第三章 隨機(jī)變量及其分布

1、第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布第四節(jié)第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第五節(jié)第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 注注 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X 和和Y有關(guān)有關(guān),且且 還依賴于兩者的相互關(guān)系還依賴于兩者的相互關(guān)系. 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間樣本空間S=e. 設(shè)設(shè)X=X(e)和和Y=Y(e)是定義在是定義在S上的兩個(gè)隨機(jī)變量上的兩個(gè)隨機(jī)變量, 向量向量(X,Y)叫做叫做二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量或或二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量. 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試

2、驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間S=e. X1, X2, ,Xn是定是定義在義在S上的上的n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量, 則稱向量則稱向量 (X1, X2, ,Xn )為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量（向量）向量）. 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量, , 對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, ,y, , 稱稱F( (x, ,y) )為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù), ,或稱為或稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 和和Y 的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù). .,)()(),(yYxXPyYxXPyxF xyO(x,y),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXx

3、P xOx1y2x2y1y定義定義1) F(x,y)是變量是變量 x 和和 y 的不減函數(shù)的不減函數(shù),即即 對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的y, 當(dāng)當(dāng)x2 x1時(shí)時(shí),有有F(x2, y) F(x1 ,y); 對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的x ,當(dāng)當(dāng)y2 y1時(shí)時(shí),有有F(x, y2) F(x ,y1).2) 0 F(x,y) 1,且且 F(- , y)=0, F(x, - )=0, F(- ,- )=0, F(+ ,+ )=1 .3) F(x,y)關(guān)于關(guān)于 x右連續(xù)右連續(xù), 關(guān)于關(guān)于 y右連續(xù)右連續(xù),4) 對(duì)于任意對(duì)于任意x1 x2 , y1 y, 0 y 1時(shí)，時(shí)， 1(3) xydvduvufyxF),

4、(),(當(dāng)當(dāng)x0 或或 y0 時(shí)時(shí), F(x,y) = 04008yuvdudvyv 當(dāng)當(dāng)x y1, 0 x1 時(shí)，時(shí)，422028xyxuvdvduxyu v=u10uv),( yxF(x,y)(x,y)(x,y)(x,y),( yxF(x,y)當(dāng)當(dāng)y 1, 0 x y, 0 y 1時(shí)，時(shí)，(3) xydvduvufyxF),(),(0, 當(dāng)當(dāng)x0 或或 y0 時(shí)時(shí), 4y當(dāng)當(dāng)x y1, 0 x1 時(shí)，時(shí)，4222xyx 當(dāng)當(dāng)y 1, 0 x 0， 若對(duì)于任意實(shí)數(shù)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，極限，極限 存在，則稱此極限值為在條件存在，則稱此極限值為在條件Y=y下隨機(jī)變量下隨機(jī)變量X的的 條件分布函數(shù)條

5、件分布函數(shù), ,記為記為Y|PXyx )|(FY|Xyx0limP|YXx yy PY0yy 或或類似可定義類似可定義 .)|(FX|YxyX|Y(|)Fx y 0limP|Yy xXx u連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布定義定義2 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度的概率密度f(x, y) , (X,Y)關(guān)于關(guān)于Y的邊緣的邊緣概率密度為概率密度為 fY(y). 若對(duì)固定的若對(duì)固定的y, fy(y)0, 則稱則稱)(),()|(|xfyxfxyfXXY )(),()|(|yfyxfyxfYYX 推導(dǎo)u連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布為在為在X= x,的條件下的條件下Y的的

6、條件概率密度條件概率密度.)|(xyFY|XdvxfvxfyX )(),()|(yxFX|YduyfyufxY )(),(條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)若對(duì)固定的若對(duì)固定的x, fX(x)0, 則稱則稱為在為在Y= y的條件下的條件下X的的條件概率密度條件概率密度；Y|X000XX0XXXF( |)lim PY|XPX,YlimPXF(, )-F( , )limF ()-F ( )F(, )-F( , )limF ()-F ( )F( , )( , )F ( )( )yXy xy xxxxyxxxyx yxxxyx yxxx yf x v dvxdxfxdx 返回 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度如下，

7、的聯(lián)合概率密度如下，其它其它xyxxyyxf 2, 0,24),(其它其它, 10 , 0 ,242 xdyxyxx其其它它xyxxxy 222,0,)1(2對(duì)于任意給定的值對(duì)于任意給定的值x (0 x1),在在X=x條件下條件下,有有O dyyxfxfX),()(11求條件概率密度求條件概率密度.其它其它, 10 , 0),1(1223 xxx)(),()|(|xfyxfxyfXXY xyyx其它其它, 10, 0,24 ydxxyyy其其它它yxyyyxyfyxfyxfYYX , 0,2)(),()|(2|對(duì)于對(duì)于y (0y 0 時(shí)時(shí),1121211012()(1)() ()zzzettd

8、t 121211012(),() ()zzexzxdxxzt 令，令，A11212()()zze 亦即亦即Z=X1+X2服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1+ 2, 的的 分布分布1( )Zfz dz 12()A 12111012(1)() ()Attdt A A的計(jì)算：的計(jì)算： 注注 函數(shù)函數(shù): :10( ). (0)xtxte dtx 若若X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且Xi服從參數(shù)為服從參數(shù)為 i, (i=1,2,n)的的 的分布，則的分布，則X1+X2+Xn服從參服從參數(shù)為數(shù)為 1+ 2+.+ n, 的的 分布分布.1210()()zAzedz 12()A 設(shè)設(shè)X,Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是

9、二維連續(xù)型隨機(jī)變量, 其概率密度為其概率密度為f(x,y),則則Z=Y/X 、Z=XY仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度分別為分別為dxzxxfxzfXY),(|)(/ dxxzxfxzfXY),(|1)( H當(dāng)當(dāng)X,Y 相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí), ,dxzxfxfxzfYXXY)()(|)(/ dxxzfxfxzfYXXY)()(|1)( H證證: zxyXYdxdyyxfzXYPzF/),(/)( 21),(),(GGdxdyyxfdxdyyxf 0),(dxdyyxfzxy=xzyxoG1G2y=xzyxo (z0)G1G2 0),(dxdyyxfzx (z0, 0

10、,. 試求聯(lián)接方式為：試求聯(lián)接方式為： (1) 串聯(lián)，串聯(lián)，(2) 并聯(lián)并聯(lián),(3)備用時(shí)系統(tǒng)備用時(shí)系統(tǒng)L的壽命的壽命Z的概率密度的概率密度 . 0, 0, 0,1)(FXxxexx . 0, 0, 0,1)(FYyyeyy . 0, 0, 0,1)()( zzezFzZ . 0, 0, 0,)()()()( zzezFzfzZZ (1)串聯(lián)系統(tǒng)：此時(shí)有串聯(lián)系統(tǒng)：此時(shí)有 Z=minX,Y)(F1 )(F1 1)(FYXminzzzL2XYL1. 0, 0, 0,)(. 0, 0, 0,)( yyeyfxxexfyYxX 0(1)(1),( )( )( )00,zzZXYzeeF zF zF zz 00, 0,)()()(zzeeezfzzzZ (2)并聯(lián)系統(tǒng)：并聯(lián)系統(tǒng)：L2XYL1此時(shí)有此時(shí)有 Z=maxX, Y