概率論第3章習(xí)題解答袁德美

1、概率教材第三章勘誤說明：紅線為要糾正的部分(一)70 頁習(xí)題 3.2 答案：a + b = l且anO.bnO.(二)76頁例3.669#(2) P(X > K) = jj f (x,y)drdv = JJ4Aydxdv 二 J d.rj 4xydy = x>yG() o2(三)77頁例3.7#dyP(IX-n<1000)= JJ心刃山心胡為山爲(wèi)Lr-vlSIOOOH111=3(四) 79頁習(xí)題3.13 (2)答案應(yīng)為0.3.(五) 84習(xí)題3.18單位:小時.第3章二維隨機變量及其分布習(xí)題3.13. 1比較二維隨機變量與一維隨機變呈的分布函數(shù)的性質(zhì)有何異同？3.2設(shè)許(x,

2、y)和耳(x,y)都是聯(lián)合分布函數(shù)，試問常數(shù)d, b滿足什么條件時， ciFx (x, y) + bF2(x, y)也是聯(lián)介分布函數(shù)？解:因為£(x,y)和耳(x,y)都是聯(lián)合分布函數(shù),有耳(8, 8) = 1,篤(oo,oo)= l.若 aFl(x9y)±bF2(x.y)也是聯(lián)合分布函數(shù),貝!j昭 g 8)+鷗 g 8)= 1,即a+b = .又 因為聯(lián)合分布函數(shù)血;(x,刃+ b耳(x,刃滿足單調(diào)性，所以anO,b»O.町以驗證，當(dāng) 。0,/?»0且4 + /? = 1時，d斥(x,y) + b耳(x,刃是聯(lián)合分布函數(shù).1 一一£-+

3、63;_小 x>o v>03.3 設(shè)二維隨機變屋(X,Y)FCr,y) = q_ ,y_ ,求：I 0,其它.P(X <0.5,y <O.3)；(2)F(X <0.5,0.3<y <1.3)；(3)P(-1<X <0, l<y<2).70解：(1)P(X< 0.5, r<0.3) = F(05,0.3) = 1-5 -嚴+ 嚴;(2) P(X < 0.5,0.3<y<1.3) = P(X<0.5,r<1.3)-P(X <0.5, Y <0.3)=F(0.5 丄 3) 一 F(

4、0.5,0.3)=嚴 + 嚴嚴一嚴；(3) P(-l <X<0, l<r<2) = F(0,2) + F(-1J)- F(0J)- F(-l,2)=0+0-0-0=0.0.0.1,0.5,x v 0或 y v 0,0<x<l,0<y<l,0<x<l,y> 1 或y> l,0< y < 1,其它0,020.5,x < 0或y v 0,0<x<l,0<y<l,0 < x < 1, y > 1 或r >l,0<y <1,其它是兩個不同的分布函數(shù)，驗證它

5、們關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)相同.解：當(dāng)xvO時，仟(x,y) = O.有百(x,8)= 0'0, y< 0,當(dāng) OMxvl時，耳(x,y) = « 0.1, 0 < y < 1,有 f(x,<») = 0.5.0.5, y >1.0, y< 0,當(dāng)xhl時= « 0.5, 0< y < 1,有耳(x,8)= l.1, y>l-0, 因此斥（x, y）關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為仟（兀8）二0.5,1,xvO,0<x<l,其它.0, y< 0,類似可求F、（x, y）關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)為

6、片（oo, y） = 0.5,0<y<l,1,其它.打（x,y）關(guān)于X和關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)為721,x<0,OKI,其它y <0,0<y<l,其它.廠y廠4亠丿 列為p（x=i,y = j）=5,/ = 0J,2, j=0J,23,2</ + j<4.0,與 竹（8,刃二0.5,1,因此它們關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)相同.習(xí)題3.23.5盒子里裝有2只白球.2只紅球，3只黑球.在其中任取4只球，以X表示取到白 球的只數(shù)，以丫表示取到黑球的只數(shù)，求（x,r）的聯(lián)合分布列及邊緣分布列.解：按占典概率計算，從7只球屮取4只球，共有C； = 35種取

7、法在4只球中，白球有i只，黑球有丿只（剩卜v-i-j只紅球）的取法數(shù)為：c；gc；4種因此（x,y）的聯(lián)合分布73#于是C2c2 3C3cl 2P(x=o,r=3)=-=-P（gg）二弩需p“ . v 九 Cc；c 12 P(X = 1,"2) =二艮CC 2W)十菸C2C2 1P(X = 2,"0) =苛了#P(X=2,Y» 爭氓品中有放回的任取3件，以X和丫分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求:以 Y 9 v I、 C；cc 6 P(X=2,31) =二召#(1) (XV)的聯(lián)合分布列：(2) P(X<tr<2).解：（1）因為X和Y的

8、nJ能取值為0,1, 2, 3，爭件X=i,Y = j表示取出的3件產(chǎn)品3»中一等品有件、二等品有丿件（三等品有3-卜丿件）的取法，取法總數(shù)為種,P(X=i.Y = j) =f6Y3丫（110丿lio 丿 1而對于每種取法的概率為63!門川（3_i_刀!110丿（10加此（XV）的聯(lián)合分布列為I > iJ = OZ3J + j<3.74#（X.Y）的聯(lián)合分布列與邊緣分布列為7012300. 0010. 0090. 0270. 02710. 0180. 1080. 162020. 1080. 3240030.216000(2)p(x < 1, y < 2)= p

9、(x = o, r = 0)+p(x =o,r = i)+p(x =o,r = 2)+p(x = ur=o)+p(x = tr = i)+p(x = i.r = 2)=o.325.3.7設(shè)爭件力，B滿足P（A）冷,P(BA) = P(AB) = -記fl,若A發(fā)生，（0,若4不發(fā)生,若5發(fā)生， 若3不發(fā)生.求（x,y）的聯(lián)合分布列及邊緣分布列.解(1)由于P(AB) = P(A)P(BA = -x- = -, P(B)= P伴) 空丄 ' I 丿 4 28P(A|B)1/24所以，P(X=l,Y = l) = P(AB) = -f P(X = 1,K = 0) = P(AS) = P(

10、A)-P(AB)=-,8 8_ 1P(X =oy = ) = P(AB) = P(B)-P(AB) = -.85p(X =0,r = 0) = P(AB) = l-P(AUB)=l-P(A)-P(B) + P(AB) = -, 8所以(XV)的聯(lián)合分布列及邊緣分布列為解(1)p(x =o)= p(x =o,r = i)+p(x =o,r = 2)+p(x =o,r = 3)=0+ 0十 0.3 = 0.5 ；(2) p(y<2)= i-p(r = 3)= i-p(x =o,r = 3)-p(x = i,r = 3)= 1-0.3-0.25 = 0.45；(3) p(x < 1, r

11、 < 2)= p(x = o, r = 1)+p(x =o,y = 2)=o.i+o.i=o.2.習(xí)題3. 33.9設(shè)二維隨機變量(X,Y)F(x,y)屮一宀1 一宀2°：罟試求 (0,匕.(XV)的聯(lián)合概率密度f(x.y).解當(dāng)x>O,y>0時，F(xiàn)(x,刃二(1-嚴)(1-嚴).對F(x, y)求二階偏導(dǎo)，得(X, 丫)的聯(lián)合概率密度為dvdvFa?f( x v)當(dāng)xvO或yvO時，尸(&y) = 0 /(x,y) = =0.oxoyfl5e"(3x*5y)v>0 v>0于是(X)的聯(lián)合概率密度/(“) = ,， K0,其他A3.10

12、設(shè)二維隨機變屋(X,y)E)/(x,y) = ； ，求：常數(shù)4： (2)聯(lián)合分(l + x2)(l+y2)布函數(shù) F(.v,y)： (3)概率 P(X,r)eD),其中 D 是以(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)為頂 點的正方形區(qū)域.解(1)由聯(lián)合概率密度/(x,y)的正則性，1二匚匚刃加©=匚匸(1+/卄嚴y=應(yīng)=1， F(x，y) = EXfG,t)dsdt =匸匸/( + ,)(十尸)d妙1 z7C、兀、=(arctan x + y)(arctan y+ y).(3) P(X,r)eD)= F(lJ)+F(0,0)-F(0J)-F(L0)913 31=|-=1

13、6 4 8 816311設(shè)二維隨機變量(X,y)D /(x,y),則P(X>1)等于(A)/(x,y)dy.(D)(C) J：/(x,y)dY 解選(B)因為P(X > 1) = P(1 < X <oo,-oo< y <oo)= | d.vj /(x, y)dy.3.12 設(shè)二維隨機變量(X,Y)/(x,y) = «2(6-x-y),0 < x < 2,2 < y < 4,求: 0,其它.(1)常數(shù)R； (2) P(Xvl,Yv3)； (3) P(Xvl.5)； (4) P(X+r<4).解(1) rh于聯(lián)合概率密度f

14、(x9y)滿足正則性于是=j J f (x, y)didy = J d.vj k(6-x- y)dy = Sk所以Ro丨 < 13(1) P(X < 1, K < 3) = cLvj (6-x-y)dy.(2) P(X < 1.5) = P(X < 1.5, K <oo) = 5d.rJ "|(6-x- y)dy = -p-.(3) f(x,刃的非零區(qū)域與x十yv4的交集G = (x, y) 10 < x < 2,2 < y < 4 - x.0<x<l,0<y<其它.求：(1)P(X + Y v4)

15、= JJ /(x,y)d.vdy = JJ(6-x-y)(kdy = J dxj： (6-x-yXlv =. x4-y<4G *°2833. 13 設(shè)二維隨機變量(X,F)f(x,y) = f'Q；x)，常數(shù)c： (2) P(X+r<l)： (3)邊緣概率密度.解(l)由于聯(lián)合概率密度f(x.y)滿足正則性于是1=匚匚心 y)dxdy = J：dxj：cy(2-x)dy =舟所以c = 4.8.(2) f(x.y)的非零區(qū)域與x + y<l的交集G = (x,y)I y < x< 1 -y,0< y <.丄 17P(X + K <

16、; 1) = JJ f (x,y)d.xdy = jj4.8y(2-,v)dvdy = jdyj4.8y(2-x)dx = 0.3.x+vSlG(3) (X. 丫)關(guān)于X的邊緣密度苗數(shù)fx M =匚/(x，y)d)=匚 4.8y(2 - x)dy = 2.4 V (2 -x) 0<x<l 0其它.關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)/>(y) =匚/(x,y)dx = «J' 4.8y(2 一 x)dx = 2.4y(3 4y + 尸)0<y<l 0其它.3.14設(shè)二維隨機變量(XV)在由x軸、y軸及直線2x十y = 2所闈成的三角形區(qū)域 上D服從均勻分布，求邊

17、緣概率密度£0)和A(y).解 區(qū)域D = （x9y）lo<x<LO<y<2-2x）的面積為S = C（2-2x）dx = Jo 因此（X,Y）的聯(lián)介概率密度為b 0<x<L0<y<2-2x,其他.（X, 丫）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)/x（x） =7（x,y）dy = dy_2-2x, OMxMl匚0,其它.關(guān)于y的邊緣密度函數(shù)人（y）= EV（x, y）dx = J。-心=1-2'80,其它.3. 15設(shè)（X,Y）的聯(lián)介概率密度分別為（1）心彳0：0<x<l,0<y <1,其它.1q -xy30,0<

18、x<l,0<y<2,其它. f(x.y) = e0 < x < 其它.79#試分別求（X, 丫）的邊緣概率密度.解（1） 因為（X. Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)關(guān)于丫的邊緣密度函數(shù)o,其它,r 嚴于 . f 4xvcLv = 2y.0<y fY(y) =匚 f(X,刃 Jo（2） 因為（X. 丫）關(guān)于X的邊緣密度怖數(shù)Jr .2=(x2 + -x)?)dy = x + lx2, 0 < x < 1_033丨0,其它.關(guān)于丫的邊緣密度函數(shù)fY(y) =匚f(x, y)dx =(3)因為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)J4* eydy = ex, x &

19、gt; 00,x<0關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)4oo嚴 8.eydx = yeyy>0./r(J)= I fx,y)dx = 0.y<0,習(xí)題3.43. 16甲、乙兩人獨立地各進行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5, 以X與丫分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求(X,Y)的聯(lián)合分布列及邊緣分布列.解 甲命中次數(shù)X 口 B(2.0.2),乙命中次數(shù)丫口 B(2,0.5)，且X與丫相互獨立，于是 (X,Y)的聯(lián)介分布列為P(X =i,Y = j) = P(X =i)P(Y = y) = C；0.2,0.82-fq0.5y0.52-< (z； j = 0,1,2).a1

20、/8bg1/8Cdh%1/6ef1解設(shè)表中空格扌敗據(jù)為V,兒兒%viA11/8P13p塊1/8P12P”如P疥1/6%1由 Pw += Pgi» 即 Pn + g = Ph = 24 ;由于x與y相互獨立,有久二叩他，即%,得plg=|： 由久+ P12 + P13=刃訂即存” P門二+'得P門二吉； 由P12 - Pj卩壇，即扌二扌，得“空=£ ；1 13由 P12 十 P11 - Pg：，即 g+ 卩22 = » 得 P12 ；由“十 Pq+ P= 1'即 + 十*十 PS3= 1'得 Pg3= £：由 P13 + P13 =

21、 Pg3 » 即右+P"=t，得必3 二占：13由 Pg+“2g=l，即玄+卩2產(chǎn)1，得 Pl,= -3. 18 1990年3 一電子儀器由兩個部件構(gòu)成，隨機變量X與丫分別表示這兩個部件的壽命(單位：T小時)，已知(X)Fgy)二*一八一八十"2 ,x>0,y>0, (1)問(X其它.X與丫是否相互獨立？(2)求這兩個部件的壽命都超過100小時的概率.解(1) (X, 丫)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為1-e°5xx<0.代(x) = F(x,8)= o(X, Y)關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)為*-嚴 5m0, y< 0,因為F(x,y) = &

22、amp;(x)片(y),故X與Y相互獨立.(2) P(X >0.1,y >0.1) = P(X >0.1)P(y >0.1) = (l-Fx(0.1)(l-f；, (0) = e-°*.3.19設(shè)X與Y獨立同均勻分布并且1 vav3,記事件A = X<a,B = Y>a,且P(AUB)= 7/9,求常數(shù)a.解 因為X與y相互獨立，所以爭件A與爭件3也相互獨立.因此P(A) = P(X <a)=rl<L =f P(B) = P(Y>a)=監(jiān)二上2 2人 22P(AB) = P(A)P(B) =.于是 P(AUB) = P(A) +

23、P(B)-P(4B)= ¥ + ¥-(：i)=£57解得a = i或上.3 33. 20某碼頭只能容納一只船，現(xiàn)預(yù)知某口將啟兩只船獨立來到，H在24小時內(nèi)各時刻 來到的町能性相等，如果它們需要?？康臅r間分別為3小時及4小時，試求有一只船要在江 中等待的概率.解設(shè)x, y分別表示此二船到達碼頭的時間，則X.y的概率密度曲數(shù)分別為”<240, 其它，,0<y<24、0, 其它,82#則x 'jy相互獨立，其聯(lián)介概率密度為83-,0< xv24, °Syv24,f(y) = fxWfY(刃二<24-“其他,0,于是按題意,

24、所求概率為84#P(-3<Y-X <4).區(qū)域G = (x,y)IO<X <24,0<y <24,-3<K-X <4所求概率為P(-3 <Y-X<4)=f f(x, y)d-vdy =的面積二 = 0.27.3.21設(shè)X與丫獨立同均勻分布求方程廠 + Xf十丫=0有實根的概率.解X.Y的概率密度分別為fxM =1, 0<x<l,0,其它，AU) =1, Ovyvl,0, 其它,#由于x與y相互獨立.其聯(lián)合概率密度為/( y) = fxMfy(y)=1,0 < x < 1,0 < y < 1,0, 其

25、他.方程t2 + Xt±Y = 0有實根的充要條件是判別式A = X2-4r>0,概率P(X2-4Y >0)= | /(x,刃d.rdv = £d.r£4 dy = £d.v = .3. 22二維隨機變量(X,F)在區(qū)域D上服從均勻分布，求邊緣概率密度fx (x), fY(y)t 并判斷x和丫是否相互獨立.(1) D = (x,y)IO<x<l,2<y<3；2(2) D = (x,y)lx2+-<l)：4(3) D = (x.y)x2 + y2 <2y.解（1）因為區(qū)域D的面積Sn = 1, （X, 丫）的

26、聯(lián)合概率密度(兒 y)w D. 其他.因為(X. 丫)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)fx (x) = p/(x,)')dy = ”2 dy - h °-X-1 10,其他關(guān)于y的邊緣密度函數(shù)嚴f d.r = h 2< y <3,fy(y)= /(兀刃= Jo0. 其他所以，對任意實數(shù)川y均有f(x,y) = fx(x)fY(y故X與丫是相互獨立的.(2)因為區(qū)域D的面積SD = 2n, (X, 丫)的聯(lián)合概率密度,z 、丄，(x,y)wD, f(x.y) = < 2n0. 其他.因為(X, 丫)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)x <1其它.人匕)=匚/(x,y)dy = C

27、M£ dy = l關(guān)于y的邊緣密度函數(shù)幾(刃二匚/*(“,刃血=0,昨2,其它;85#(x,y)w D其他.所以，對任意實數(shù)X, y均有/(X,刃工人(x)A(刃,故X與Y是相互獨立的.(3)因為區(qū)域£>的面枳S°=7i, (X, Y)的聯(lián)合概率密度/(x,y) = Jn，0,肉為(X, 丫)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)0.加)廠心"歸 Y其它.關(guān)于y的邊緣密度函數(shù)r 嚴.,-J2y-y2,0 < y < 2»fy(y) = f(x, y)d-v = nN 'yo,其它；所以，對任意實數(shù)X,)，均冇f(x,y)fx(x)fr(

28、y故X與Y是相互獨立的.習(xí)題3.53. 23設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為01200. 10.20. 310.20. 10. 1求在X=1條件下，Y的條件分布列.解 P(x =i)= p(x =i,y = 0) + P(X = Lr = l) + P(X =l,y = 2)=0.2 + 0.1 十0.1 = 0.4在x=l條件下，丫的條件分布列為p(Y = X=) =p(X=l" = l)二 0二 1044 *P(X=l.Y = 2)P(x=l)0,1 _ 104_4Y012P(Y = kX=)111244P(Y = 2X =或?qū)懗?. 24設(shè)二維隨機變M：(X.r)的概率分布表為7-1

29、0100. 10.2020.30. 10.3求：(1)(X)關(guān)于x的邊緣分布列;(2)p(x+r<2)：(3)p(r=o|x=o).解d)(x,r)關(guān)于x的邊緣分布列為X02P0.30.7(2) P(X+r < 2) = l-P(X=2,y = l) = 1-03 = 0.7.pggr鋁評晉=|3. 25 設(shè)二維隨機變量(X,y)/(x,y)» 20,x>0,y>0,求：邊緣概率 其它.密度A(x)： (2)條件概率密度fyix(yx).解(1)因為(x, n關(guān)于x的邊緣密度函數(shù)fx M =匸/Xx,y)dy 二r£20,x>0,其它. 當(dāng)x&

30、gt;0時條件概率密度(3)當(dāng)x詁時,條件概率密度“巴y>0, o, y < 0.九x(y斤)=<y >o,0,y< 0.B3. 26設(shè)直線x = l, y = 0以及曲線y = x2所闈區(qū)域為G,(X")在區(qū)域G上服從二維均勻分布，試求：(1) (X“)的聯(lián)介概率密度/ay)：條件概率密度/m(ylx)及Airily)；(3)九x(yii)及幾y(x|i/9)解如圖，區(qū)域G = (X,y)l0<x<1.0<y<?的面積為S = fx2cLv = -Jo 3因此(XV)的聯(lián)合概率密度為3,0< x< L0< y

31、<x0.其他.例326插圖(2)(%, 丫)關(guān)于x的邊緣密度函數(shù)87D =7（x，y）dy。3 dy®, o<x<iI o,其它.關(guān)于y的邊緣密度函數(shù) 恥）=廠心*3（5 0<y<I 0,其它.當(dāng)0vxv 1時，條件概率密度九（ylx）3x20,0< y < x2,其他.當(dāng)0vyvl時,條件概率密度fxlY（xy）A(y)=3(1-0,其他.當(dāng)x = l時，條件概率密度fYiX（yi） = <L 0 < y < h0,其他.當(dāng)燉時,3條件概率密度AirU,-）=52,90,-<x< 13其他.習(xí)題3.63. 27

32、有一本100頁的書，每頁錯別字數(shù)服從參數(shù)為0.01的泊松分布，假定各頁錯別字 數(shù)相互獨立，求這本書上錯別字總數(shù)的概率分布.解 設(shè)/表示此書第：頁上的錯別字數(shù)則X.D P(0.01).其中j = 1200.因為相互獨立的泊松隨機變量的和仍服從泊松分布因此這本書上錯別字總數(shù)100X X P(A)，其中兄=100x0.01 = 1.1=13. 28設(shè)兩個隨機變量X和丫相互獨立且同分布：P（X=-l） = P（y = -l） = l/2,88p（x = i）= p（y = i）= i/2,則卜列各式成立的是(A)p(x = y)=l.(b> p(x=y) = i.(o p(x + r = o)

33、= |. (c> p(xr = i)=l.一，故(A)正確，(B) 2錯i吳.另外，由p(x+y = o) = p(x =-i,y = i)+p(x = i,y = -i) =丄+丄二丄知(C)4 42錯誤，由PXY=O = 0知（D）錯誤.3. 29設(shè)隨機變屋X服從二項分布3（兒P）, 丫服從二項分布B（g P"且X與y相互獨立，證明X+Y服從二項分布證：因 XUB(n,p)9 /所以P(X=R) = C：”(l p)i, 2=0丄2,/P(Y = k) = Ct於(1 一卩嚴，".而X+Y可能取值為0丄2,丿+加且X與丫相互獨立,由卷積公式有P( X 十丫=/)=

34、f P( X = R)p(丫=i _ 燈二 f c； /( I _ p)n-k c：r pi (l- p)m- *=0 *=0=£(1 p)n+m-*= C；+(1 - pr,心 0,1,2,，卄7.1=0注:由超幾何分布列的正則性町知,£ 婪二二1 .因此£c；C,T = C；+耐.*=o C、*=033O設(shè)X與F獨立冋分布，X的分布列為PX =A = y , k = l、2, .試求:(1) Z = X+r的分布列：(2) Z = minX,r)的分布列.解(1) Z = X十廠可能取值為2,3,，且X與Y相互獨立,由卷積公式有P(Z = /0 = P(X+y

35、 =，0 = £P(X=iW = n-i)=£±-JT = A,/ = 2,3,-. k=l*=1/(2) Z = minX, Y可能取值為1,2,3,，且X與F相互獨立,P(Z = H)= P(minX,r = 7?)= P(X =n,y=n)+ X P(X=,y = R)+ X P(X =k,Y = n)4=04-14=04-18 8= P(X =n)P(Y = n) Y P(X =)P(Y = R)+工 P(X =k)P(Y = n)ksnlkn91#即Z = minX,y)的分布列為P(Z = n) = , = 1,2,.3.31設(shè)X與丫相互獨立，X服從均

36、勻分布0川，Y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求:（1）（x,n的聯(lián)合概率密度：（2）p（x + r<i）.解（i）x與y的概率密度分別為、L 0<x<L 人一（o,其他fr(y) =2e-2(Xy>0y<0#由于x與y獨立，因此（x,y）的聯(lián)合概率密度為心 y)=fx(x)fr(y)=|2e_20<x<l,y>0,to,其他#作變量變換，令/ = Z-A,得厶=匚fy(t)dt當(dāng)ZVO時.£(z) = 0當(dāng) O"V1 時，厶=/d/=d/ = Z.當(dāng) 0"一 1V1 時,即 1SZV2時，£(z) = J_，_I

37、A(0dr = £，idr = 2-z. 當(dāng)z-ini時，即 Z»2時，厶二J' /r(/)dr = o.于是Z=X+Y的概率密度為z,O<Z<1,厶二2乙當(dāng)1 < Z < 2,0,其他.*2e2y3. 33 設(shè)(X)/(X*)斗門,x>0,y >0,其它.求隨機變量Z = X+2Y的分布函數(shù).解隨機變量Z = X+2Y取值為(0,<x>)當(dāng)2<0時.E2) = P(ZSz) = P(X 十2丫<乙)=0;當(dāng)Z>o時.設(shè)區(qū)域G = (x,y)lx>0,y>0,x + 2y<z,Fz(

38、Z)= PZ<z = PX+2Y<zX=j f (x.y)dxdy = jj2ex+2>dxdy = £ f_,d.v£2 2eydy = -ez -zez.xlyizG于是，隨機變量z = x+2y的分布函數(shù)為1 一嚴一乙廠,z noo. z<o92#(zez,z>00,z<0町進一步求得隨機變量Z的密度函數(shù)為£ (z) =*3. 34設(shè)X與y獨立同標準正態(tài)分布N(0)，隨機變MZ = VX2 + r2,驗證Z的概率密度為£(z) = «叮，囂稱Z服從瑞“卄h)分布.解己知x、 y的分布密度分別為#fxM=

39、e, fr(y)=e'由相互獨立性得X與丫的聯(lián)合密度函數(shù)為f(y) = fxM-fy(y) = 17t由于z = Jx2W no知當(dāng)zvO時.代(z) = p(zsz) = o：當(dāng)z>o時，f7z)= p(z<z)= p(Vx2+r2 <z) = p(x2 + r2 <z2)jj /(x,y)d.vdy= JJ e 2 dvdy72?7x 4-y*srx*yi2 17t極坐標e'rdr = 2龍£一廠臨=1將仔(z)關(guān)于Z求導(dǎo)數(shù)，得z的概率密度為/ (z) =，n Z>0,0, 其它.3. 35對某種電子裝眞的輸出測量了 5次，得到的觀察

40、值為XrX2,X3,X4,X=X>0同分布，概率密度為f(x) = U''求：(1) Z = maxXpX2,X0,其它.設(shè)它們獨立,x4,x5)的分布函數(shù)；(2) PZ>4.解(1)設(shè)XPX2,X3,X4,X5的分布函數(shù)為Fx (x),則當(dāng)xSO時.Fx(x) = 0.當(dāng)x> 0時，有尸* (x)二匚扌廠"沁二1 -廠.即八I 0,其它.因此Z = maxXpX2,XvX4,X5的分布函數(shù)Fz(Z) = P(Z<z) = (Fx(z)5=i丿 ，0, 其他.94(2) P(Z > 4) = 1 一 P(Z S 4) = 1 - 耳(4)

41、 = 1 一 (1 一 a- )5 = o 5 67.3. 36設(shè)隨機變量(D 的聯(lián)合分布列為0123-10. 150. 020. 150. 0700. 060. 050. 020. 0310. 10. 150. 050. 15求：(1) U=max(X”)的分布列：(2) V=mn(X.Y)的分布列：(3) W=X+Y 的分布列；(4) P(X=lir = 2), P(r = 3IX=0).解 由X, 丫的可能取值知”二max(XV)的可能值為：0, b 2, 3.且有p(z = o)= p(x =-i,r = o)+p(x =o,r = o)= o.i5+o.o6=0.21,p(z = )= p(x =-Lr = i)+p(x =o,r = i)+p(x = lx = i)+p(x =i,r=o)=0.02 + 0.05 + 05 十 0=0.32,p(z = 2)= p(x = -i,r = 2)+p(x =o,r = 2)+p(x =