復變函數(shù)與積分變換在電路中的應(yīng)用

1、 <<復變函數(shù)與積分變換>>結(jié)業(yè)論文 復變函數(shù)與積分變換 在電路中的應(yīng)用 系 別： 電氣與電子工程系專 業(yè)： 自動化姓 名： 444444444學 號： 555555555555555指導教師： 秦志新 摘要：眾所周知，復變函數(shù)在眾多專業(yè)課程中都有著非常重要的作用，就如在正弦穩(wěn)態(tài)電流分析中，將復雜的三角函數(shù)方程利用歐拉公式轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)求解相量法或利用運算法拉斯變換，從而把正弦穩(wěn)態(tài)問題歸結(jié)為以相量或象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。 關(guān)鍵詞：相量法，拉斯變換，正弦穩(wěn)態(tài)，電路分析，復變函數(shù)，運算法。相量法是分析研究正線電流穩(wěn)定狀態(tài)的一種簡單易行的方法，它是在數(shù)學理論和電路理論的

2、根底上建立的一種系統(tǒng)的方法。例1 ：R=15W, L=12mH, C=5mF, ， 求電路中的電流i和各元件的電壓相量，以及電路的等效導納和并聯(lián)等效電路。畫出相量模型 解；求出相關(guān)變 正弦穩(wěn)態(tài)電路方程是一組同頻正弦函數(shù)描述的代數(shù)方程，電路根本定律所涉及的正弦電流，電壓的運算，不會改變電流電壓同頻正弦量的性質(zhì)，即正弦量乘常數(shù)Ri、正弦量的微分，正弦量的微分和同頻正弦量的代數(shù)和KCL、KVL等運算，其結(jié)果仍是同頻正弦量?？梢钥闯觯魍l正弦電流電壓之間，在有效值、初相上的“差異和聯(lián)系寓于正弦函數(shù)描述電壓、電流表達式及電路方程中。無疑，求解和分析正弦函數(shù)所描述的電路方程，將能獲得正確的結(jié)果或結(jié)論，但

3、這一方法對于復雜電路將顯得非常繁瑣，使分析求解相當困難?；谶@個問題，我們可以根據(jù)歐拉公式，將正弦函數(shù)用富指數(shù)函數(shù)表示，如前所述正弦量Us和i可表示為公式2(者不知道)上述變換說明，一個正弦量可以分解為一對共軛的復指數(shù)函數(shù)。根據(jù)疊加定理和數(shù)學理論，只要對其中一個分量進行求解就能寫出全部結(jié)果，大大簡化了求解的過程。例題 圖1所示電路中，, ， 求電壓和。 解：為了幫助理解和防止錯誤，可根據(jù)原電路圖畫出對應(yīng)的相量模型，它是將時域中的正弦電壓、電流用相量標記，電路中的電阻、電感和電容元件根據(jù)VCR的相量形式分別用復數(shù)形式的R, ,標記，而其他與原電路相同。根據(jù)相量形式的電路圖就可以直接寫出相量形式的

4、電路方程。圖a所示電路相對應(yīng)的相量形式的電路圖如圖b所示。圖中根據(jù)元件的的相量形式有根據(jù),有 所以上述變換只是數(shù)學形式上的變換，與式編號相比，并無實質(zhì)性的區(qū)別，但在形式上實現(xiàn)了非常有益的轉(zhuǎn)換，它將與時間有關(guān)的同頻正弦函數(shù)的電路方程轉(zhuǎn)化為與時間無關(guān)的復代數(shù)形式的電路方程。更重要的是，它將正弦穩(wěn)態(tài)中全部同頻的正弦電壓、電流轉(zhuǎn)化為由個正弦量的有效值和初相組合成的復數(shù)表示，如:寫出以下正弦電流對應(yīng)的相量解：根據(jù)國家規(guī)定標準，統(tǒng)一用表示，因此，電流的表達式可改寫為 電流相量可按定義直接寫成 使同頻的各正弦量在有效值、初相上的“差異和聯(lián)系，在電路方程中表現(xiàn)的更清晰、更直觀，這將大大簡化對正弦穩(wěn)態(tài)的表述和分

5、析求解的過程。拉普拉斯變換在復頻域分析中的應(yīng)用對于具有多個動態(tài)元件的復雜電路，除了將時域函數(shù)轉(zhuǎn)換到復平面范圍，利用歐拉公式轉(zhuǎn)化為相量式，并用相量法求解外，我們也可以利用積分變換法求解復頻域分析中的高階微分方程。積分變換法是通過積分變換，把的時域函數(shù)變換為頻域函數(shù)，從而把時域的微分方程化為頻域的代數(shù)方程。求出頻域方程后，再做反變換，返回時域，可以求得滿足電路初始條件的原微分方程的解答，而不需要確定積分常數(shù)。拉斯變換是一種重要的積分變換，是求解高階復雜動態(tài)電路的有效而重要的方法之一。例：t = 0時翻開開關(guān) ,求電感電流和電壓。計算初值 畫運算電路注意： ， 所以有： 所以的;一階二階電路應(yīng)用在研究一階電路和二階電路中，所應(yīng)用的方法是根據(jù)電路定律和元件的電壓電流關(guān)系建立描述電路的方程，由上述討論知，我們可以用相量法求解，但是對于具有多個動態(tài)元件的復雜電路，用直接求解微分方程的方法比擬困難。例如對于一個n階微分方程，直接求解時需要知道變量及其各階導數(shù)(知道n-1階導數(shù))在t=0時刻的值,而電路中給定的初始狀態(tài)是各電感電流和電容電壓在t=0時刻的值，從這些值求得所需初始條件的工作量很大。 為簡便求解各