多項式插值的振蕩現(xiàn)象

1、數(shù)值分析實驗報告多項式插值的振蕩現(xiàn)象 姓 名： 學(xué) 院：數(shù)理與信息工程學(xué)院 班 級： 學(xué) 號： 數(shù)值分析實驗報告實驗名稱多項式插值的振蕩現(xiàn)象實驗時間2013年10月 23日姓名班級學(xué)號成績一、 實驗?zāi)康?理解多項式插值，懂得它的振蕩現(xiàn)象。 2. 研究樣條插值，并分析它的收斂性。 3. 學(xué)會在實際生活中使用二維插值。二、 實驗內(nèi)容 1. 設(shè)區(qū)間-1,1上函數(shù) 考慮區(qū)間-1,1的一個等距劃分，分點為 則拉格朗日插值多項式為 其中的是n次拉格朗日插值基函數(shù)。2. 請按一定的規(guī)則分別選擇等距或者非等距的插值節(jié)點，并不斷增加插值節(jié)點的個數(shù)?？紤]實驗1中的函數(shù)或選擇其他你有興趣的函數(shù)，可以用MATLAB的

2、函數(shù)“spline”作此函數(shù)的三次樣條插值。3. 在一丘陵地帶測量高程，x和y方向每隔100米測一個點，得高程數(shù)據(jù)如下。試用MATLAB的二維插值函數(shù)“interp2”進行插值，并由此找出最高點和該點的高程。三、算法描述（1）編寫好拉格朗日插值函數(shù)，保存在M文件中；（2）考慮到：1、一幅圖中太多的曲線會相互覆蓋；2、n取奇偶數(shù)可能結(jié)果不同；3、不同的節(jié)點選取方法可能導(dǎo)致不同的結(jié)果。故而n的選擇分為n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10、n=3:4:11與n=40三種情況；（3）節(jié)點的選取分為均勻節(jié)點、切比雪夫節(jié)點兩種四、程序流程圖由于實驗方案明顯、簡單，實現(xiàn)步驟及流程圖省略。五、實

3、驗結(jié)果 具體結(jié)果在實驗分析里：整理的結(jié)果如下1>實驗一的結(jié)果：1. 當(dāng)節(jié)點為均勻節(jié)點時：插值點數(shù)目為奇數(shù)、偶數(shù)、40時，圖像對稱，但是不收斂，但是節(jié)點數(shù)越多，0附近的擬合效果越好，但是兩端誤差較大。當(dāng)節(jié)點為切比雪夫點時：插值點數(shù)目為奇數(shù)、偶數(shù)、40時，圖像對稱，但是可以收斂，節(jié)點數(shù)越多，擬合效果越好。2. 當(dāng)節(jié)點為均勻節(jié)點時：插值點數(shù)目為奇數(shù)、偶數(shù)、40時，圖像對稱，也是不收斂，但是節(jié)點數(shù)越多，0附近的擬合效果越好，同時兩端的誤差較大。當(dāng)節(jié)點為切比雪夫點時：插值點數(shù)目為奇數(shù)、偶數(shù)、40時，圖像對稱，但是可以收斂，節(jié)點數(shù)越多，擬合效果越好。3. 當(dāng)節(jié)點為均勻節(jié)點時：插值點數(shù)目為奇數(shù)、偶數(shù)、

4、40時，圖像對稱，也是不收斂，但是節(jié)點數(shù)越多，0附近的擬合效果越好，同時兩端的誤差較大。當(dāng)節(jié)點為切比雪夫點時：插值點數(shù)目為奇數(shù)、偶數(shù)、40時，圖像對稱，但是可以收斂，節(jié)點數(shù)越多，擬合效果越好。2>實驗二的結(jié)果 通過作圖可以發(fā)現(xiàn)：插值點數(shù)目增加時，三次樣條插值光滑度依然很好，而且精度比以前更高，收斂性很好；但是發(fā)現(xiàn)lagrange 插值卻出現(xiàn)偏離，即存在誤差，而且隨著節(jié)點的增加，偏離越明顯。由此，可以發(fā)現(xiàn)，三次樣條插值的收斂性比lagrange 插值好。 3>思考題結(jié)果 通過分析計算可知，最高點為：166 178 該點的高程為：721.098六、實驗結(jié)果分析1>實驗一結(jié)果分析首

5、先嘗試了一些n值，發(fā)現(xiàn)振蕩明顯，而且還有覆蓋現(xiàn)象，由下圖可見： 故針對上述現(xiàn)象，我們可以采用分開討論測試的方法；（1） 1.節(jié)點為均勻節(jié)點時： a)當(dāng)節(jié)點為奇數(shù)時，即n=2：2：8，可以得到如下圖像 從圖中可以看到：節(jié)點數(shù)為基數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也是對稱的；節(jié)點數(shù)越多，附近的區(qū)域擬合越好；節(jié)點數(shù)越多，兩端誤差越大； b)當(dāng)節(jié)點為偶數(shù)時，即n=3：2：9，可以得到如下圖像 從圖中可以看到：節(jié)點數(shù)為偶數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也是對稱的；節(jié)點數(shù)越多；附近的區(qū)域擬合越好；節(jié)點數(shù)越多，兩端誤差越大；和奇數(shù)結(jié)果大致相同。c)當(dāng)n=40時： 由圖可知：插值函數(shù)也是左右對稱，而且0附近幾乎和被插值函數(shù)重合

6、，但是兩端誤差很大，所以結(jié)論可以算是準確的。2.當(dāng)節(jié)點為切比雪夫節(jié)點時：即，節(jié)點是對稱的a) 當(dāng)節(jié)點為奇數(shù)個時，即n=2:2:8時，可以得到：從圖中可以看出：節(jié)點數(shù)為基數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也是對稱的；節(jié)點數(shù)越多，所有區(qū)域擬合都越好；b) 當(dāng)節(jié)點為偶數(shù)個時，即n=3:2:9時，可以得到：此時，節(jié)點的選取也是對稱的，同樣我們也看到插值函數(shù)的圖像是對稱的；觀察結(jié)論與節(jié)點數(shù)為奇數(shù)時幾乎一樣：節(jié)點數(shù)越多，所有區(qū)域擬合都越好；c) 當(dāng)n=40時，得到：從圖中我們看到，插值函數(shù)左右對稱，插值函數(shù)幾乎和被插值函數(shù)重合。故而，上面的觀察結(jié)論是正確的。（2） 1.節(jié)點為均勻節(jié)點時： a)當(dāng)節(jié)點為奇數(shù)時，即n=

7、2：4：10，可以得到如下圖像 從圖中可以看到：節(jié)點數(shù)為基數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也是對稱的；節(jié)點數(shù)越多，0附近的區(qū)域擬合越好；節(jié)點數(shù)越多，兩端誤差越大； b)當(dāng)節(jié)點為偶數(shù)時，即n=3：4：11，可以得到如下圖像 從圖中可以看到：節(jié)點數(shù)為偶數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也是對稱的；節(jié)點數(shù)越多；附近的區(qū)域擬合越好；節(jié)點數(shù)越多，兩端誤差越大；和奇數(shù)結(jié)果大致相同。c)當(dāng)n=40時： 由圖可知：插值函數(shù)也是左右對稱，而且0附近幾乎和被插值函數(shù)重合，但是兩端誤差很大，所以結(jié)論可以算是準確的。2.當(dāng)節(jié)點為切比雪夫節(jié)點時：即，節(jié)點是對稱的a) 當(dāng)節(jié)點為奇數(shù)個時，即n=2:4:10時，可以得到：從圖中可以看出，插值

8、函數(shù)過兩端和原點，并且也是奇函數(shù)；n越大擬合度越好，沒有出現(xiàn)誤差增大的現(xiàn)象；b) 當(dāng)節(jié)點為偶數(shù)個時，即n=3:4:11時，可以得到：從圖中可以看出，插值函數(shù)不經(jīng)過兩端，但也是奇函數(shù)；節(jié)點數(shù)越多，擬合度也越好c) 當(dāng)n=40時，得到：N取得很大的時候，插值函數(shù)和被插值函數(shù)幾乎重合（3）1.節(jié)點為均勻節(jié)點時： a)當(dāng)節(jié)點為奇數(shù)時，即n=2：4：10，可以得到如下圖像 從圖中可以看出：節(jié)點數(shù)為基數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也是對稱的；節(jié)點數(shù)越多，0附近的區(qū)域擬合越好；節(jié)點數(shù)越多，兩端誤差越大； b)當(dāng)節(jié)點為偶數(shù)時，即n=3：4：11，可以得到如下圖像 從圖中可以看到：節(jié)點數(shù)為偶數(shù)個并且對稱時，插值函數(shù)也

9、是對稱的；節(jié)點數(shù)越多；附近的區(qū)域擬合越好；節(jié)點數(shù)越多，兩端誤差越大；和奇數(shù)結(jié)果大致相同。c)當(dāng)n=40時： 由圖可知：插值函數(shù)也是左右對稱，而且0附近幾乎和被插值函數(shù)重合，但是兩端誤差很大，所以結(jié)論可以算是準確的。2.當(dāng)節(jié)點為切比雪夫節(jié)點時：即，節(jié)點是對稱的a) 當(dāng)節(jié)點為奇數(shù)個時，即n=2:4:10時，可以得到：從圖中可以看出，插值函數(shù)過兩端和原點，并且也是奇函數(shù)；n越大擬合度越好，沒有出現(xiàn)誤差增大的現(xiàn)象；b) 當(dāng)節(jié)點為偶數(shù)個時，即n=3:4:11時，可以得到：從圖中可以看出，插值函數(shù)不經(jīng)過兩端，但也是奇函數(shù)；節(jié)點數(shù)越多，擬合度也越好c) 當(dāng)n=40時，得到：N取得很大的時候，插值函數(shù)和被插值

10、函數(shù)幾乎重合綜合分析上面的圖像和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)： 節(jié)點數(shù)目的奇偶對實驗沒有什么影響，而且節(jié)點不是越多擬合越好，可能會發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象，對稱的節(jié)點選取，得到的插值函數(shù)的對稱性與被插值函數(shù)相同節(jié)點的位置不對稱，則得到的插值函數(shù)也不對稱節(jié)點位置的選取會影響插值函數(shù)的收斂性和誤差切比雪膚插值節(jié)點確實比以上用到的均勻節(jié)點、不均勻節(jié)點要好，對于不同的被插值函數(shù)，同樣的插值節(jié)點選取往往能得到類似的結(jié)果。2>實驗二結(jié)果分析1. 令則下面就以這個函數(shù)做具體分析：節(jié)點為5時，圖如下節(jié)點為10時，圖如下 節(jié)點為20時,圖如下：由上面三幅圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著節(jié)點數(shù)的增加，三次樣條插值函數(shù)的擬合越來越好，與原函數(shù)越來越逼近

11、；相反l agrange插值函數(shù)的擬合卻越來越差，誤差越來越明顯，因此，我們可以得出結(jié)論，隨著節(jié)點數(shù)的增加，三次樣條插值函數(shù)的收斂性比lagrange插值函數(shù)好。故而我們可以證明了樣條插值的收斂性。2. 針對二中的一些數(shù)據(jù)我們可以進行擬合一下，在圖上面觀察的更加明顯。以上就是在給定數(shù)據(jù)的條件下，做出的三次樣條插值設(shè)計車門的曲線。3>思考題結(jié)果分析可以利用matlab進行編程，分別利用linear，cubic，spline計算此題， 計算的結(jié)果：利用linear可以計算得到x =166 y =178 zmax = 7.210983601652320e+02 利用cubic可以計算得到： x

12、=166 y=178 zmax=7.210983601652320e+02 利用 spline 可以計算得到： x=166 y=178 zmax=7.210983601652320e+02 所以我們可以得到，在不同的條件下，最高點應(yīng)該是在166 178 附近，且最高程為721.098總之，通過以上實驗我們可以知道插值節(jié)點的數(shù)目不一定是越多擬合得越好，很多時候會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象；對稱的節(jié)點選取，得到的插值函數(shù)的對稱性與被插值函數(shù)相同；節(jié)點的位置不對稱，則得到的插值函數(shù)也不對稱；節(jié)點位置的選取會影響插值函數(shù)的收斂性和誤差；切比雪夫插值節(jié)點確實比以上用到的；均勻節(jié)點效果好；對于不同的被插值函數(shù)，同樣的插

13、值節(jié)點選取往往能得到類似的結(jié)果。而且通過實驗二我們可以知道體會到有些三次樣條插值的收斂性很難證明時，有時候利用圖片，觀察圖像，也同樣可以獲得證明的效果。實驗二和思考題，重在將實驗和理論相結(jié)合，學(xué)會在實際中運用所學(xué)知識，解決實際問題。教 師 評 語指導(dǎo)教師： 年 月 日數(shù)值分析上機實驗原始記錄實驗名稱：多項式插值的振蕩現(xiàn)象 實驗時間： 2013年 10月23日姓名： 學(xué)號： 班級： 實驗一的關(guān)鍵程序：事先估計程序m=150; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.2); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),gtext(&#

14、39;y=1/(1+25*x2)'),pausen=3; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y1,'g'),gtext('n=2'),pause,hold offn=4; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=3'),pause,hold offn=5; x0=-1:2/(n-1):1;

15、 y0=1./(1+25*x0.2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,'r'),gtext('n=4'),pause,hold offn=11; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=10'),pause,hold offn=51; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,

16、plot(x,y5,'m'),gtext('n=50'),pause,hold offn=81; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y6=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y6,'m'),gtext('n=80'),pause,hold off%1.1.a y=1./(1+25*x.2) 的程序均勻節(jié)點m=150; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.2); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-')

17、,gtext('y=1/(1+25*x2)'),pausen=2; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold offn=4; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=3'),pause,hold offn=6; x0=-1:2

18、/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,'r'),gtext('n=5'),pause,hold offn=8; x0=-1:2/(n-1):1; y0=1./(1+25*x0.2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=7'),pause,hold off%1.1b 切比雪夫節(jié)點m=150; x=-1:2/(m-1):1; y=1./(1+25*x.2); z=0*x;plo

19、t(x,z,'r',x,y,'k-'),gtext('y=1/(1+25*x2)'),pausex=q(2); y=1./(1+25*x.2);n=2; x0=-1:2/(n-1):1;y1=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold offx=q(4); y=1./(1+25*x.2);n=4; x0=-1:2/(n-1):1; y2=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y2,'b:'),gte

20、xt('n=3'),pause,hold offx=q(6); y=1./(1+25*x.2); n=6;x0=-1:2/(n-1):1;y3=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y3,'r'),gtext('n=5'),pause,hold offx=q(8); y=1./(1+25*x.2);n=8;x0=-1:2/(n-1):1;y4=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y4,'r:'),gtext('n=7'),pause,hold off%2.1 a y=x

21、./(1+x.4)的程序均勻節(jié)點m=150; x=-5:10/(m-1):5; y=x./(1+x.4); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),gtext('y=x/(1+x4)'),pausen=2; x0=-5:10/(n-1):5; y0=x0./(1+x0.4); y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold offn=6;x0=-5:10/(n-1):5; y0=x0./(1+x0.4); y3=la

22、gr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,'r'),gtext('n=5'),pause,hold offn=10; x0=-5:10/(n-1):5; y0=x0./(1+x0.4); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=9'),pause,hold off%21 b 切比雪夫節(jié)點m=150; x=-5:10/(m-1):5; y=x./(1+x.4); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),

23、gtext('y=x/(1+x4)'),pausex=q(2); y=x./(1+x.4);n=3; x0=-5:10/(n-1):5;y1=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold offx=q(6); y=x./(1+x.4);n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y2=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y2,'b:'),gtext('n=5'),pause,hold offx=q(10); y=

24、x./(1+x.4); n=10;x0=-5:10/(n-1):5;y3=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y3,'r'),gtext('n=9'),pause,hold off %3.1 a y=atan(x) 的程序均勻節(jié)點m=150; x=-5:10/(m-1):5; y=atan(x); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),gtext('y=atan x'),pausen=2; x0=-5:10/(n-1):5; y0=atan(x0); y1=lagr1(x

25、0,y0,x);hold on,plot(x,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold offn=6;x0=-5:10/(n-1):5; y0=atan(x0); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,'r'),gtext('n=5'),pause,hold offn=10; x0=-5:10/(n-1):5; y0=atan(x0); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,'y:'),gtext('n=9')

26、,pause,hold off%3.1 b 切比雪夫節(jié)點m=150;x=-5:10/(m-1):5; y=atan(x); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),gtext('y=1/(1+25*x2)'),pausex=q(1); y=atan(x);n=2; x0=-5:10/(n-1):5;y1=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y1,'g'),gtext('n=1'),pause,hold offx=q(5); y=atan(x); n=6;x0=-5:10/(

27、n-1):5;y3=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y3,'r'),gtext('n=5'),pause,hold offx=q(9); y=atan(x);n=10;x0=-5:10/(n-1):5;y4=lagr1(x,y,x0);hold on,plot(x0,y4,'r:'),gtext('n=9'),pause,hold off實驗二的關(guān)鍵程序問題一的程序x0=linspace(-1,1,11);y0=1./(1+9*x0.2);x=-1:0.02:1;y=lagr1(x0,y0,x);yi=

28、spline(x0,y0,x)%求三次樣條插值z=1./(1+9*x.2);Ri=abs(z-yi)./z);%三次樣條插值相對誤差R=abs(z-y)./z);%lagrange插值相對誤差x,y,z,yi,R,Ri=x',y',z',yi',R',Ri'n=size(x0)plot(x,z,'o',x,y,'-',x,yi,'r*')legend('原始圖像','lagrange插值','三次樣條插值')問題二的程序m=101; x=-1:2/(m-1):1;y=1./(1+25*x.2);plot(x,y)xi=0:10;yi=0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29;pp=csape(x,y,'complete',0.8,0.2);xj=0:0.1:10;yj=ppval(