拋物線另一種形成方式的探究

1、拋物線另一種形成方式的探究中學(xué)數(shù)學(xué)論文拋物線另一種形成方式的探究袁鳧(重慶市復(fù)旦中學(xué)，重慶400012 )摘要:錐曲線為高中解析幾何板塊的重點(diǎn)內(nèi)容,其中分別給出了橢圓、雙曲線的兩定點(diǎn)的第一定義,而后為了給出拋物線的定義引出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義一一第二定義。又在人教版A版教材數(shù)學(xué)選修的例題及探究中給出了橢圓、雙曲線 的另一種形成方式一一過兩定點(diǎn)直線的斜率式。雖然拋物線也屬于圓錐曲線，擁有 了統(tǒng)一的定義，但從形成方式上看很”拘泥”，僅僅因?yàn)樗挥幸粋€(gè)焦點(diǎn)嗎？所以接 下來筆者就探求了拋物線從直線斜率角度的形成方式。尖鍵詞:拋物線；形成方式；直線；斜率中圖分類號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文童編號(hào)：100

2、5-6351 (2013)11000301、雙曲線的兩點(diǎn)斜率式結(jié)論1：如圖1，在平面內(nèi)有兩條動(dòng)直線II、12分別過定點(diǎn)Al(m,0)s A2(- m,0) 其中mO，若兩直線的斜率之積是一個(gè)常數(shù)k(kHO,且1),那么兩直線的交點(diǎn)M所形 成的軌跡，當(dāng)kO時(shí)為橢圓，當(dāng)kO時(shí)為雙曲線。圖1證明:設(shè)M(x,y),由條件可得:kll=y(x+m) , kl2=y(x-m)又由 kll kl2=k/則有:y2x2m2=k化簡(jiǎn)得到：x2m2+y2 - km2=l(l)從(1)式中可以看出當(dāng)kO時(shí),(1)式表示的是橢圓，特別的當(dāng)k -1時(shí)，此橢圓的焦點(diǎn) 在y軸上，定點(diǎn)Al、A2為橢圓的短軸端點(diǎn)，當(dāng)lkO時(shí)矗

3、圓的焦點(diǎn)在x軸上，定 點(diǎn)Al、A2為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)。當(dāng)kO時(shí)，(1)式表示的是焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，定 點(diǎn)Al、A2為雙曲線的頂點(diǎn)。從結(jié)論1可以看出，橢圓、雙曲線的形成可由兩定點(diǎn)的斜率運(yùn)算來得到,那么拋物線 是否也能按照相似的方式來得到呢？二、拋物線的兩點(diǎn)斜率式結(jié)論2 :如圖1，在平面內(nèi)有兩條動(dòng)直線II、12分別過定點(diǎn)Al(gO)、A2(-m,0)其中mO,若兩直線的斜率之差為一個(gè)常數(shù)k(k/O),那么兩直線的交點(diǎn)M所形成 的軌跡為拋物線。證明：設(shè)M(x,y),由條件可得：k歸y(x+m), kl2=y(x-m)因?yàn)橹皇切騿栴}，不妨設(shè)kl2kll二k化簡(jiǎn)可得到:y二k2mx2km22(2)從(2

4、)式可以看出所表示的曲線為拋物線，而且當(dāng)kO時(shí)，開口向上；當(dāng)kO時(shí)， 開口向下，而且定點(diǎn)Al、A2也在此拋物線上。不光如此，結(jié)論2還可以作一個(gè)推廣，條件中的定點(diǎn)Al、A2可以是尖于y軸對(duì)稱 的兩個(gè)點(diǎn)，即有如下結(jié)論。結(jié)論3 :在平面內(nèi)有兩條動(dòng)直線II、12分別過定點(diǎn)BI(xO,yO)、B2( - xO,yO)其中 xOO,若兩直線的斜率之差為一個(gè)常數(shù)k(k/O),那么兩直線的交點(diǎn)M所形成的軌跡 為拋物線。證明：設(shè)M(x,y),由條件可得：kll=(y - yO)(x+xO), kl2=(y yO)(x xO)依然不妨設(shè)kl2-kll二k化簡(jiǎn)可得：y 二 k2x0x2 - k2x0+y0 (3)從式可以看出所表示的曲線為拋物線，而且當(dāng)kO時(shí)，開口向上；當(dāng)kO時(shí)， 開口向下，而且定點(diǎn)Bl、B2也在此拋物線上。三、總結(jié)根據(jù)以上的討論可以看出圓錐曲線都可以通過兩條過定點(diǎn)直線的斜率去形成。圓錐 曲線其中的內(nèi)涵都常豐富，在我們的生活中的應(yīng)用也是非常廣泛，所以還有 很多內(nèi) 容可