = -2 Rsin2 Rsin2t t2y2xvvv = 2 = 2 R R 2cosvv)i ,vcos(x 2)i ,v( OMv x = Rsin2x = Rsin2 = Rsin2 = Rsin2t t y = Rcos2 y = Rcos2 = Rcos2 = Rcos2t t11.swfax = -4 2Rsin2tay = -4 2Rcos2tvx = 2 Rcos2tvy = -2 Rsin2tx = Rsin2t y = Rcos2ty2x2aaa = 4 2R= - 4 2x= - 4 2ya = ax i + ay j= - 4 2 (xi + yj)= - 4 2 r由此可見，由此可見，a 的方向與矢量相反，的方向與矢量相反，由由M指向指向O點(diǎn)。點(diǎn)。RMAO B2 xy自然軸法自然軸法MOS1弧弧 t2R dtdSv R2 0dtdva 2nv